- Правило
- 9 класс
Формулы ОГЭ по математике: сводка по темам и примеры
Обновлено
Подготовлено редакцией «Ментор»Опубликовано Что изменилось: Разделены учебная таблица и справочные материалы демоверсииИсточников: 3
Коротко
Формулы ОГЭ по математике — это квадраты суммы и разности, разность квадратов, дискриминант и корни квадратного уравнения, теорема Пифагора, длина окружности и площадь круга. Каждая работает при своём условии: теорема Пифагора — только в прямоугольном треугольнике, корни квадратного уравнения — при a ≠ 0 и D ≥ 0. Совет редакции: дополняй формулу решённой задачей.
Правило
Формулы ОГЭ по математике удобно держать одним списком по темам: алгебра и геометрия. У каждой формулы есть условие, при котором она верна, и свои обозначения букв. Список может быть полезнее, если каждую формулу дополнять решённой задачей.
В проекте демоверсии ФИПИ 2027 года справочные материалы идут перед заданиями. Там можно заранее найти формулы корней квадратного уравнения и площадей фигур. В таблицах ниже собраны формулы для повторения, в том числе дополнительные.
- Собери список по темам. Выпиши формулы из учебника отдельно по алгебре и отдельно по геометрии.
- Подпиши обозначения. Рядом с формулой отметь, что означает каждая буква и в чём измеряется ответ.
- Отметь условие. Запиши, когда формула работает: например, теорема Пифагора — только в прямоугольном треугольнике.
- Подставь числа. Реши по формуле пример из учебника и доведи вычисление до ответа.
- Реши без подсказки. Закрой список и реши похожее задание по памяти.
- Вернись через день. Совет редакции: через день реши ещё одно задание на эту формулу и сравни ответы.
Как повторять формулу
- Выпиши формулуЗапиши формулу из учебника и подпиши, что означает каждая буква.
- Проверь условиеОтметь, при каких условиях формула верна, — например, теорема Пифагора работает только в прямоугольном треугольнике.
- Подставь числаРеши по формуле пример из учебника, подставь числа и доведи вычисление до ответа.
- Реши без подсказкиЗакрой список и реши похожее задание по памяти.
- Вернись через деньСовет редакции: через день реши ещё одно задание на эту формулу и сравни ответ.
Если формула не вспоминается сразу, это не значит, что она не запомнилась. Повтор может помочь заметить, где ты путаешься: в записи, в обозначениях или в условии.
Таблица или схема
Формулы алгебры:
| Формула | Запись | Когда верна |
|---|---|---|
| Квадрат суммы | (a + b)² = a² + 2ab + b² | для любых чисел |
| Квадрат разности | (a − b)² = a² − 2ab + b² | для любых чисел |
| Разность квадратов | a² − b² = (a − b)(a + b) | для любых чисел |
| Дискриминант | D = b² − 4ac | для уравнения ax² + bx + c = 0 при a ≠ 0 |
| Корни квадратного уравнения | x = (−b ± √D) / (2a) | для действительных корней при a ≠ 0 и D ≥ 0 |
| Теорема Виета | x₁ + x₂ = −b / a, x₁ · x₂ = c / a | при a ≠ 0; если корни действительные, то D ≥ 0 |
| Умножение и деление степеней | a^m · a^n = a^(m + n), a^m : a^n = a^(m − n) | для целых m и n при a ≠ 0; при нулевом основании отрицательные и нулевая степени не определены |
| Процент от числа | часть = целое · p / 100 | p — число процентов |
Формулы геометрии:
| Формула | Запись | Когда верна |
|---|---|---|
| Сумма углов треугольника | α + β + γ = 180° | для любого треугольника |
| Теорема Пифагора | c² = a² + b² | только в прямоугольном треугольнике, c — гипотенуза |
| Площадь треугольника | S = ½ · a · h | h — высота, проведённая к стороне a |
| Площадь параллелограмма | S = a · h | h — высота, проведённая к стороне a |
| Площадь трапеции | S = ½ · (a + b) · h | a и b — основания, h — высота |
| Средняя линия трапеции | m = (a + b) / 2 | a и b — основания трапеции |
| Длина окружности | C = 2πr | r — радиус окружности |
| Площадь круга | S = πr² | r — радиус круга |
| Синус острого угла | sin α = противолежащий катет / гипотенуза | только в прямоугольном треугольнике |
| Косинус острого угла | cos α = прилежащий катет / гипотенуза | только в прямоугольном треугольнике |
Состав тем сверяй с кодификатором ФИПИ и школьным учебником: таблица здесь — рабочая сводка для повторения.
Разборы отдельных тем есть в материалах «Теорема Пифагора», «Квадратное уравнение: дискриминант», «Площадь треугольника» и «Окружность и круг».
Примеры
Площадь треугольника через высоту
Дано: сторона 6 см, высота, проведённая к ней, — 4 см.
- Записываю формулу: S = ½ · a · h.
- Подставляю числа: S = ½ · 6 · 4.
- Считаю: ½ · 6 = 3, затем 3 · 4 = 12.
S = 12 см².
Проверка: сантиметр умножить на сантиметр — получаются квадратные сантиметры, значит, единицы выбраны верно.
Теорема Пифагора
Дано: катеты 6 см и 8 см, гипотенуза неизвестна. Треугольник прямоугольный.
- Записываю формулу: c² = a² + b².
- Считаю квадраты: 6² = 36, 8² = 64.
- Складываю: 36 + 64 = 100.
- Подбираю число: 10 · 10 = 100, значит, c = 10.
Гипотенуза равна 10 см.
Проверка: 6² + 8² = 10², то есть 36 + 64 = 100. Равенство выполняется.
Корни квадратного уравнения
Уравнение: x² − 5x + 6 = 0.
- Выписываю коэффициенты: a = 1, b = −5, c = 6.
- Считаю дискриминант: D = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1.
- D больше нуля, значит, корней два: x = (5 ± 1) / 2.
- Первый корень: (5 + 1) / 2 = 3. Второй корень: (5 − 1) / 2 = 2.
Корни уравнения: 3 и 2.
Проверка по теореме Виета: 3 + 2 = 5 = −b / a, а 3 · 2 = 6 = c / a. Оба равенства сходятся.
Длина окружности и площадь круга
Дано: радиус 5 см.
- Длина окружности: C = 2πr = 2 · π · 5 = 10π.
- Площадь круга: S = πr² = π · 25 = 25π.
Длина окружности 10π см, площадь круга 25π см².
Проверка: в длине окружности радиус стоит в первой степени, в площади — во второй. Поэтому единицы разные: сантиметры и квадратные сантиметры.
Исключения
Теорема Пифагора верна только в прямоугольном треугольнике. Треугольник со сторонами 3, 4, 5 прямоугольный: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². Если прямого угла в треугольнике нет, складывать квадраты сторон по этой формуле нельзя.
Для действительных корней формуле нужны два условия: a ≠ 0 и D ≥ 0. Например, у уравнения x² + 1 = 0 дискриминант равен 0² − 4 · 1 · 1 = −4. Он меньше нуля, поэтому действительных корней у уравнения нет, и подставлять его в формулу корней не нужно.
Высота в формулах площади проведена к той стороне, которая стоит в формуле. В записи S = ½ · a · h буква h — высота именно к стороне a или её продолжению. Для другой стороны в формулу подставляют соответствующую ей высоту.
При делении степеней основание не равно нулю. Запись a^m : a^n = a^(m − n) верна для целых m и n и при a ≠ 0: на нуль делить нельзя.
Проверь себя
Считай в тетради, а ответ вводи ниже.
Реши, введи ответ и нажми «Проверить». Ответы никуда не отправляются и не сохраняются.
Реши в тетради. Ответы и объяснения — под кнопкой «Показать ответы».
Показать ответы
- 10 или 10 см. По теореме Пифагора c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100. Число 10 в квадрате даёт 100, значит, гипотенуза равна 10 см.
- 1. Здесь a = 1, b = −5, c = 6. Подставляем в формулу: D = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1.
- S = πr². Площадь круга находят по формуле S = πr². Формула C = 2πr даёт длину окружности, а S = ½ · a · h — площадь треугольника через сторону и высоту.
- 12 или 12 см2 или 12см². S = ½ · a · h = ½ · 6 · 4. Половина от 6 равна 3, дальше 3 · 4 = 12. Ответ: 12 см².
- только в прямоугольных. Теорема Пифагора связывает катеты и гипотенузу, а гипотенуза бывает только в прямоугольном треугольнике. В остальных треугольниках эта формула неверна.
- x² − 6x + 9 или x^2 − 6x + 9 или x2-6x+9. Используем формулу квадрата разности: (a − b)² = a² − 2ab + b². Тогда (x − 3)² = x² − 2 · x · 3 + 3² = x² − 6x + 9.
Если тема не идёт
Возьми одну формулу и одно задание на неё. Реши задание по учебнику, потом закрой учебник и повтори решение по памяти. Дальше можно действовать так: получается — добавь вторую формулу, не получается — разбери первую ещё раз.
Если нужна помощь с темой, посмотри, как проходят занятия с репетитором по математике.
Типичная ошибка
Ошибка — учить формулы списком, без задач, и считать, что этого достаточно. Возможная трудность: формула вспоминается, но применить её в задаче не получается. Проверка простая: закрой список и реши по памяти одну задачу на каждую формулу. Если решение не получается, вернись к этой формуле и разбери пример из учебника.
Частые вопросы
Какие формулы дадут на экзамене?
По проекту спецификации 2027 года справочные материалы выдают с вариантом. В демоверсии есть, например, таблица квадратов, формулы корней квадратного уравнения, формулы площадей и длины окружности. Полный комплект можно посмотреть вместе с демоверсией ФИПИ.
Как запомнить формулы к ОГЭ по математике?
Формулу стоит повторять вместе с задачей. Выпиши её, подпиши обозначения букв и условие, реши пример из учебника, а потом закрой список и реши похожее задание по памяти. Если решение получается без подсказки, это может помочь проверить, что ты умеешь применять формулу. Если нет — разбери пример ещё раз и вернись к формуле через день.
Зачем отмечать условие, при котором формула верна?
Условие отделяет случаи, где формула работает, от случаев, где применять её нельзя. Например, теорема Пифагора верна только в прямоугольном треугольнике. Для действительных корней квадратного уравнения нужны a ≠ 0 и D ≥ 0: при D < 0 действительных корней нет. Если условие не записано, формулу могут подставить не там, где нужно, и ответ получится неверным.
Что делать, если формула забылась?
Начни с того, что помнишь: обозначения букв и пример, который решал по этой формуле. Можно попробовать восстановить решение по шагам — иногда вместе с ним вспоминается и запись формулы. Если восстановить не получается, открой учебник, разбери один пример и реши по памяти два похожих задания.
Хватит ли одной таблицы формул для подготовки?
Совет редакции: отмечай в таблице, что уже повторено, но саму подготовку она не заменяет. Формула нужна для решения, поэтому проверяй каждую строку списка задачей: подставь числа, доведи вычисление до ответа, а через день реши ещё одно задание на ту же формулу.
Проверь себя — бесплатно и без регистрации
На этой странице есть блок «Проверь себя». Пройди его сам, ничего никуда не отправляя: так видно, какие темы уже получаются, а что стоит повторить.
