- Правило
- 9 класс
Графики на ОГЭ по математике: как читать график и решать задания
Обновлено
Подготовлено редакцией «Ментор»Опубликовано Что изменилось: Добавлены координатный рисунок и связь с заданиями 11 и 22Источников: 2
Коротко
Графики на ОГЭ читают по рисунку: находят значение величины или подбирают формулу линии. Совет редакции: сначала оси и шаг сетки, потом точка на линии, затем проверка формулы по одной-двум точкам. Такая проверка может помочь заметить ошибку в масштабе или выбор не той линии.
Представим, что на пробнике попалось задание с графиком, а в нём — две линии, и непонятно, какую читать.
Никита
На пробнике было задание с графиком. Там нарисованы две линии, и я не понял, какую из них читать. Пропустил задание.
Нестор
А что написано в самом вопросе?
Никита
Что-то про функцию y = x + 2 и значение при x = 2.
Нестор
Совет редакции: если в вопросе названа функция, читают ту линию, которая ей соответствует. Как её узнать?
Никита
Проверить по точкам: подставить x и посмотреть, на какой линии окажется точка. Только брать надо такое x, где линии не совпадают. Тогда вторая линия просто не мешает.
Правило
Чтобы прочитать график, найди нужное значение на оси, дойди до линии и посчитай ответ по клеткам. Порядок такой:
- Прочитай вопрос. Пойми, что ищешь: значение величины по рисунку, неизвестную координату или формулу линии.
- Рассмотри оси. Отметь, какая величина на горизонтальной оси, какая на вертикальной и чему равен один шаг сетки.
- Дойди до линии. Если график имеет значение при выбранной координате, проведи перпендикуляр от известного значения на оси до пересечения с графиком.
- Посчитай по клеткам. Опусти перпендикуляр от точки на линии к нужной оси и посчитай значение с учётом шага сетки.
- Проверь ответ. Когда формула известна, подставь найденные координаты. Если ищешь x по y, проверь все пересечения горизонтали с графиком — ответов может быть несколько.
Как прочитать график
- Прочитать вопросПойми, что ищешь: значение величины по рисунку, неизвестную координату или формулу линии.
- Рассмотреть осиОтметь, какая величина на горизонтальной оси, какая на вертикальной и чему равен один шаг сетки.
- Дойти до линииЕсли график имеет значение при выбранной координате, проведи перпендикуляр от неё до пересечения с графиком.
- Посчитать по клеткамОпусти перпендикуляр от точки на линии к нужной оси и посчитай значение с учётом шага сетки.
- Проверить формулойЕсли дана формула, подставь найденные координаты. Если её нет, повторно проверь шаг по осям.
Шаг сетки не всегда равен единице. Подписи рядом с осью показывают координаты отмеченных делений. Цену одной клетки находят так. Берут два деления этой оси — соседних и подписанных или точно известных. Из большей координаты вычитают меньшую и делят результат на число клеток между этими делениями. Если не учесть шаг сетки, ответ может отличаться в 2, 5 или другое число раз — в зависимости от масштаба оси. Как масштаб связан с расстоянием, разобрано в материале «Масштаб».
Линий на рисунке бывает несколько. Тогда сначала выясни, о какой из них спрашивают: в учебном примере может быть названа функция или указан номер линии. Если формула забылась, загляни в материал «Формулы для ОГЭ по математике».
Таблица или схема
| Что нужно найти | Что делать на рисунке |
|---|---|
| Значение величины | на оси аргумента (горизонтальной) найти известное значение, дойти до линии, посчитать значение на оси значений (вертикальной) |
| Неизвестную координату | если задано значение y на вертикальной оси, найти его, дойти до линии и перейти к горизонтальной оси, чтобы получить x |
| Формулу линии | определить вид линии и записать формулу с неизвестным числом; по одной точке коэффициент находят, если прямая проходит через начало координат или свободный член уже известен, иначе нужны две точки |
| Вид линии | Формула | Как узнать на рисунке |
|---|---|---|
| Прямая через начало координат | y = kx | признак именно этой прямой: отношение y к x одинаково во всех точках линии с x ≠ 0; линия не вертикальная |
| Прямая, пересекающая вертикальную ось | y = kx + b | форма для невертикальной прямой; b — значение y в точке пересечения линии с вертикальной осью; при b = 0 получается частный случай y = kx |
| Парабола | y = ax² + bx + c, a ≠ 0 | квадратный трёхчлен в школьной записи; ось симметрии вертикальна; у линии y = x² есть точки (1; 1) и (2; 4) (пример) |
| Гипербола | y = k/x, k ≠ 0 | две отдельные ветви, которые не пересекают оси, — характерный признак в школьных заданиях, но одного вида недостаточно, чтобы установить формулу однозначно |
Точки, которые попали в пересечение линий сетки, удобно подставлять в формулу — порядок показан на схеме.
Как подобрать формулу по точкам
- Определить вид линииПрямая, парабола или гипербола — от этого зависит вид формулы.
- Записать формулу с буквойНапример, для прямой через начало координат: y = kx.
- Взять точку из узла сеткиВыбери точку, которая точно лежит на линии и попала в пересечение линий сетки.
- Найти коэффициентПодставь координаты точки в формулу и вычисли неизвестное число.
- Проверить по второй точкеПодставь ещё одну точку линии: если равенство сходится, формула подходит.
В № 11 проекта демоверсии ОГЭ 2027 нужно сопоставить формулы и графики. В № 22 задача иная: построить кусочную функцию и определить, при каких значениях параметра горизонтальная прямая имеет ровно две общие точки с графиком. Здесь начнём с навыка для № 11; при поиске числа пересечений учитывают границы кусков графика.
Примеры
Прямая: значение по графику
Условный пример. На рисунке прямая проходит через начало координат и точку (4; 8). Нужно найти значение y при x = 3.
- Оси: по горизонтальной отложен x, по вертикальной — y, по горизонтали шаг сетки равен 1, по вертикали — 2.
- На горизонтальной оси находим 3.
- Поднимаемся вверх до линии: точка попадает на высоту 6.
- Проверяем формулой. Линия идёт через начало координат, значит, её вид — y = kx. Из точки (4; 8): k = 8 : 4 = 2. Подставляем x = 3: 2 · 3 = 6.
Ответ: 6.
Формула по двум точкам
Условный пример. Линия пересекает вертикальную ось в точке (0; 1) и проходит через точку (3; 7). Какая формула подходит: y = 2x + 1 или y = 3x + 1?
- Линия — прямая и через начало координат не проходит, значит, формула вида y = kx + b.
- По точке пересечения с вертикальной осью находим b: b = 1.
- Подставляем точку (3; 7) в формулу: 7 = k · 3 + 1.
- Считаем: k · 3 = 6, значит k = 2.
- Проверяем вторую формулу: 3 · 3 + 1 = 10, а у этой точки на рисунке 7.
Ответ: y = 2x + 1.
Парабола: отрицательное значение x
Условный пример. На рисунке парабола y = x². Нужно найти значение y при x = −3.
- Вид линии — парабола, ветви направлены вверх.
- На горизонтальной оси находим −3.
- Поднимаемся до линии: при шаге сетки 1 это 9 клеток.
- Проверяем формулой: (−3)² = 9.
Ответ: 9.
Гипербола: формула по рисунку
Условный пример. На рисунке две отдельные ветви, оси они не пересекают. Отмечены две точки линии: (2; 3) и (6; 1). Какая формула подходит: y = 6/x или y = 3x?
- В рамках этого условного школьного примера предполагаем гиперболу: формула такой линии имеет вид y = k/x. Сам внешний вид ветвей формулу не доказывает.
- Подставляем точку (2; 3): 3 = k : 2.
- Находим k = 6.
- Проверяем по второй отмеченной точке (6; 1): 6 : 6 = 1 — сходится.
Ответ: y = 6/x.
Трудные случаи
Линий несколько. Пример: на рисунке прямые y = 2x и y = x + 2. При x = 2 обе дают y = 4, но при x = 1 первая даёт 2, а вторая 3. Поэтому всегда читай ту линию, которая названа в вопросе, — это совет редакции.
Разный шаг по осям. Пример: по горизонтальной оси клетка равна 1, а по вертикальной — 2. Точка в трёх клетках над горизонтальной осью (отсчёт от нулевой отметки) даёт y = 6, а не 3.
Точка между линиями сетки. Пример: при шаге сетки 1 у линии y = 0,5x в точке x = 3 значение y = 1,5, и точка окажется между линиями сетки. Тогда значение считают по формуле.
Проверь себя
Задание на 10 минут. Решай в тетради, а ответ вводи ниже.
Реши, введи ответ и нажми «Проверить». Ответы никуда не отправляются и не сохраняются.
Реши в тетради. Ответы и объяснения — под кнопкой «Показать ответы».
Показать ответы
- 3. В точке (2; 6) значения такие: x = 2, y = 6. Подставь их в формулу y = kx: 6 = k · 2, значит k = 6 : 2 = 3.
- 6. Шаг по вертикали равен 2, поэтому 3 клетки — это 3 · 2 = 6. Отсчёт идёт от горизонтальной оси, то есть от нулевой отметки. Если принять шаг за единицу, получится 3 вместо 6: шаг по вертикальной оси равен 2.
- 5. Подставь y = 10 в формулу: 10 = 2 · x, значит x = 10 : 2 = 5.
- y = k/x. В типичном школьном задании две отдельные ветви, не пересекающие оси, — это, как правило, график гиперболы. Проверим по отмеченным точкам: для y = k/x из точки (2; 3) получаем k = 6, и вторая точка (6; 1) даёт 6 : 6 = 1 — сходится. У графиков линейной и квадратичной функций, которые рассматривают в школе, линия непрерывная: отдельных ветвей у них нет. Одного внешнего вида для вывода мало — нужны точки или формула.
- 2. Из точки (0; 3) видно, что b = 3. Подставь вторую точку: 7 = k · 2 + 3, тогда 2k = 4 и k = 2.
- Взять ту линию, которая названа в вопросе. Совет редакции: в вопросе названа конкретная функция, поэтому читают только её линию. Вторая линия может дать другое значение, и тогда ответ будет неверным.
Если тема не идёт
Совет редакции: сузь задание до одного действия. Возьми график из учебника, отметь на линии три точки, которые попали в пересечение линий сетки, и выпиши их координаты. Когда это получается, добавь к ним проверку по формуле. Дальше можно посмотреть план подготовки на 8 недель или раздел ОГЭ по математике.
Для разбора этой темы есть репетитор по математике.
Типичная ошибка
Нередко значение считывают с графика, не посмотрев на подписи осей: шаг сетки может отличаться от единицы. Совет редакции — если формула дана, проверять значение по ней: подставь найденные координаты точки в формулу линии; если равенство не сходится, вернись к подписям осей и проверь цену деления. Как устроены цена деления и масштаб, разобрано в материале «Масштаб».
Частые вопросы
С чего начинать чтение графика?
Чтение графика удобно вести по порядку. Сначала смотрят на оси: какая величина отложена по горизонтальной, какая по вертикальной и чему равен шаг сетки. Потом находят в вопросе известное значение и, если нужная вертикаль или горизонталь пересекает изображённый график, доходят до линии и считают по клеткам значение на другой оси. Если формула дана, подставь в неё найденные координаты. Если формулы нет, перепроверь подписи осей и цену деления. По одному y у графика может быть несколько значений x.
Как понять, какая формула подходит к линии на рисунке?
Сначала определяют вид линии. Прямая, не параллельная вертикальной оси, задаёт график функции: каждому значению x отвечает единственное значение y. Если такая прямая проходит через начало координат, подходит формула y = kx. Если она пересекает вертикальную ось в другой точке — y = kx + b; при b = 0 получается частный случай y = kx. График квадратичной функции записывают через квадратный трёхчлен: y = ax² + bx + c, где a ≠ 0. Две отдельные ветви — типичный случай гиперболы y = k/x, но по одному виду ветвей формулу однозначно не устанавливают. Затем берут точку линии в узле сетки, подставляют её координаты и находят неизвестное число. Формулу проверяют по второй точке.
Значение, снятое с графика, не сходится с формулой. Что проверить?
Проверь подписи осей, шаг сетки и то, ту ли линию ты читаешь. Если цену деления по оси приняли за единицу, а она равна 2 или 5, значение, отсчитываемое от нулевой отметки, будет отличаться ровно во столько раз — при ошибке только в этой оси. Если на рисунке несколько линий, сверься с вопросом: в учебном примере может быть названа конкретная функция.
Зачем проверять значение по формуле, если его видно по клеткам?
Совет редакции: проверка по формуле может помочь заметить две частые ошибки — неверный шаг сетки и чтение не той линии. Подставить координаты точки в формулу занимает несколько секунд, а расхождение показывает, что где-то ошибка. Если равенство сходится, ответ можно вписывать в бланк — но при условии, что формула относится к нужной линии, обе координаты прочитаны верно и проверена именно искомая координата.
Проверь себя — бесплатно и без регистрации
На этой странице есть блок «Проверь себя». Пройди его сам, ничего никуда не отправляя: так видно, какие темы уже получаются, а что стоит повторить.
