- Правило
- 11 класс
Дробная степень: что это такое и как считать значение по шагам
Обновлено
Подготовлено редакцией «Ментор»Опубликовано Что изменилось: Уточнены класс по базовой программе и область определения степени.Источников: 1
Коротко
Дробная степень — это степень, у которой показатель записан дробью. Значение такой степени считают через корень: знаменатель дроби показывает, какой корень извлекают, а числитель — в какую степень возводят результат. В школьной формуле для произвольного рационального показателя берут положительное основание. Ноль можно возвести в положительную степень, а минус в показателе означает переход к обратному числу.
Правило
Показатель степени бывает не только целым. Встречается запись вида a^(m/n): здесь a — основание, а дробь m/n — показатель.
Значение такой степени считают через корень:
a^(m/n) = ⁿ√(a^m)
Знаменатель n показывает, какой корень извлекают, числитель m — в какую степень возводят результат. При допустимых значениях основания и показателя порядок действий можно выбрать любой: результат получится один и тот же.
Числовая проверка: 27^(2/3) = (∛27)² = 3² = 9. Тот же ответ даёт и запись с корнем из степени.
Как посчитать дробную степень
- Запиши показатель дробьюЕсли показатель дан конечной десятичной дробью, переведи её в равную обыкновенную: 0,5 — это 1/2.
- Найди знаменательЗнаменатель показывает, какой корень извлекают: у показателя 1/3 это корень третьей степени.
- Найди числительЧислитель показывает, в какую степень возводят результат корня.
- Извлеки кореньНайди корень из основания: ∛27 = 3, потому что 3³ = 27.
- Возведи в степеньПолученное число возведи в степень по числителю: 3² = 9.
- Разберись с минусомЕсли в показателе есть минус (a > 0), единицу делят на результат: 4^(−1/2) = 1 : 2 = 1/2.
Формула верна при положительном основании a, целом m и натуральном n; для расчёта удобно сначала сократить дробь. Если под корнем отрицательное число, то в действительных числах определён только корень нечётной степени. Например, ∛(−8) = −2. Здесь запись с корнем позволяет обойтись без расширения определения дробной степени на отрицательные основания.
Свойства у дробной степени те же, что у целой: при положительном основании и допустимых показателях a^x · a^y = a^(x+y).
Как посчитать значение по шагам:
- Запиши показатель обыкновенной дробью.
- По знаменателю определи, какой корень нужен.
- По числителю определи, в какую степень возводить.
- Извлеки корень из основания.
- Возведи результат в степень.
- Если в показателе есть минус (a > 0), раздели единицу на полученный результат.
С целыми показателями запись согласуется: 8^(1/3) — корень третьей степени, а 8^(2/3) — тот же корень в квадрате. Про основание, показатель и вычисление натуральной степени читай в материале «Степень числа».
Таблица или схема
Что означает каждая часть записи:
| Часть записи | Что означает |
|---|---|
| основание a | при положительном a корень берут из a или из a^m; при a = 0 допустим только положительный показатель; при a < 0 дробную степень в школьном курсе не определяют |
| числитель m | степень, в которую возводят результат |
| знаменатель n | показатель корня |
| минус перед дробью | при a > 0 взять число, обратное результату |
Как выглядит действие при разных показателях:
| Показатель | Что делают | Пример |
|---|---|---|
| 1/n | извлекают корень n-й степени | 8^(1/3) = ∛8 = 2 |
| m/n | извлекают корень n-й степени и возводят результат в степень m | 27^(2/3) = (∛27)² = 3² = 9 |
| −m/n | при a > 0 берут число, обратное к a^(m/n) | 4^(−1/2) = 1 : √4 = 1/2 |
| конечная десятичная дробь | записывают показатель равной обыкновенной дробью | 0,25^(0,5) = 0,25^(1/2) = 0,5 |
Примеры
Корень третьей степени: 8^(1/3)
Чему равно 8^(1/3)? Показатель — дробь 1/3, знаменатель равен 3, значит нужен корень третьей степени.
Извлекаем корень: ∛8 = 2, потому что 2³ = 8. Числитель равен единице, поэтому возводить в степень не нужно.
Ответ: 2.
Числитель больше единицы: 27^(2/3)
Показатель 2/3: знаменатель 3 задаёт корень третьей степени, числитель 2 — вторую степень.
Сначала корень: ∛27 = 3. Затем степень: 3² = 9. Проверка: 3 · 3 = 9.
Ответ: 9.
Показатель 3/4: 16^(3/4)
Знаменатель 4 — корень четвёртой степени, числитель 3 — третья степень.
⁴√16 = 2, потому что 2⁴ = 16. Дальше 2³ = 8.
Ответ: 8.
Корень пятой степени: 32^(1/5)
Знаменатель 5 — корень пятой степени, числитель равен единице.
⁵√32 = 2, потому что 2⁵ = 32.
Ответ: 2.
Основание — дробь: (1/9)^(1/2)
Основание 1/9 — положительное число. Знаменатель 2 — квадратный корень.
√(1/9) = 1/3, потому что (1/3)² = 1/9.
Ответ: 1/3.
Исключения
Отрицательный показатель. Минус означает, что берут число, обратное результату: a^(−m/n) = 1 : a^(m/n) при a > 0. Для 4^(−1/2) сначала считают √4 = 2, потом делят единицу на 2. Ответ: 1/2.
Показатель записан десятичной дробью. Конечную десятичную дробь заменяют равной обыкновенной: 0,5 — это 1/2. Тогда 0,25^(0,5) = 0,25^(1/2) = √0,25 = 0,5, поскольку 0,5 · 0,5 = 0,25. Ответ: 0,5. Если дробь в показателе бесконечная периодическая, сначала находят её запись в виде обыкновенной дроби.
Дробь в показателе сократили. Если у числителя и знаменателя есть общий делитель, дробь сокращают до вычислений: 4^(2/4) = 4^(1/2) = 2. При положительном основании значение от этого не меняется.
Основание равно нулю. Ноль в положительной дробной степени равен нулю: 0^(1/3) = ∛0 = 0.
Основание отрицательное. Дробную степень с отрицательным основанием в школьном курсе не определяют. Чётный корень из отрицательного числа не существует, а нечётный существует: ∛(−8) = −2, потому что (−2)³ = −8. Это корень, а не степень (−8)^(1/3).
Проверь себя
Считай в тетради, а ответ вводи ниже.
Реши, введи ответ и нажми «Проверить». Ответы никуда не отправляются и не сохраняются.
Реши в тетради. Ответы и объяснения — под кнопкой «Показать ответы».
Показать ответы
- 2. Знаменатель показателя равен 3, поэтому берём корень третьей степени: ∛8 = 2, так как 2³ = 8.
- Какой корень извлекают. Знаменатель дробного показателя задаёт корень, а числитель — степень: 27^(2/3) = (∛27)² = 9.
- 9. Знаменатель 3 задаёт корень третьей степени: ∛27 = 3. Числитель 2 показывает вторую степень: 3² = 9.
- 8. Корень четвёртой степени из 16 равен 2, потому что 2⁴ = 16. Затем 2 возводим в третью степень: 2³ = 8.
- 1/2 или 0,5 или 0.5. Минус в показателе означает обратное число: 4^(−1/2) = 1 : √4 = 1 : 2, то есть 1/2.
- 0,5 или 0.5. 0,5 — это 1/2, значит нужен квадратный корень: √0,25 = 0,5, поскольку 0,5 · 0,5 = 0,25.
Если тема не идёт
Начни с самого простого случая: a^(1/2) — это квадратный корень. Как считать квадратные корни, разобрано в материале «Квадратный корень».
Посчитай три значения: 4^(1/2), 8^(1/3) и 16^(1/4). Все три равны 2. Если получил три двойки, сверь ход решения: в каждом примере нужен корень той степени, которая указана знаменателем. Другие материалы по математике — в разделе «Математика».
О занятиях по этой и другим темам — на странице репетитора по математике.
Типичная ошибка
Возможная ошибка — поменять местами числитель и знаменатель дробного показателя: в примере 27^(2/3) берут корень второй степени вместо третьей. Поймать промах помогает проверка по смыслу: знаменатель показывает, какой корень извлекают, а числитель — в какую степень возводят. Если поменять их местами в данном примере, получится другая степень и другое значение: корень третьей степени из 27 равен 3, а корень второй степени из 27 целым числом не выражается.
Частые вопросы
Что такое дробная степень?
Дробная степень — это степень, у которой показатель записан дробью, например 8^(1/3) или 27^(2/3). Её значение считают через корень: при положительном основании a^(m/n) = ⁿ√(a^m). Знаменатель дроби показывает, какой корень извлекают, а числитель — в какую степень возводят результат.
Как посчитать значение дробной степени?
Сначала смотрят на знаменатель показателя: он задаёт корень. Этот корень извлекают из основания, а результат возводят в степень по числителю. Например, 27^(2/3) = (∛27)² = 3² = 9.
Что делать, если показатель отрицательный?
Минус в показателе означает, что берут число, обратное результату: a^(−m/n) = 1 : a^(m/n) при a > 0. У степени 4^(−1/2) сначала считают √4 = 2, а потом делят единицу на 2 и получают 1/2.
Что делать, если показатель записан десятичной дробью?
Конечную десятичную дробь в показателе заменяют равной обыкновенной дробью. Так, 0,5 — это 1/2, поэтому 0,25^(0,5) = 0,25^(1/2) = √0,25 = 0,5.
Можно ли сокращать дробь в показателе степени?
Да, при положительном основании дробь в показателе сокращают до вычислений. Например, 4^(2/4) = 4^(1/2) = 2. Значение от сокращения не меняется, а считать становится проще.
Потренируйся сам — бесплатно и без регистрации
На этой странице есть блок «Проверь себя». Реши задания сам, ничего никуда не отправляя, и сверься с ответами: так видно, что уже получается.
