- Правило
- 8–9 класс
Решение неравенств: как решать по шагам и записывать ответ
Обновлено
Подготовлено редакцией «Ментор»Опубликовано Что изменилось: Уточнено деление на выражение с переменнойИсточников: 1
Коротко
Решение неравенств — это поиск всех значений переменной, при которых неравенство верно. Ответ записывают промежутком, объединением промежутков, пустым множеством или всей числовой прямой. Знак неравенства сохраняется при переносе слагаемых и умножении на положительное число, а при умножении или делении на отрицательное число меняется на противоположный.
Правило
Решить неравенство — значит найти все значения переменной, при которых оно верно. Ответ записывают числовым промежутком, объединением промежутков, пустым множеством или всей числовой прямой. Например: (2; +∞), [−3; 7] или (−∞; 0) ∪ (3; +∞).
Неравенства решают равносильными преобразованиями. Прибавить к обеим частям одно и то же число можно без изменения знака. Умножение и деление на положительное число тоже знак сохраняют.
Отдельный случай — умножение или деление на отрицательное число: знак неравенства меняется на противоположный. Из −2x > 6 получается x < −3, а не x > −3.
Порядок действий:
- Раскрой скобки и приведи подобные слагаемые в каждой части.
- Перенеси слагаемые с переменной в одну часть, а числа — в другую.
- Раздели обе части на коэффициент при переменной, если он не равен нулю.
- Если делишь на отрицательное число, поменяй знак неравенства.
- Отметь границу на числовой прямой и запиши промежуток.
Как решить линейное неравенство
- Раскрой скобкиПриведи подобные слагаемые в каждой части отдельно.
- Собери переменную слеваСлагаемые с переменной перенеси в одну часть, числа — в другую.
- Раздели на коэффициентОбе части делим на число перед переменной, если оно не равно нулю.
- Проверь знак коэффициентаЕсли он отрицательный, знак неравенства меняется.
- Запиши промежутокОтметь границу на прямой и выбери скобки.
Таблица или схема
| Действие | Пример | Знак неравенства |
|---|---|---|
| Прибавить или вычесть число | x − 3 > 2 → x > 5 | сохраняется |
| Умножить или разделить на положительное число | 2x > 6 → x > 3 | сохраняется |
| Умножить или разделить на отрицательное число | −2x > 6 → x < −3 | меняется |
| Перенести слагаемое в другую часть | x + 4 < 7 → x < 3 | сохраняется |
Как выглядит ответ:
| Неравенство | Ответ | Скобка у границы |
|---|---|---|
| x > 2 | (2; +∞) | круглая |
| x ≥ 2 | [2; +∞) | квадратная |
| x < 2 | (−∞; 2) | круглая |
| x ≤ 2 | (−∞; 2] | квадратная |
| Решений нет | ∅ | — |
| Решение — любое число | (−∞; +∞) | круглая |
Строгое и нестрогое неравенство
- Строгое: < или >Граница не входит в ответ, точка на прямой выколотая.
- Нестрогое: ≤ или ≥Граница входит в ответ, точка закрашенная.
- Скобка у числаУ строгого неравенства круглая, у нестрогого квадратная.
- Скобка у бесконечностиРядом с +∞ и −∞ всегда ставят круглую скобку.
Примеры
Линейное неравенство: 3x + 2 > 8
Переносим 2 вправо: 3x > 8 − 2, то есть 3x > 6. Делим на 3 — число положительное, знак не меняется: x > 2.
Проверка: при x = 3 получаем 9 + 2 = 11, это больше 8. При x = 0 выходит 2 > 8, неверно. При x = 2 получаем 8 > 8, это неверно, поэтому точка 2 в ответ не входит.
Ответ: (2; +∞).
Деление на отрицательное число: −2x ≥ 6
Делим обе части на −2. Число отрицательное, поэтому знак ≥ меняется на ≤: x ≤ −3.
Проверка: при x = −3 получаем 6 ≥ 6, верно, граница входит в ответ. При x = 0 выходит 0 ≥ 6, неверно.
Ответ: (−∞; −3].
Переменная в двух частях: 5 − x < 2x + 8
Переносим 2x влево, а 5 вправо: −x − 2x < 8 − 5, то есть −3x < 3. Делим на −3 и меняем знак: x > −1.
Проверка: при x = 0 получаем 5 < 8, верно. При x = −2 выходит 7 < 4, неверно.
Ответ: (−1; +∞).
Квадратное неравенство: x² − 5x + 6 < 0
Левая часть раскладывается на множители: (x − 2)(x − 3) < 0. Произведение отрицательно, когда множители разных знаков, а это бывает между корнями 2 и 3.
Проверка: при x = 2,5 получаем 6,25 − 12,5 + 6 = −0,25, это меньше нуля. При x = 0 выходит 6 < 0, неверно.
Ответ: (2; 3).
Разбор множителей и корней есть в материале про квадратное уравнение.
Исключения
Решений нет. Неравенство 0 · x > 5 превращается в 0 > 5 — неверное утверждение при любом значении переменной. Ответ: ∅.
Решением может быть любое число. У неравенства 0 · x < 5 получается 0 < 5, это верно всегда. Ответ: (−∞; +∞).
Деление на выражение с переменной требует проверки его знака. В неравенстве 3x < x² нельзя делить на x без разбора случаев: при x > 0 знак сохраняется, при x < 0 меняется, при x = 0 деление невозможно. Переносим: x² − 3x > 0, то есть x(x − 3) > 0. Произведение положительно при x < 0 или x > 3.
Ответ: (−∞; 0) ∪ (3; +∞).
Проверь себя
Задание примерно на 10 минут. Решай в тетради, а ответ вводи ниже.
Реши, введи ответ и нажми «Проверить». Ответы никуда не отправляются и не сохраняются.
Реши в тетради. Ответы и объяснения — под кнопкой «Показать ответы».
Показать ответы
- x < −3. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный, поэтому −2x > 6 даёт x < −3.
- 4. Из обеих частей вычитаем 5 и получаем x < 4. Граница ответа — число 4, сама точка в ответ не входит.
- −5. Неравенство x ≥ −3 выполнено для самого числа −3 и для всех чисел больше него. Число −5 меньше −3, поэтому решением не является.
- (2; +∞) — 2 не входит. Неравенство строгое, поэтому граница в ответ не входит и скобка у числа круглая. У бесконечности скобка всегда круглая.
- 3. Переносим слагаемые: 7 − 1 > 3x − x, то есть 6 > 2x, значит x < 3. Граница ответа — число 3.
- ни одного. Левая часть равна нулю при любом значении переменной, а неравенство 0 > 5 неверно. Решений нет, ответ записывают знаком ∅.
Если тема не идёт
Ошибка со знаком неравенства заметна сразу. Перед делением выпиши коэффициент при переменной отдельной строкой и посмотри на его знак. Ещё помогает проверка: подставь в исходное неравенство число из своего ответа. Если подстановка не сходится, ищи ошибку в переносе слагаемых — разбор есть в материале про линейные уравнения. Другие темы собраны в разделе «Уравнения».
Для разбора этой темы есть репетитор по математике.
Типичная ошибка
Знак неравенства оставляют прежним при делении на отрицательное число — и ответ получается неверным. Поймать ошибку помогает проверка: подставь в исходное неравенство любое число из полученного промежутка. Перед делением выпиши коэффициент при переменной отдельно: если он со знаком минус, знак неравенства меняется.
Частые вопросы
Что значит решить неравенство?
Решить неравенство — значит найти все значения переменной, при которых оно верно, и записать их. Ответ бывает промежутком, объединением промежутков, пустым множеством или всей числовой прямой. Например, ответ неравенства x > 2 — это промежуток (2; +∞). Любое число из этого промежутка неравенство выполняет, а число 2 или меньше — нет.
Почему при делении на отрицательное число знак неравенства меняется?
Умножение на минус переворачивает порядок чисел на прямой: из верного 2 < 3 после умножения на −1 получается −2 > −3. Поэтому при делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак меняют на противоположный: −2x > 6 превращается в x < −3.
Чем строгое неравенство отличается от нестрогого?
У строгого неравенства знак < или >, граница в ответ не входит, поэтому у числа ставится круглая скобка: (2; +∞). У нестрогого знак ≤ или ≥, граница входит в ответ, и скобка у числа квадратная: [2; +∞). У бесконечности скобка всегда круглая.
Как записать ответ, если неравенство не имеет решений?
Знаком ∅ — пустым множеством. Так бывает, когда после преобразований получается неверное числовое неравенство, например 0 > 5. Если выходит верное числовое неравенство, например 0 < 5, решением будет любое число, и ответ записывают как (−∞; +∞).
Потренируйся сам — бесплатно и без регистрации
На этой странице есть блок «Проверь себя». Реши задания сам, ничего никуда не отправляя, и сверься с ответами: так видно, что уже получается.
