- Правило
- 5–6 класс
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями: правило и примеры
Обновлено
Подготовлено редакцией «Ментор»Опубликовано Что изменилось: Уточнён выбор общего знаменателя.Источников: 1
Коротко
Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, их приводят к общему знаменателю, а затем складывают или вычитают только числители. После приведения к общему знаменателю у полученных дробей знаменатель общий и при сложении или вычитании не меняется. Результат сокращают, а если дробь неправильная, выделяют целую часть.
Правило
Дроби можно сложить или вычесть сразу, если у них одинаковые знаменатели: 3/8 + 2/8 = 5/8. Знаменатель показывает размер доли, поэтому он не меняется, а числители складываются: сколько долей было и сколько добавили.
Если знаменатели разные, доли отличаются по размеру. Сначала дроби приводят к общему знаменателю, то есть к долям одного размера.
Сложение дробей: пять шагов
- Общий знаменательНайди положительное число, которое делится на оба знаменателя.
- Дополнительные множителиРаздели общий знаменатель на каждый знаменатель.
- Приведи дробиУмножь числитель и знаменатель каждой дроби на свой множитель.
- Сложи числителиЗнаменатель оставь общим.
- Упрости ответСократи дробь и выдели целую часть.
Общий знаменатель — положительное число, которое делится на оба знаменателя. Удобнее брать наименьшее. Дополнительный множитель — это общий знаменатель, разделённый на знаменатель дроби: на него умножают и числитель, и знаменатель, поэтому величина дроби не меняется.
Таблица или схема
| Шаг | Что делаем | Для 1/2 + 1/3 |
|---|---|---|
| 1 | Находим общий знаменатель | 6 |
| 2 | Дополнительные множители | 6 : 2 = 3 и 6 : 3 = 2 |
| 3 | Приводим дроби | 3/6 и 2/6 |
| 4 | Складываем числители | 3 + 2 = 5, получаем 5/6 |
| 5 | Сокращаем, выделяем целое | 5/6 уже несократима |
Примеры
Сложение: 1/2 + 1/3
1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6
Общий знаменатель 6. Числитель и знаменатель первой дроби умножили на 3, второй — на 2. Теперь доли одинаковые — шестые, и можно сложить: 3 шестых и 2 шестых — это 5 шестых.
Вычитание: 3/4 − 1/6
3/4 − 1/6 = 9/12 − 2/12 = 7/12
Общий знаменатель 12: 12 : 4 = 3, 12 : 6 = 2. В дроби 3/4 умножили числитель и знаменатель на 3 и получили 9/12; в дроби 1/6 умножили оба на 2 и получили 2/12. Из девяти двенадцатых вычитаем две двенадцатых.
Неправильная дробь в ответе: 5/6 + 3/4
5/6 + 3/4 = 10/12 + 9/12 = 19/12 = 1 7/12
Общий знаменатель 12. Сумма числителей 19 больше знаменателя, поэтому дробь неправильная. 19 : 12 = 1 (ост. 7), поэтому 19/12 = 1 7/12.
Сокращение в ответе и смешанные числа
1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2
Здесь общий знаменатель — 6, сразу один из знаменателей. Ответ 3/6 сокращаем на 3.
2 1/2 + 1 1/3 = 3 + 3/6 + 2/6 = 3 5/6
Целые части складываем отдельно: 2 + 1 = 3. Дробные части приводим к шестым и складываем: 3/6 + 2/6 = 5/6.
Исключения
Нельзя складывать знаменатели. 1/2 + 1/3 не равно 2/5: знаменатель — размер доли, а не количество.
Общий знаменатель не обязан быть наименьшим. Для 1/4 + 1/6 подойдёт и 24: получится 6/24 + 4/24 = 10/24, и ответ сокращают до 5/12.
Вычитание смешанных чисел с «занятой» единицей. Если у уменьшаемого дробная часть меньше, чем у вычитаемого, одну единицу из целой части превращают в дробь: 3 1/6 − 1 1/2 = 2 7/6 − 1 3/6 = 1 4/6 = 1 2/3.
Проверь себя
Попробуй решить за 10 минут. Решай в тетради, а ответ вводи ниже.
Реши, введи ответ и нажми «Проверить». Ответы никуда не отправляются и не сохраняются.
Реши в тетради. Ответы и объяснения — под кнопкой «Показать ответы».
Показать ответы
- 5/12. Общий знаменатель 12: 3/12 + 2/12 = 5/12.
- 7/15. Общий знаменатель 15: 10/15 − 3/15 = 7/15.
- 1 7/12. Общий знаменатель 12: 9/12 + 10/12 = 19/12. Выделяем целую часть: 1 7/12.
- 3 3/4 или 15/4. Приведи дробные части к знаменателю 4: 1 2/4 + 2 1/4 = 3 3/4.
- 1/2 или 0,5. Общий знаменатель 6: 5/6 − 2/6 = 3/6. Сокращаем на 3: 1/2.
Проверить свои примеры и увидеть шаги решения можно в инструменте «Дроби по шагам». Сравнивать дроби перед сложением полезно с материалом «Как сравнить дроби».
Если тема не идёт
Если возникают трудности, сначала потренируйтесь находить общий знаменатель: для пар 4 и 6, 6 и 8, 3 и 5 назовите наименьшее натуральное число, которое делится на оба. Если и это даётся с трудом, повторите таблицу умножения и признаки делимости. Раздел с остальными темами — «Дроби».
Разобрать эту тему с педагогом можно на занятиях по математике.
Типичная ошибка
Складывают и числители, и знаменатели: 1/2 + 1/3 = 2/5. Ошибку легко поймать проверкой: для неотрицательных дробей сумма не может быть меньше каждого слагаемого, а 2/5 меньше, чем 1/2. Покажите ребёнку это на рисунке: чтобы сложить или вычесть дроби одной записью, их сначала представляют долями одного размера.
Частые вопросы
Как найти общий знаменатель?
Можно взять любое положительное общее кратное знаменателей. Удобнее взять наименьшее. Для 4 и 6 это 12: оно делится и на 4, и на 6. Если не получается быстро, перемножьте знаменатели. Для 1/4 + 1/6 использование 24 даст 6/24 + 4/24 = 10/24, после чего результат сокращают до 5/12.
Что делать, если после сложения получилась неправильная дробь?
Выделить целую часть: числитель разделить на знаменатель с остатком. Например, 19/12: 19 : 12 = 1 (ост. 7), поэтому 19/12 = 1 7/12. Формат ответа зависит от условия задания: могут требоваться неправильная дробь или смешанное число.
Как складывать смешанные числа?
Отдельно складывают целые части и отдельно дробные: 2 1/2 + 1 1/3 = 3 + 5/6 = 3 5/6. Если дробная часть получилась неправильной, лишнюю единицу прибавляют к целым.
Почему дроби с разными знаменателями нельзя сложить сразу?
Знаменатель показывает размер доли: у 1/2 это половина, у 1/3 — треть. Чтобы сложить или вычесть дроби одной записью, их сначала представляют долями одного размера: 1/2 = 3/6, 1/3 = 2/6. После этого числители можно сложить.
Что общего у сложения и вычитания дробей?
Порядок работы один: привести дроби к общему знаменателю, выполнить действие с числителями, а знаменатель оставить общим. Разница только в последнем шаге: числители складывают или вычитают. Пример вычитания: 3/4 − 1/6 = 9/12 − 2/12 = 7/12.
Потренируйся сам — бесплатно и без регистрации
На этой странице есть блок «Проверь себя». Реши задания сам, ничего никуда не отправляя, и сверься с ответами: так видно, что уже получается.
