- Правило
- 10 класс
Бесконечная геометрическая прогрессия: сумма и знаменатель
Обновлено
Подготовлено редакцией «Ментор»Опубликовано Что изменилось: Определение приведено к школьному: члены отличны от нуля, уточнены условия суммыИсточников: 1
Коротко
При |q| < 1 сумма бесконечной геометрической прогрессии равна S = b₁ : (1 − q): её члены стремятся к нулю, а частичные суммы — к одному числу. Для 1; 1/2; 1/4; ... сумма равна 2, для 9; −3; 1; −1/3; ... — 6,75.
Правило
Геометрическая прогрессия — это последовательность отличных от нуля чисел, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q. Это число называют знаменателем прогрессии.
Соседние члены связаны формулой bₙ₊₁ = bₙ · q. Если bₙ ≠ 0, знаменатель находят делением: q = bₙ₊₁ : bₙ.
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — геометрическая прогрессия, у которой |q| < 1. Её члены стремятся к нулю, а частичные суммы — к конечному числу.
Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии: S = b₁ : (1 − q) при условии |q| < 1.
Как понять, что прогрессия бесконечно убывающая
- Найди знаменательРаздели второй член на первый: q = b₂ : b₁.
- Возьми модульЗнак знаменателя не важен: с единицей сравнивают модуль q.
- Сравни с единицейМодуль q меньше 1 — прогрессия бесконечно убывающая.
- Проверь по членамВ прогрессии 9; −3; 1; −1/3; ... модуль каждого следующего члена в три раза меньше.
Как найти сумму:
- Выпиши первый член b₁ и найди знаменатель: q = b₂ : b₁.
- Проверь условие |q| < 1. Если модуль знаменателя не меньше единицы, конечной суммы у прогрессии нет.
- Подставь b₁ и q в формулу S = b₁ : (1 − q) и посчитай.
- Сверь ответ с частичными суммами: они помогают заметить закономерность, а сходимость определяют по условию |q| < 1.
Как найти сумму бесконечной геометрической прогрессии
- Найди b₁ и qПервый член выписывают из условия, знаменатель считают: q = b₂ : b₁.
- Проверь условиеФормула работает при модуле q меньше единицы. Если модуль q не меньше единицы, конечной суммы нет.
- Подставь в формулуS = b₁ : (1 − q). Для 1; 1/2; 1/4; ... получается 1 : (1 − 1/2) = 2.
- Сверь с частичными суммамиСуммы 1; 1,5; 1,75; ... помогают проверить вычисления, но сходимость определяют по условию |q| < 1.
Формулу можно объяснить через частичные суммы. Сумма первых n членов равна b₁(1 − qⁿ) : (1 − q) при q ≠ 1. Если |q| < 1, то при увеличении n множитель qⁿ подходит к нулю, и Sₙ приближается к b₁ : (1 − q).
Для 1; 1/2; 1/4; … частичные суммы равны 2(1 − (1/2)ⁿ): 1; 1,5; 1,75; … — они подходят к 2.
Основы степени числа разобраны в материале о степени числа. Условие |q| < 1 — это неравенство с модулем; как решать неравенства по шагам, описано в статье о решении неравенств.
Таблица или схема
Что происходит при разных знаменателях:
| Знаменатель q | Пример прогрессии | Сумма |
|---|---|---|
| 0 < q < 1 | 1; 1/2; 1/4; 1/8; … | есть, S = 2 |
| −1 < q < 0 | 9; −3; 1; −1/3; … | есть, S = 6,75 |
| q = 1 | 5; 5; 5; 5; … | нет |
| q = −1 | 4; −4; 4; −4; … | нет |
| q > 1 или q < −1 | 1; 2; 4; 8; … | нет |
Формулы, которые нужны для работы:
| Что найти | Формула | Условие |
|---|---|---|
| n-й член | bₙ = b₁ · q^(n−1) | n — натуральное |
| знаменатель | q = bₙ₊₁ : bₙ | bₙ ≠ 0 |
| сумма первых n членов | Sₙ = b₁(1 − qⁿ) : (1 − q) | q ≠ 1 |
| сумма бесконечной прогрессии | S = b₁ : (1 − q) | модуль q меньше 1 |
Примеры
Сумма прогрессии 1; 1/2; 1/4; …
- b₁ = 1, знаменатель q = (1/2) : 1 = 1/2.
- Модуль q равен 1/2, а это меньше единицы: прогрессия бесконечно убывающая.
- Подставляем: S = 1 : (1 − 1/2) = 1 : (1/2) = 2.
S = 2. Частичные суммы 1; 1,5; 1,75; 1,875; … подходят к двойке, но не превосходят её.
Сумма прогрессии 6; 2; 2/3; …
- b₁ = 6, знаменатель q = 2 : 6 = 1/3.
- Модуль q равен 1/3, это меньше единицы, значит, сумма есть.
- S = 6 : (1 − 1/3) = 6 : (2/3) = 9.
S = 9. Проверка: 6; 8; 8 2/3; 8 8/9; … — частичные суммы растут, приближаясь к 9.
Прогрессия с отрицательным знаменателем: 9; −3; 1; −1/3; …
- b₁ = 9, знаменатель q = (−3) : 9 = −1/3.
- Модуль q равен 1/3, это меньше единицы.
- S = 9 : (1 − (−1/3)) = 9 : (1 + 1/3) = 9 : (4/3) = 27/4.
S = 27/4, то есть 6,75. Частичные суммы 9; 6; 7; 6 2/3; 6 7/9; … подходят к 6,75 с двух сторон.
Периодическая дробь 0,(3)
Сумма 0,3 + 0,03 + 0,003 + … — это бесконечная геометрическая прогрессия с b₁ = 0,3 и q = 0,1.
- Знаменатель: 0,03 : 0,3 = 0,1.
- Модуль q равен 0,1, это меньше единицы.
- S = 0,3 : (1 − 0,1) = 0,3 : 0,9 = 1/3.
0,3 + 0,03 + 0,003 + … = 1/3, то есть 0,(3) = 1/3.
Исключения
Модуль знаменателя не меньше единицы. Конечной суммы у прогрессии нет. У прогрессии 1; 2; 4; 8; … знаменатель равен 2, частичные суммы растут без ограничений, и формула здесь не подходит: она дала бы 1 : (1 − 2) = −1.
Граница: q = 1 и q = −1. У прогрессии 5; 5; 5; 5; … частичные суммы равны 5; 10; 15; …, а у 4; −4; 4; −4; … они поочерёдно равны 4 и 0. Конечной суммы нет ни там, ни там, хотя члены не растут по модулю.
Отрицательный знаменатель — не помеха. Если |q| < 1, сумма есть и при отрицательном q. Для 9; −3; 1; −1/3; … знаменатель равен −1/3, а S = 9 : (1 + 1/3) = 6,75.
Первый член бывает и отрицательным. Например, b₁ = −8 и q = 1/2: S = −8 : (1 − 1/2) = −8 : (1/2) = −16.
Проверь себя
Задание на 8 минут. Решай в тетради, а ответы вводи ниже.
Реши, введи ответ и нажми «Проверить». Ответы никуда не отправляются и не сохраняются.
Реши в тетради. Ответы и объяснения — под кнопкой «Показать ответы».
Показать ответы
- 2. b₁ = 1, q = 1/2, модуль q меньше единицы. S = 1 : (1 − 1/2) = 1 : (1/2) = 2.
- 1; 1/2; 1/4; 1/8; .... У первой прогрессии q = 1/2, модуль q меньше единицы. У второй и третьей q = 2, а у четвёртой q = 1, поэтому бесконечно убывающая только первая.
- 9. S = b₁ : (1 − q) = 6 : (1 − 1/3) = 6 : (2/3) = 9.
- -1/3 или −1/3. Знаменатель равен частному любого члена и предыдущего: −3 : 9 = −1/3. Проверка: 9 · (−1/3) = −3, затем −3 · (−1/3) = 1.
- 1/2 или 0,5. Из формулы S = b₁ : (1 − q) получаем 4 = 2 : (1 − q), значит, 1 − q = 2 : 4 = 0,5 и q = 0,5.
- Конечной суммы нет. При модуле q больше единицы члены по модулю растут, и частичные суммы не подходят к одному числу. Формулу S = b₁ : (1 − q) в этом случае применять нельзя.
Если тема не идёт
Проверяй условие |q| < 1 до подстановки в формулу: если модуль знаменателя не меньше единицы, конечной суммы нет. Отрицательный знаменатель бери в скобки, чтобы не потерять знак: 1 − (−1/3) = 1 + 1/3. Выпиши первые четыре частичные суммы — по ним можно проверить вычисления. Если два вида прогрессий путаются, начни с материала об арифметической прогрессии. Другие темы курса собраны в разделе Математика.
Если нужна помощь с темой, посмотри, как проходят занятия с репетитором по математике.
Типичная ошибка
Нередко числа подставляют в формулу S = b₁ : (1 − q), не проверив знаменатель. Нужна проверка |q| < 1. Для прогрессии 1; 2; 4; 8; ... формула дала бы −1, хотя конечной суммы нет. Поймать ошибку помогает проверка по частичным суммам: если они не подходят к одному числу, ответ неверен.
Частые вопросы
Какая геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей?
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — это прогрессия, у которой модуль знаменателя меньше единицы: |q| < 1. Знак знаменателя при этом не важен, поэтому бесконечно убывающей может быть и прогрессия с отрицательным q, например 9; −3; 1; −1/3; ... Её члены стремятся к нулю, а частичные суммы — к конечному числу.
Как найти сумму бесконечной геометрической прогрессии?
Сначала найди первый член b₁ и знаменатель q, затем проверь, что модуль q меньше единицы. После этого подставь числа в формулу S = b₁ : (1 − q). Для прогрессии 6; 2; 2/3; ... знаменатель равен 1/3, поэтому S = 6 : (1 − 1/3) = 6 : (2/3) = 9.
Как найти знаменатель геометрической прогрессии?
Знаменатель q равен частному любого члена прогрессии и предыдущего члена: q = bₙ₊₁ : bₙ при bₙ ≠ 0. Для 9; −3; 1; −1/3; ... получается q = −3 : 9 = −1/3. Проверить можно умножением: 9 · (−1/3) = −3, и следующий член действительно равен −3.
Почему формулу суммы применяют только при модуле знаменателя меньше единицы?
Сумма первых n членов равна b₁(1 − qⁿ) : (1 − q) при q ≠ 1. Если модуль q меньше единицы, то qⁿ стремится к нулю, поэтому частичные суммы приближаются к b₁ : (1 − q). При |q| больше единицы конечной суммы нет.
Потренируйся сам — бесплатно и без регистрации
На этой странице есть блок «Проверь себя». Реши задания сам, ничего никуда не отправляя, и сверься с ответами: так видно, что уже получается.
