- Правило
- 8 класс
Квадратный корень и арифметический квадратный корень: правило и примеры
Обновлено
Подготовлено редакцией «Ментор»Опубликовано Что изменилось: Уточнено условие точной записи корняИсточников: 1
Коротко
Квадратный корень из числа a — это число, квадрат которого равен a, а арифметический квадратный корень из a — неотрицательное действительное число с тем же свойством. Обозначение √a читают «корень из a». В действительных числах запись √a имеет смысл при a ≥ 0, а значение проверяют возведением в квадрат: 3 · 3 = 9, поэтому √9 = 3.
Правило
Квадратный корень из числа a — это число, квадрат которого равен a. Арифметический квадратный корень из числа a — неотрицательное число, квадрат которого тоже равен a. Обозначают его знаком √: запись √9 читают «корень из 9».
Знак √ называют знаком корня, а число или выражение под ним — подкоренным выражением. Для арифметического корня подкоренное выражение неотрицательно: в действительных числах запись √a имеет смысл при a ≥ 0. Само значение корня тоже неотрицательно, и его проверяют возведением в квадрат: если a ≥ 0, b ≥ 0 и √a = b, то b · b = a.
У положительного числа два действительных квадратных корня: 3 · 3 = 9 и (−3) · (−3) = 9. Арифметический корень из 9 один, это 3, потому что из двух чисел берут неотрицательное. Второй корень записывают со знаком минус перед корнем: −√9 = −3.
Корень нужен там, где по квадрату числа возвращают само число. Так, в прямоугольном треугольнике длину гипотенузы находят как корень из суммы квадратов катетов: «Теорема Пифагора».
Как найти значение квадратного корня
- Найди подкоренное выражениеЭто число или выражение под знаком корня. В записи √(x − 2) под корнем стоит x − 2.
- Проверь условиеУ арифметического квадратного корня подкоренное выражение неотрицательно: a ≥ 0.
- Подбери числоИщи неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному выражению: для 9 это 3.
- Проверь возведением в квадратУмножь найденное число само на себя. Получилось подкоренное выражение — значение верное.
- Возьми приближённое значениеЕсли точное значение нельзя записать конечной десятичной дробью, оставь знак корня или округли значение до нужного разряда.
Порядок действий:
- Найди подкоренное выражение — то, что стоит под знаком корня.
- Проверь, что подкоренное выражение неотрицательно.
- Подбери неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному выражению.
- Проверь ответ возведением в квадрат.
- Если точное значение нельзя записать конечной десятичной дробью, оставь запись со знаком корня или возьми приближённое значение.
Таблица или схема
Значения корней для чисел, которые встречаются в заданиях чаще всего:
| Число a | Значение √a | Проверка |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 · 0 = 0 |
| 1 | 1 | 1 · 1 = 1 |
| 4 | 2 | 2 · 2 = 4 |
| 9 | 3 | 3 · 3 = 9 |
| 16 | 4 | 4 · 4 = 16 |
| 2 | ≈ 1,41 | 1,41 · 1,41 = 1,9881 ≈ 2 |
| 3 | ≈ 1,73 | 1,73 · 1,73 = 2,9929 ≈ 3 |
| 8 | ≈ 2,83 | 2,83 · 2,83 = 8,0089 ≈ 8 |
Значения в трёх нижних строках приближённые: они округлены до сотых. Точное значение √2, √3 и √8 нельзя записать конечной десятичной дробью, но можно оставить в записи со знаком корня. Для √8 есть и другая запись: √8 = 2√2, потому что √4 · √2 = √8, а свойство √a · √b = √(ab) выполняется при неотрицательных a и b.
Под корнем может стоять выражение с x. Тогда сначала выясняют, при каких x это выражение имеет смысл:
| Подкоренное выражение | Условие |
|---|---|
| x | x ≥ 0 |
| x − 2 | x − 2 ≥ 0, то есть x ≥ 2 |
| x² | выполнено при любом действительном x: квадрат неотрицателен |
| −4 | смысла нет: квадрат любого действительного числа неотрицателен |
Когда выражение под корнем имеет смысл
- Выдели выражение под корнемДля √x это x, для √(x − 2) это x − 2.
- Составь неравенствоВ действительных числах подкоренное выражение должно быть неотрицательным: x ≥ 0 или x − 2 ≥ 0.
- Реши неравенствоИз x − 2 ≥ 0 получается x ≥ 2.
- Проверь подстановкойВозьми число из найденного промежутка: при x = 6 под корнем 6 − 2 = 4, корень равен 2.
- Проверь границуЧисло на границе тоже подходит: при x = 2 под корнем 0, а √0 = 0.
Примеры
Корень из 9
Ищем неотрицательное число, квадрат которого равен 9. Подходит 3, потому что 3 · 3 = 9, а другого неотрицательного числа с таким квадратом нет. Проверка подтверждает результат.
Ответ: √9 = 3.
Корень из 2
Число 2 не является квадратом целого числа, поэтому точное значение √2 нельзя записать конечной десятичной дробью — точной остаётся сама запись √2. В задачах берут приближённое значение: √2 ≈ 1,41, если округлить до сотых. Проверка тоже приближённая: 1,41 · 1,41 = 1,9881, это близко к 2. Округление разобрано в теме «Округление чисел».
Ответ: √2 ≈ 1,41.
Корень из 8
Число 8 не является квадратом целого числа, но его можно представить произведением 4 · 2. Тогда √8 = √4 · √2 = 2√2: свойство √a · √b = √(ab) работает при неотрицательных a и b. Приближённое значение: 2√2 ≈ 2,83. Приближённая проверка даёт 2,83 · 2,83 = 8,0089 ≈ 8.
Ответ: √8 = 2√2 ≈ 2,83.
Корень из 0 и из 1
Ноль и единица — квадраты самих себя: 0 · 0 = 0 и 1 · 1 = 1. Поэтому √0 = 0, а √1 = 1. Оба подкоренных выражения неотрицательны, значит, арифметические корни существуют.
Ответ: √0 = 0, √1 = 1.
Выражение с x под корнем
Выражение √x имеет смысл в действительных числах, когда под корнем стоит неотрицательное число, то есть при x ≥ 0. Если под корнем x − 2, условие другое: x − 2 ≥ 0, откуда x ≥ 2. Проверим на числах: при x = 6 под корнем окажется 6 − 2 = 4, и значение равно 2. При x = 1 получится под корнем −1, а такое выражение в действительных числах смысла не имеет.
Ответ: √x имеет смысл при x ≥ 0, а √(x − 2) — при x ≥ 2.
Корень из суммы
Значение корня из суммы, вообще говоря, не равно сумме корней. Сначала считают сумму под корнем: 9 + 16 = 25, тогда √25 = 5. Отдельно √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Получаются разные числа, поэтому действие под корнем выполняют первым.
Ответ: √(9 + 16) = 5.
Трудные случаи
Два числа с одинаковым квадратом. У числа 9 два действительных квадратных корня: 3 и −3. Знак √ без минуса даёт неотрицательное значение, поэтому √9 = 3, а −√9 = −3.
Корень из квадрата. √(x²) = |x| при любом действительном x, потому что значение корня неотрицательно. При x = −5: (−5)² = 25 и √25 = 5, то есть |−5| = 5. Замена √(x²) = x верна только при x ≥ 0, а при x < 0 результат равен −x. Тот же приём работает с выражениями: x² − 2x + 1 = (x − 1)², поэтому корень из этого выражения равен |x − 1|.
Приближённое значение не равно точному. Запись √2 ≈ 1,41 означает, что 1,41 — округлённое значение, а не точное: 1,41 · 1,41 = 1,9881, а не 2.
Отрицательное число под корнем. Запись √(−4) не имеет смысла: квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому числа с таким квадратом нет.
Проверь себя
Задание на 10 минут. Решай в тетради, а ответ вводи ниже.
Реши, введи ответ и нажми «Проверить». Ответы никуда не отправляются и не сохраняются.
Реши в тетради. Ответы и объяснения — под кнопкой «Показать ответы».
Показать ответы
- 7. 7 · 7 = 49, значит, √49 = 7. Другого неотрицательного числа с таким квадратом нет.
- 5. Сначала считаем сумму под корнем: 9 + 16 = 25. Затем √25 = 5, потому что 5 · 5 = 25.
- 6. (−6)² = 36, а √36 = 6. Корень из квадрата равен модулю числа: √(x²) = |x|, для x = −6 это 6.
- 1,41. √2 ≈ 1,414…, при округлении до сотых получается 1,41. Значение 1,73 соответствует √3, а 2,83 — √8.
- при x ≥ 0. Подкоренное выражение неотрицательно, поэтому x ≥ 0. При x = 0 выражение тоже имеет смысл: √0 = 0.
- 1. √0 = 0, √1 = 1, поэтому 0 + 1 = 1.
Если тема не идёт
Открой таблицу квадратов и найди в ней число, которое стоит под корнем. Если число в таблице есть, рядом в той же строке стоит его корень — так устроены многие таблицы квадратов. Если числа нет, значение берут приближённо или оставляют знак корня в записи. Пример: √49 = 7, потому что 7 · 7 = 49. Остальные темы школьного курса собраны в разделе «Математика».
Если нужна помощь с темой, посмотри, как проходят занятия с репетитором по математике.
Типичная ошибка
Корень из суммы, вообще говоря, не равен сумме корней: √(9 + 16) = √25 = 5, а √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Ошибку видно, если посчитать обе записи по отдельности: сначала выполнить действие под корнем, потом извлечь корень. Ещё один промах — считать √(x²) равным x при отрицательном x: верно √(x²) = |x|, а при x < 0 это −x, потому что значение корня неотрицательно.
Частые вопросы
Что такое квадратный корень?
Квадратный корень из числа a — это число, квадрат которого равен a. Например, квадратный корень из 9 — это 3, потому что 3 · 3 = 9. У положительного числа таких действительных чисел два: 3 и −3, ведь (−3) · (−3) = 9. Арифметический квадратный корень при этом один — неотрицательный, именно его обозначают знаком √.
Чему равен квадратный корень?
Значение зависит от числа под корнем. Арифметический корень оказывается целым, если подкоренное число — квадрат целого неотрицательного числа. Например, √0 = 0, √1 = 1, √4 = 2, √9 = 3, √16 = 4. Для чисел, у которых корень не имеет удобного точного значения, используют приближение; сам корень можно оставить в записи со знаком корня: √2 ≈ 1,41, √3 ≈ 1,73, √8 ≈ 2,83. Правильность проверяют возведением в квадрат: 3 · 3 = 9, значит, √9 = 3.
Чем отличается арифметический квадратный корень от квадратного корня?
У положительного числа есть два действительных числа с одинаковым квадратом: например, 3 и −3 в квадрате дают 9. Поэтому действительных квадратных корней два. Арифметическим квадратным корнем называют только неотрицательный из них, и его обозначают знаком √. Запись √9 равна 3, а второй корень записывают со знаком минус: −√9 = −3.
Чему равен квадратный корень из 2?
Точное значение √2 нельзя записать конечной десятичной дробью, сама запись √2 остаётся точной. Поэтому используют приближённое значение: √2 ≈ 1,41, если округлить до сотых. Проверка тоже приближённая: 1,41 · 1,41 = 1,9881, это близко к 2. В задачах √2 часто оставляют в записи со знаком корня.
При каких значениях x имеет смысл выражение √x?
Выражение √x имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть при x ≥ 0. Если под корнем стоит другое выражение, неравенство составляют по нему: для √(x − 2) нужно x − 2 ≥ 0, то есть x ≥ 2. Подстановка помогает проверить ответ: при x = 1 под корнем получится −1, и в действительных числах такое выражение смысла не имеет.
Потренируйся сам — бесплатно и без регистрации
На этой странице есть блок «Проверь себя». Реши задания сам, ничего никуда не отправляя, и сверься с ответами: так видно, что уже получается.
