- Правило
- 5–8 класс
Степень числа: основание и показатель, как считать значение
Обновлено
Подготовлено редакцией «Ментор»Опубликовано Что изменилось: Уточнён класс для степени с целым показателемИсточников: 1
Коротко
Степень с натуральным показателем — краткая запись произведения одинаковых множителей: основание показывает, какое число повторяется, а показатель — сколько раз. Правило «aⁿ = a · a · … · a» верно для натурального показателя: 1, 2, 3 и так далее, а показатель 0 и отрицательный показатель разбираются отдельно. Значения степеней двойки удобно держать в таблице.
Правило
Запись 3⁵ читают «три в пятой степени». Число 3 стоит внизу и называется основанием, число 5 — вверху справа, это показатель. Основание показывает, какое число повторяется, а показатель — сколько раз оно повторяется при натуральном показателе.
Степень числа с натуральным показателем — короткая запись произведения одинаковых множителей. При натуральном показателе значение степени считают так: aⁿ = a · a · … · a, где множитель a берут n раз. Для 3⁵ это 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243.
Как читать запись степени
- ОснованиеНижнее число в записи. Оно показывает, какое число повторяется в произведении.
- ПоказательВерхнее число справа. При натуральном показателе оно показывает, сколько раз основание берут множителем.
- Чтение записи3⁵ читается «три в пятой степени»: 3 стоит внизу, 5 — вверху справа.
- ЗначениеРаскрываем произведение: 3⁵ = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243.
- Проверка перестановкой5³ = 5 · 5 · 5 = 125. Значение получилось другое, значит, порядок чисел в записи важен.
Запись aⁿ = a · a · … · a верна при натуральном показателе: 1, 2, 3 и так далее. Если в показателе стоит 0 или отрицательное число, работают отдельные правила — они собраны в разделе об исключениях.
Как посчитать значение степени:
- Найди основание — число внизу записи.
- Найди показатель — число вверху справа.
- При натуральном показателе возьми основание множителем столько раз, сколько показывает показатель.
- Перемножь множители и запиши значение.
Формулы, которые пригодятся:
- a¹ = a — при показателе 1 множитель всего один;
- a⁰ = 1, если основание не равно нулю;
- a⁻ⁿ = 1/aⁿ, если n — натуральное число и основание не равно нулю.
В примере с несколькими действиями степень считают раньше умножения, деления, сложения и вычитания. Разбор таких примеров есть в материале о порядке действий.
Таблица или схема
Что означают числа в записи степени:
| Элемент записи | Где стоит | Что показывает | Пример |
|---|---|---|---|
| Основание | внизу | какое число повторяется | в 3⁵ это 3 |
| Показатель | вверху справа | сколько раз повторяется основание при натуральном показателе | в 3⁵ это 5 |
Частые записи и их значения:
| Запись | Произведение | Значение |
|---|---|---|
| 2⁵ | 2 · 2 · 2 · 2 · 2 | 32 |
| 5² | 5 · 5 | 25 |
| 3⁴ | 3 · 3 · 3 · 3 | 81 |
| 4³ | 4 · 4 · 4 | 64 |
| 10³ | 10 · 10 · 10 | 1000 |
Значения степеней двойки:
| Степень | Значение |
|---|---|
| 2¹ | 2 |
| 2² | 4 |
| 2³ | 8 |
| 2⁴ | 16 |
| 2⁵ | 32 |
| 2⁶ | 64 |
| 2⁷ | 128 |
| 2⁸ | 256 |
| 2⁹ | 512 |
| 2¹⁰ | 1024 |
Вторую степень числа называют квадратом, третью — кубом: 5² читают «пять в квадрате», 4³ — «четыре в кубе». Квадраты и кубы встречаются в формулах сокращённого умножения. Извлечение арифметического квадратного корня — обратная операция к возведению в квадрат на неотрицательных числах.
Примеры
Степени 3⁵ и 5³: почему важен порядок чисел
Записи похожи, но числа в них стоят по-разному.
- В 3⁵ основание 3, показатель 5. Раскрываем произведение: 3⁵ = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243.
- В 5³ основание 5, показатель 3. Раскрываем: 5³ = 5 · 5 · 5 = 125.
3⁵ = 243, а 5³ = 125: здесь от перестановки чисел значение изменилось.
Степень 2⁶ по таблице степеней двойки
- Основание 2, показатель 6, значит, множителей шесть: 2⁶ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2.
- По таблице: 2⁵ = 32, следующее значение вдвое больше — 64.
2⁶ = 64.
Нулевой показатель: 7⁰ и 3⁰ · 5
- Показатель равен 0, а основание 7 не равно нулю, поэтому 7⁰ = 1.
- В выражении 3⁰ · 5 сначала считаем степень: 3⁰ = 1.
- Умножаем: 1 · 5 = 5.
7⁰ = 1 и 3⁰ · 5 = 5.
Отрицательный показатель: 2⁻³ и 5⁻²
- Формула a⁻ⁿ = 1/aⁿ работает, если n — натуральное число и основание не равно нулю. Отрицательный показатель превращает степень в дробь: 2⁻³ = 1/2³.
- Считаем знаменатель: 2³ = 8.
- Получаем 2⁻³ = 1/8. Так же 5⁻² = 1/5² = 1/25.
2⁻³ = 1/8, а 5⁻² = 1/25.
Исключения
Показатель 1. Основание берут один раз, значение равно самому основанию: 7¹ = 7.
Показатель 0. Число, не равное нулю, в нулевой степени даёт 1: 5⁰ = 1, 12⁰ = 1. Условие про основание здесь обязательно.
Отрицательный показатель. Если n — натуральное число и основание не равно нулю, то a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Пример: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8.
Основание 0. При натуральном показателе значение равно нулю: 0⁷ = 0 · 0 · 0 · 0 · 0 · 0 · 0 = 0.
Отрицательное основание. При натуральном показателе знак результата зависит от его чётности: (–2)⁴ = 16, а (–2)³ = –8. При показателе 0 значение равно 1.
Нулевой и отрицательный показатель
- Натуральный показатель1, 2, 3 и далее: основание повторяется в произведении нужное число раз. Например, 2⁵ = 32.
- Показатель 1Множитель один, значение равно основанию: 7¹ = 7.
- Показатель 0Если основание не равно нулю, значение равно 1: 5⁰ = 1.
- Отрицательный показательЕсли n — натуральное число и основание не равно нулю, то a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Пример: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8.
Проверь себя
Небольшое задание. Считай в тетради, а ответы вводи ниже.
Реши, введи ответ и нажми «Проверить». Ответы никуда не отправляются и не сохраняются.
Реши в тетради. Ответы и объяснения — под кнопкой «Показать ответы».
Показать ответы
- 7^4 = 2401. Основание 7 повторяется четыре раза, значит, показатель равен 4. Считаем: 7 · 7 = 49, 49 · 49 = 2401. Получается 7^4 = 2401.
- 5. Основа́ние стоит внизу и повторяется в произведении: 5³ = 5 · 5 · 5 = 125. Число 3 — это показа́тель, он считает множители.
- 1/8. Отрица́тельный показа́тель даёт дробь: 2⁻³ = 1/2³. Считаем знамена́тель: 2³ = 8. Значит, 2⁻³ = 1/8.
- 64. Степень считаем раньше умножения. 4³ = 64, а 5⁰ = 1, потому что основа́ние не равно нулю. Значит, 64 · 1 = 64.
- >. 2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32, а 5² = 5 · 5 = 25. Значит, 2⁵ больше 5², и верный знак — >.
- 3. Перемножаем шестёрки, пока не получим 216: 6 · 6 = 36, 36 · 6 = 216. Множителей три, значит, n = 3.
Если тема не идёт
Подписывай над числами слова: под основанием — «повторяется», над показателем — «сколько раз». Дальше раскрой степень в произведение и пересчитай множители, отмечая каждый карандашом. Другие темы раздела собраны в хабе Математика.
Для разбора этой темы есть репетитор по математике.
Типичная ошибка
Нередко основание и показатель меняют местами и считают 3⁵ как 5³: выходит 125 вместо 243. Проверка такая: раскрой степень в произведение и пересчитай множители — в 3⁵ их пять и все равны 3, а в 5³ их три и все равны 5. Перед вычислением подпиши, какое число стоит внизу, а какое вверху справа.
Частые вопросы
Чем основание отличается от показателя?
Основание — нижнее число в записи степени, оно показывает, какое число повторяется. Показатель — верхнее число справа, он показывает, сколько раз основание берут множителем при натуральном показателе. В записи 3⁵ основание равно 3, показатель равен 5, а значение степени равно 243.
Что такое отрицательная степень числа?
Степень с отрицательным показателем равна единице, делённой на степень с тем же положительным показателем. Формула a⁻ⁿ = 1/aⁿ работает, если n — натуральное число и основание не равно нулю. Например, 2⁻³ = 1/2³ = 1/8, а 5⁻² = 1/5² = 1/25.
Что такое натуральная степень числа?
Так называют степень с натуральным показателем: 1, 2, 3 и так далее. При натуральном показателе основание берут множителем столько раз, сколько указано в показателе: 2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32. При показателе 1 значение равно основанию: 7¹ = 7.
Чему равно значение степеней числа 2?
Значения степеней двойки удобно помнить по таблице: 2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8, 2⁴ = 16, 2⁵ = 32, 2⁶ = 64, 2⁷ = 128, 2⁸ = 256, 2⁹ = 512, 2¹⁰ = 1024. Каждое следующее значение вдвое больше предыдущего.
Потренируйся сам — бесплатно и без регистрации
На этой странице есть блок «Проверь себя». Реши задания сам, ничего никуда не отправляя, и сверься с ответами: так видно, что уже получается.
