- Правило
- 8–9 класс
Квадратное уравнение: дискриминант, формула корней и теорема Виета
Опубликовано
Подготовлено редакцией «Ментор»Источников: 2
Коротко
Квадратное уравнение ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0, решают через дискриминант D = b² − 4ac. Если D больше нуля, действительных корней два, если равен нулю — один, если меньше нуля — их нет. Корни находят по формуле или подбирают по теореме Виета.
Правило
Квадратное уравнение имеет вид ax² + bx + c = 0, где a не равно нулю. Числа a, b и c называют коэффициентами.
Корни квадратного уравнения — это значения x, при которых выражение ax² + bx + c обращается в нуль. Находят их по формуле корней или подбором по теореме Виета.
Дискриминант — это число D = b² − 4ac. Он показывает, сколько действительных корней у уравнения.
- D больше нуля — два действительных корня: x = (−b + √D) : (2a) и x = (−b − √D) : (2a).
- D равен нулю — один действительный корень: x = −b : (2a).
- D меньше нуля — действительных корней нет.
Теорема Виета связывает корни и коэффициенты: если у уравнения есть два действительных корня (считая кратность), их сумма x₁ + x₂ равна −b : a, а произведение x₁ · x₂ равно c : a. Для приведённого уравнения x² + px + q = 0 с двумя действительными корнями (считая кратность) сумма корней равна −p, произведение равно q.
Квадратное уравнение через дискриминант
- Выпиши a, b, cСледи за знаками: в x² − 5x + 6 число b равно −5.
- Найди DD = b² − 4ac.
- Посмотри на знак DБольше нуля — два действительных корня, ноль — один, меньше — действительных корней нет.
- Найди корниx = (−b ± √D) : 2a.
- Проверь по ВиетуДля двух действительных корней, считая кратность, сумма равна −b : a, произведение равно c : a.
Таблица или схема
| D | Корней | Формула |
|---|---|---|
| D > 0 | два действительных | x = (−b ± √D) : 2a |
| D = 0 | один действительный | x = −b : 2a |
| D < 0 | нет действительных | — |
Примеры
Два корня: x² − 5x + 6 = 0
a = 1, b = −5, c = 6. D = 25 − 24 = 1. x = (5 ± 1) : 2, значит x = 3 и x = 2
Проверка по Виету: сумма 3 + 2 = 5, равна −b; произведение 3 · 2 = 6, равно c.
Первый коэффициент не равен единице: 2x² + 3x − 2 = 0
a = 2, b = 3, c = −2. D = 9 + 16 = 25. x = (−3 ± 5) : 4, значит x = 1/2 и x = −2
Проверка: при x = −2 получаем 2 · 4 − 6 − 2 = 0, верно.
Один корень: x² − 6x + 9 = 0
D = 36 − 36 = 0. x = 6 : 2 = 3
Дискриминант равен нулю, поэтому действительный корень один. Левая часть здесь — квадрат разности (x − 3)².
Неполные уравнения: x² − 9 = 0 и x² + 4x = 0
x² = 9, x = 3 или x = −3. x(x + 4) = 0, x = 0 или x = −4
Дискриминант не нужен. В первом уравнении перенесли 9 и извлекли корень, во втором вынесли x за скобки: произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.
Исключения
Действительных корней нет. Для x² + x + 1 = 0 дискриминант равен 1 − 4 = −3. Он отрицательный, поэтому уравнение не имеет действительных корней.
Старший коэффициент равен нулю. При a = 0 уравнение не квадратное. Если при этом b ≠ 0, оно линейное: например 0 · x² + 3x − 6 = 0 — это 3x − 6 = 0. Если и b = 0, остаётся c = 0.
Разделить обе части на общий множитель. Уравнение 2x² − 10x + 12 = 0 удобнее поделить на 2 и решать x² − 5x + 6 = 0: числа получаются меньше.
Проверь себя
Реши в тетради, ответы смотри ниже. Задание на 15 минут.
- x² − 7x + 10 = 0
- x² + 6x + 9 = 0
- x² − 16 = 0
- 3x² − 5x + 2 = 0
- x² + 2x + 5 = 0
Ответы:
- D = 49 − 40 = 9, x = (7 ± 3) : 2, корни 5 и 2.
- D = 36 − 36 = 0, x = −3.
- x² = 16, корни 4 и −4.
- D = 25 − 24 = 1, x = (5 ± 1) : 6, корни 1 и 2/3.
- D = 4 − 20 = −16, действительных корней нет.
Предыдущая тема — линейные уравнения.
Если тема не идёт
При вычислении дискриминанта можно ошибиться со знаками: b² всегда неотрицательно, даже если b отрицательное. Решайте на готовых примерах из таблицы выше, выписывая a, b и c перед каждым вычислением. Если трудно с самим переносом слагаемых, вернитесь к линейным уравнениям. Все темы — в разделе «Уравнения».
Разобрать эту тему с педагогом можно на занятиях по математике.
Типичная ошибка
Ошибка со знаком при b: в уравнении x² − 5x + 6 = 0 коэффициент b равен −5, а не 5, поэтому в формуле стоит −b = 5. Ребёнок подставляет b = 5 и получает неверные корни. Перед вычислением выпишите три коэффициента отдельной строкой: a = 1, b = −5, c = 6.
Частые вопросы
Когда использовать теорему Виета, а когда дискриминант?
При небольших целых корнях подбор по теореме Виета может быть удобнее: корни ищут по сумме и произведению. Метод дискриминанта применим к квадратному уравнению при a ≠ 0; при D < 0 действительных корней нет. Если подбор не получился за минуту, переходите к дискриминанту.
Что такое неполное квадратное уравнение?
Уравнение, где b или c равны нулю. В x² − 9 = 0 нет члена с x: переносим 9 вправо и получаем x = 3 или x = −3. В x² + 4x = 0 нет числа c: выносим x за скобки, получаем x(x + 4) = 0 и корни 0 и −4. Дискриминант для них не обязателен.
Почему при отрицательном дискриминанте нет корней?
В формуле корней стоит квадратный корень из дискриминанта. Из отрицательного числа в школьном курсе корень не извлекают, поэтому действительных корней у уравнения нет.
Как выглядит формула дискриминанта?
D = b² − 4ac, где a, b и c — коэффициенты уравнения ax² + bx + c = 0, причём a ≠ 0. Для x² − 5x + 6 = 0 получим D = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1.
Почему говорят «корни дискриминанта»?
Корни бывают у уравнения. Дискриминант — это число, которое показывает, сколько их: два, один или ни одного действительного корня. Сами корни считают по формуле x = (−b ± √D) : 2a.
Потренируйся сам — бесплатно и без регистрации
На этой странице есть блок «Проверь себя». Реши задания сам, ничего никуда не отправляя, и сверься с ответами: так видно, что уже получается.
