- Правило
- 8–9 класс
Квадратичная функция: формула, график-парабола и координаты вершины
Обновлено
Подготовлено редакцией «Ментор»Опубликовано Что изменилось: Уточнены программа для 8 и 9 классов и отличие функции с корнемИсточников: 1
Коротко
Квадратичная функция — это функция вида y = ax² + bx + c, где a ≠ 0, её график — парабола. Ветви идут вверх при a > 0 и вниз при a < 0. Вершину находят по формуле x₀ = −b : (2a) и подстановкой в формулу функции. Если a = 0, остаётся линейная функция.
Правило
В записи квадратичной функции есть слагаемое с x², и именно оно отвечает за форму графика — параболу. Но одного видимого слагаемого с x² мало: формулу приводят к виду y = ax² + bx + c, и коэффициент при x² в этой записи должен быть ненулевым. После приведения подобных слагаемых он может оказаться нулевым.
Общий вид: y = ax² + bx + c. Здесь a, b и c — числа, их называют коэффициентами, причём a ≠ 0.
Коэффициент a стоит перед x², коэффициент b — перед x, а c записан без переменной. Пример: в формуле y = x² − 4x + 3 коэффициенты такие: a = 1, b = −4, c = 3.
Условие a ≠ 0 здесь главное. При a = 0 слагаемое ax² исчезает, остаётся y = bx + c, то есть линейная функция с прямой вместо параболы. Её график разобран в материале «Линейная функция».
Что видно на параболе:
- при a > 0 ветви направлены вверх;
- при a < 0 ветви направлены вниз;
- у параболы одна вершина — самая низкая точка при a > 0 и самая высокая при a < 0;
- через вершину проходит ось симметрии, вертикальная прямая x = x₀.
Координаты вершины (x₀; y₀) находят в два шага:
- Считают координату x: x₀ = −b : (2a).
- Подставляют x₀ в формулу функции и получают y₀.
Как найти координаты вершины
- Выпиши коэффициентыНазови a, b и c из записи y = ax² + bx + c, сохраняя знаки чисел.
- Посчитай координату xРаздели −b на 2a: так получается x₀ — координата вершины по оси x.
- Подставь x₀ в формулуНайди значение функции в этой точке: получится y₀.
- Запиши точкуВершина — точка (x₀; y₀). При a > 0 в ней наименьшее значение, при a < 0 — наибольшее.
Запись можно привести к виду y = a(x − x₀)² + y₀. Такая форма показывает сдвиг: график y = ax² перенесли на x₀ вправо и на y₀ вверх. Если x₀ или y₀ отрицательные, сдвиг идёт в противоположную сторону.
Порядок построения графика:
- Выпиши коэффициенты a, b, c, сохраняя знаки.
- Определи направление ветвей по знаку a.
- Найди вершину и проведи через неё ось симметрии.
- Посчитай значения y для двух-трёх точек слева и справа от вершины.
- Отметь точки на плоскости и соедини их плавной линией.
Как построить параболу по точкам
- Определи направление ветвейПосмотри на коэффициент a: положительное число — ветви вверх, отрицательное — вниз.
- Найди вершинуВычисли x₀ = −b : (2a), затем подставь x₀ в формулу и найди y₀.
- Проведи ось симметрииЧерез вершину проходит вертикальная прямая x = x₀; точки, равноудалённые от оси симметрии слева и справа, находятся на одной высоте.
- Составь таблицу значенийВозьми два-три значения x слева от x₀ и столько же справа, посчитай для них y.
- Отметь точки и соединиПоставь точки на координатной плоскости и проведи через них плавную линию.
- Подпиши вершинуОтметь на рисунке координаты вершины и направление ветвей.
Ещё одна связка: точки, где парабола пересекает ось x, — это корни уравнения ax² + bx + c = 0. Как их искать, рассказано в материале «Квадратное уравнение».
Таблица или схема
Что стоит в формуле и как это видно на графике:
| Формула | Вершина | Что видно на графике |
|---|---|---|
| y = x² | (0; 0) | ветви вверх, парабола проходит через начало координат |
| y = 3x² | (0; 0) | ветви вверх, парабола уже, чем у y = x² |
| y = −x² | (0; 0) | ветви вниз |
| y = x² + 1 | (0; 1) | та же парабола, сдвинутая на 1 вверх |
| y = (x − 2)² | (2; 0) | сдвиг на 2 вправо |
| y = (x − 2)² + 1 | (2; 1) | сдвиг на 2 вправо и на 1 вверх |
| y = ax² + bx + c | (x₀; y₀) | ветви по знаку a, x₀ = −b : (2a) |
Что искать и как:
| Что нужно | Как искать |
|---|---|
| направление ветвей | по знаку a: плюс — вверх, минус — вниз |
| координата x вершины | x₀ = −b : (2a) |
| координата y вершины | подставить x₀ в формулу функции |
| ось симметрии | вертикальная прямая x = x₀ |
| точка пересечения с осью y | подставить x = 0, получится точка (0; c) |
| точки пересечения с осью x | решить уравнение ax² + bx + c = 0 |
Примеры
Какая формула задаёт квадратичную функцию
Даны три формулы: y = x² − 4x + 3, y = 2x + 1, y = √x. Нужно выбрать квадратичную.
- Сравниваем каждую запись с общим видом y = ax² + bx + c.
- Формула y = x² − 4x + 3 подходит: a = 1, b = −4, c = 3, причём a ≠ 0.
- В формуле y = 2x + 1 переменная x в первой степени — это линейная функция.
- При y = √x область определения — x ≥ 0. Функцию нельзя записать в виде y = ax² + bx + c с a ≠ 0.
Ответ: квадратичная функция — y = x² − 4x + 3.
Строим параболу y = x² по точкам
Коэффициент a = 1, он положительный, значит ветви идут вверх. Вершина такой параболы — точка (0; 0). Считаем значения:
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| y | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
Точки (−1; 1) и (1; 1) стоят на одной высоте, потому что парабола симметрична.
Ответ: график — парабола с вершиной (0; 0), ветви вверх.
Читаем сдвиг: y = (x − 2)² + 1
Запись уже дана в форме y = a(x − x₀)² + y₀, поэтому x₀ = 2, y₀ = 1, a = 1.
Вершина — точка (2; 1). Ветви идут вверх, потому что a > 0. График получается из y = x² сдвигом на 2 вправо и на 1 вверх.
Ответ: вершина (2; 1), ветви вверх.
Ищем координаты вершины по формуле
Функция y = x² − 4x + 3. Выписываем коэффициенты: a = 1, b = −4, c = 3.
Считаем координату x: x₀ = −b : (2a) = 4 : 2 = 2. Подставляем x₀ в формулу: y₀ = 2² − 4 · 2 + 3 = 4 − 8 + 3 = −1.
Ответ: вершина — точка (2; −1).
Значение функции в точке
Продолжаем работать с функцией y = x² − 4x + 3.
При x = 3: 9 − 12 + 3 = 0, точка (3; 0) лежит на оси x. При x = −1: 1 + 4 + 3 = 8, получается точка (−1; 8). Вершина (2; −1) — самая низкая точка, ведь a = 1 > 0. Значит, наименьшее значение функции равно −1.
Ответ: y = 0 при x = 3, y = 8 при x = −1.
Исключения
a = 0. Формула y = 0 · x² + 3x + 2 — это y = 3x + 2, линейная функция. Квадратичной она уже не будет, и график у неё прямая.
Отрицательный a. У функции y = −x² + 4 ветви идут вниз, вершина (0; 4) — самая высокая точка. Наибольшее значение функции равно 4.
b = 0. В формуле y = x² − 5 слагаемого с x нет, поэтому x₀ = 0 : 2 = 0. Вершина лежит на оси y, её координаты (0; −5).
c = 0. Функция y = x² − 4x проходит через начало координат: при x = 0 получается y = 0. Вершина такой параболы — точка (2; −4).
Парабола не пересекает ось x. У функции y = x² + 1 значение не меньше 1 при любом x, ведь квадрат числа не бывает отрицательным. Корней у уравнения x² + 1 = 0 тоже нет.
Похожее название, другая функция. У функции y = √x в записи стоит корень. Она определена при x ≥ 0 и к виду y = ax² + bx + c не приводится. Вид функции определяют по формуле, а не по названию темы.
Наибольшее и наименьшее значение. При a > 0 в вершине наименьшее значение функции, при a < 0 — наибольшее. Задания, где значение читают прямо по рисунку, разобраны в материале «Графики на ОГЭ по математике».
Проверь себя
Задание на 10 минут. Решай в тетради, а ответ вводи ниже.
Реши, введи ответ и нажми «Проверить». Ответы никуда не отправляются и не сохраняются.
Реши в тетради. Ответы и объяснения — под кнопкой «Показать ответы».
Показать ответы
- y = 3x² − x + 5. Квадрати́чную функцию узнают по слагаемому с x²: в записи y = ax² + bx + c коэффициент a не равен нулю. В формуле y = 3x² − x + 5 это так: a = 3. Остальные варианты дают прямую, постоянную величину и другую зависимость.
- 2. Коэффицие́нт a стоит в записи y = ax² + bx + c перед x². В формуле y = 2x² − 3x + 1 на этом месте число 2, поэтому a = 2.
- 3. Координа́ту x верши́ны находят по формуле x₀ = −b : (2a). Здесь a = 1, b = −6, значит x₀ = −(−6) : (2 · 1) = 3.
- -1 или −1. Подставляем x = 2 в формулу функции: 2² − 4 · 2 + 3 = 4 − 8 + 3 = −1. Координа́та y верши́ны равна −1, сама верши́на — точка (2; −1).
- Вниз. Направление ве́твей пара́болы задаёт знак коэффицие́нта a. В формуле y = −2x² + 4x коэффициент a = −2, число отрицательное, поэтому ве́тви идут вниз.
- Ни одной. Пересече́ние с осью x — это решения уравне́ния x² + 4 = 0. Квадра́т числа не бывает отрицательным, поэтому при любом x левая часть больше нуля, и точек пересече́ния нет.
Если тема не идёт
Возьми самую простую формулу y = x², посчитай y для x = −2, −1, 0, 1, 2 и отметь пять точек на клетчатой бумаге. Когда парабола станет узнаваемой, добавляй к формуле слагаемые по одному: сначала y = x² + 1, потом y = (x − 2)² + 1. Другие темы школьного курса собраны в разделе «Математика».
Разобрать эту тему с педагогом можно на занятиях по математике.
Типичная ошибка
Ошибка в том, что квадратичной считают любую формулу с x² или, наоборот, не замечают её. Поймать промах помогает проверка: запись приводят к виду y = ax² + bx + c и смотрят на коэффициент a — при a = 0 квадратичной функции нет. Вместо догадок по названию темы выписывают коэффициенты и только потом строят параболу.
Частые вопросы
Какая функция называется квадратичной?
Квадратичной называют функцию вида y = ax² + bx + c, где a, b и c — числа, причём a ≠ 0. Если a = 0, формула превращается в y = bx + c, это линейная функция, и её график — прямая, а не парабола. Пример квадратичной функции: y = x² − 4x + 3, здесь a = 1, b = −4, c = 3.
Как найти координаты вершины параболы?
Координату x вершины находят по формуле x₀ = −b : (2a), взяв коэффициенты из записи y = ax² + bx + c. Затем x₀ подставляют в формулу функции и получают y₀. Например, у функции y = x² − 6x + 5: x₀ = −(−6) : 2 = 3, y₀ = 3² − 6 · 3 + 5 = −4, значит вершина — точка (3; −4).
Как построить график квадратичной функции?
Сначала смотрят на коэффициент a: при a > 0 ветви параболы идут вверх, при a < 0 — вниз. Затем находят координаты вершины и проводят через неё вертикальную ось симметрии. После этого считают значения y для нескольких точек слева и справа от вершины, отмечают точки на координатной плоскости и соединяют плавной линией.
Потренируйся сам — бесплатно и без регистрации
На этой странице есть блок «Проверь себя». Реши задания сам, ничего никуда не отправляя, и сверься с ответами: так видно, что уже получается.
