- Правило
- 9 класс
Арифметическая прогрессия: разность, n-й член и сумма
Обновлено
Подготовлено редакцией «Ментор»Опубликовано Что изменилось: Уточнено определение разностиИсточников: 1
Коротко
Арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d. Член находят по формуле aₙ = a₁ + (n − 1)d, сумму первых n членов — по формуле Sₙ = (a₁ + aₙ) / 2 · n. Формулы подходят при любом первом члене и любой разности, включая отрицательную.
Правило
Задачу на арифметическую прогрессию начинают с вопроса: что именно требуется найти. От этого зависит формула, и только потом в неё подставляют числа из условия.
Арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Его называют разностью и обозначают буквой d. Разность находят по двум соседним членам: d = aₙ₊₁ − aₙ.
При d > 0 прогрессия возрастает, при d < 0 убывает, при d = 0 все её члены одинаковы.
Три рабочие записи:
- n-й член: aₙ = a₁ + (n − 1)d;
- первый член: a₁ = aₙ − (n − 1)d;
- сумма первых n членов: Sₙ = (a₁ + aₙ) / 2 · n, а если известны только a₁ и d — Sₙ = (2a₁ + (n − 1)d) / 2 · n.
Буква n — это номер члена, то есть натуральное число. В записи aₙ она стоит в индексе и степенью не является, в отличие от записи a²: см. материал «Степень числа».
Как решить задачу на арифметическую прогрессию
- Выпиши данныеОтметь в условии первый член a₁, разность d, номер n или два члена вместе с их номерами.
- Назови, что ищутРазность, один член, его номер или сумму первых n членов — от вопроса зависит выбор формулы.
- Возьми формулуДля одного члена нужна aₙ = a₁ + (n − 1)d, для суммы первых n членов — Sₙ = (a₁ + aₙ) / 2 · n.
- Подставь числаСледи за знаком разности: при d < 0 число подставляют со знаком минус и записывают в скобках.
- Проверь ответПодставь найденное значение обратно в условие и убедись, что равенство сходится.
Порядок действий в задаче:
- Выпиши данные: первый член a₁, разность d, номер n или два члена с их номерами.
- Определи по вопросу, что ищут.
- Возьми формулу под этот вопрос.
- Подставь числа, следя за знаком разности.
- Проверь ответ обратной подстановкой.
Формулы действуют только для арифметической прогрессии. Если каждый следующий член получают умножением на одно и то же число, последовательность называют геометрической, и записи у неё другие.
Таблица или схема
Таблица подсказывает, что взять из условия и какую формулу применить.
| Что написано в условии | Что берём из условия | Формула |
|---|---|---|
| «найди десятый член», «найди aₙ» | a₁, d и номер n | aₙ = a₁ + (n − 1)d |
| «найди первый член», «найди a₁» | aₙ, n и d | a₁ = aₙ − (n − 1)d |
| «найди разность» | два соседних члена | d = aₙ₊₁ − aₙ |
| «найди разность», даны несоседние члены | a₅ и a₉ | d = (a₉ − a₅) / (9 − 5) |
| «найди сумму первых десяти членов» | a₁ и d | Sₙ = (2a₁ + (n − 1)d) / 2 · n |
| «найди сумму», известен последний член | a₁ и aₙ | Sₙ = (a₁ + aₙ) / 2 · n |
Какую формулу взять по вопросу задачи
- Найди вопросВ конце задачи ищи слова «член», «разность», «номер» или «сумма».
- Один членПросят конкретный член — подходит aₙ = a₁ + (n − 1)d.
- Первый членПросят a₁ — его выражают из той же формулы: a₁ = aₙ − (n − 1)d.
- РазностьПросят разность — вычитают из следующего члена предыдущий: d = aₙ₊₁ − aₙ.
- СуммаПросят сумму — берут Sₙ = (a₁ + aₙ) / 2 · n или Sₙ = (2a₁ + (n − 1)d) / 2 · n.
Схема ведёт от вопроса задачи к нужной записи: сначала отмечают, что просят, потом выбирают формулу, и только затем подставляют числа. Последний шаг — проверка ответа по условию.
Примеры
Десятый член по первому члену и разности
Дано: a₁ = 3, d = 4. Нужно найти a₁₀.
Номер n = 10, значит множитель у разности равен 10 − 1 = 9. Подставляем в формулу n-го члена: a₁₀ = 3 + 9 · 4 = 3 + 36 = 39.
Ответ: a₁₀ = 39.
Первый член по известному члену
Дано: a₇ = 26, d = 3. Нужно найти a₁.
Седьмой член выражается через первый: a₇ = a₁ + (7 − 1) · 3 = a₁ + 18. Значит, a₁ = 26 − 18 = 8.
Проверка: 8 + 6 · 3 = 8 + 18 = 26.
Ответ: a₁ = 8.
Разность по двум членам
Дано: a₅ = 17, a₉ = 33. Нужно найти d.
Запишем оба члена через первый: a₅ = a₁ + 4d, a₉ = a₁ + 8d. Вычтем из второго равенства первое: получается 33 − 17 = 4d, то есть 16 = 4d. Отсюда d = 4.
Заодно найдём первый член: a₁ = 17 − 4 · 4 = 1.
Ответ: d = 4, a₁ = 1.
Сумма первых десяти членов
Дано: a₁ = 2, d = 3. Нужно найти S₁₀.
Сначала найдём десятый член: a₁₀ = 2 + 9 · 3 = 29. Теперь подставим в формулу суммы: S₁₀ = (2 + 29) / 2 · 10 = 31 · 5 = 155.
Ответ: S₁₀ = 155.
Убывающая прогрессия
Дано: a₁ = 20, d = −3. Нужно найти a₆ и S₆.
Разность отрицательна, поэтому члены уменьшаются: 20, 17, 14, 11, 8, 5. Шестой член равен 20 + 5 · (−3) = 20 − 15 = 5.
Сумму считаем по первому и последнему членам: S₆ = (20 + 5) / 2 · 6 = 25 · 3 = 75.
Ответ: a₆ = 5, S₆ = 75.
Трудные случаи
Знак разности. В убывающей прогрессии d отрицательна, и в формулу её подставляют со знаком: 20 + 5 · (−3) = 5. С потерянным знаком получилось бы 35, а это другой ответ.
Число шагов, а не номер. От первого члена до n-го ровно n − 1 шагов. Для десятого члена разность умножают на 9, поэтому 3 + 9 · 4 = 39. Множитель 10 дал бы 43.
Сумма без последнего члена. Если известны только a₁ и d, сначала находят последний складываемый член, а потом считают сумму. Для такого случая есть готовая запись: Sₙ = (2a₁ + (n − 1)d) / 2 · n.
Не геометрическая прогрессия. В геометрической прогрессии члены умножают на одно и то же число, поэтому формулы с разностью к ней не подходят. В последовательности 2, 6, 18, 54 каждый член втрое больше предыдущего. Такой случай разобран в статье о геометрической прогрессии.
Остальные формулы школьного курса собраны в материале «Формулы ОГЭ по математике».
Проверь себя
Задание на 10 минут. Решай в тетради, а ответ вводи ниже.
Реши, введи ответ и нажми «Проверить». Ответы никуда не отправляются и не сохраняются.
Реши в тетради. Ответы и объяснения — под кнопкой «Показать ответы».
Показать ответы
- 4. Разность — это разность двух соседних членов: d = 7 − 3 = 4.
- 39. По формуле aₙ = a₁ + (n − 1)d получаем 3 + (10 − 1) · 4 = 3 + 36 = 39.
- 5. Подставляем в формулу: 20 + (6 − 1) · (−3) = 20 − 15 = 5.
- 155. Сначала десятый член: 2 + 9 · 3 = 29. Затем сумма: (2 + 29) / 2 · 10 = 31 · 5 = 155.
- aₙ = a₁ + (n − 1)d. К первому члену прибавляют разность, взятую n − 1 раз: до n-го члена ровно n − 1 шагов.
- Девять. До десятого члена ровно девять шагов, поэтому в формуле стоит множитель n − 1: при n = 10 это 9.
Если тема не идёт
Возьми прогрессию с маленькими числами: a₁ = 2, d = 3. Выпиши подряд пять членов: 2, 5, 8, 11, 14. Так видно, что разность везде одна и та же, а до пятого члена ровно четыре шага. Подставь эти числа в формулы — результаты совпадут с выписанным рядом. Другие темы школьного курса собраны в разделе «Математика».
О занятиях по этой и другим темам — на странице репетитора по математике.
Типичная ошибка
Ошибка — брать формулу суммы, когда в задаче просят найти один член: тогда нужна формула aₙ = a₁ + (n − 1)d. Поймать это можно по вопросу задачи: слова «сумма» и «член» требуют разных записей. Вторая частая потеря — знак разности: в убывающей прогрессии d отрицательна, поэтому 20 + 5 · (−3) = 5, и знак здесь решает всё.
Частые вопросы
Как найти разность арифметической прогрессии?
Разность — это число, которое прибавляют к члену прогрессии, чтобы получить следующий. Её находят вычитанием: d = aₙ₊₁ − aₙ, то есть из следующего члена вычитают предыдущий. Для членов 3 и 7 получается d = 7 − 3 = 4. Разность может быть отрицательной, тогда прогрессия убывает.
Как найти член арифметической прогрессии?
n-й член арифметической прогрессии считают по формуле aₙ = a₁ + (n − 1)d, где a₁ — первый член, d — разность, n — номер члена. Например, при a₁ = 3 и d = 4 десятый член равен 3 + 9 · 4 = 39, потому что до десятого члена ровно девять шагов.
Как найти сумму первых членов арифметической прогрессии?
Сумму первых n членов находят по формуле Sₙ = (a₁ + aₙ) / 2 · n, если известен последний из складываемых членов. Когда известны только первый член и разность, сначала считают aₙ = a₁ + (n − 1)d, а потом подставляют его в формулу суммы. Пример: a₁ = 2, d = 3, n = 10 дают a₁₀ = 29 и S₁₀ = (2 + 29) / 2 · 10 = 155.
Как найти первый член арифметической прогрессии?
Первый член выражают из формулы n-го члена: a₁ = aₙ − (n − 1)d. Если седьмой член равен 26, а разность равна 3, то a₁ = 26 − 6 · 3 = 8. Проверить ответ можно подстановкой: 8 + 6 · 3 = 26.
Чем отличается арифметическая прогрессия от геометрической?
В арифметической прогрессии каждый следующий член получают прибавлением одной и той же разности: aₙ₊₁ = aₙ + d. В геометрической прогрессии каждый следующий член получают умножением на одно и то же число. Поэтому записи члена и суммы у этих последовательностей разные, и разность в формулы геометрической прогрессии не подставляют.
Потренируйся сам — бесплатно и без регистрации
На этой странице есть блок «Проверь себя». Реши задания сам, ничего никуда не отправляя, и сверься с ответами: так видно, что уже получается.
