- Правило
- 7 класс
Линейная функция: формула, график и как найти значение
Обновлено
Подготовлено редакцией «Ментор»Опубликовано Что изменилось: Добавлен случай совпадения прямой с осью абсциссИсточников: 1
Коротко
Линейная функция — функция вида y = kx + b, где k и b — числа, а x — переменная. График линейной функции — прямая, и её строят по двум различным точкам с разными абсциссами. Чтобы найти значение, подставь число вместо x и посчитай. При b = 0 прямая проходит через начало координат.
Правило
Линейная функция — это функция, которую можно записать в виде y = kx + b, где x — независимая переменная, а k и b — числа. График линейной функции — прямая линия.
Число k называют угловым коэффициентом. Оно задаёт наклон прямой: при k > 0 прямая идёт вверх слева направо, при k < 0 — вниз. Число b показывает, где прямая пересекает ось Oy, — в точке (0; b).
Чтобы найти значение функции:
- Возьми формулу и число, которое подставляешь вместо x.
- Замени x этим числом — получится числовое выражение.
- Посчитай выражение по порядку действий и запиши ответ.
Как найти значение функции по формуле
- Возьми формулуНапример, y = 2x + 3, и число вместо x: пусть x = 4.
- Подставь числоЗамени x на 4: получится y = 2 · 4 + 3.
- Посчитай по порядку действийСначала умножение: 2 · 4 = 8, потом сложение: 8 + 3 = 11.
- Запиши ответЗначение функции при x = 4 равно 11.
Запись бывает и не в стандартном виде: y = 3(x - 1) + 1 после раскрытия скобок превращается в y = 3x - 2, то есть k = 3, b = -2. Такую функцию тоже называют линейной.
Для построения графика хватает двух различных точек с разными абсциссами. Подставь два разных значения x, найди для них y, отметь точки на координатной плоскости и проведи прямую. Как читать готовый рисунок, разобрано в материале о графиках на ОГЭ.
Таблица или схема
Таблица значений помогает увидеть прямую. Возьмём y = 2x + 3 и подставим несколько чисел вместо x.
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| y = 2x + 3 | -1 | 1 | 3 | 5 | 7 |
Точки (-2; -1), (-1; 1), (0; 3), (1; 5) и (2; 7) лежат на одной прямой. Для построения хватает двух из них, остальные служат проверкой.
Как построить прямую по двум точкам
- Выбери два удобных xБери x = 0 и x = 1: с ними счёт самый простой.
- Посчитай y для каждого xДля y = 2x + 3 при x = 0 получается 3, при x = 1 — 5.
- Запиши точкиПолучатся пары координат: (0; 3) и (1; 5).
- Отметь точки и проведи прямуюЧерез две различные точки проходит единственная прямая, поэтому хватит линейки.
Что означают числа в формуле:
| Число | Как называется | Что показывает |
|---|---|---|
| k | угловой коэффициент | наклон прямой: при увеличении x на 1 значение y меняется на k; по двум точкам графика k = (y₂ - y₁) : (x₂ - x₁) при условии x₂ ≠ x₁ |
| b | свободный член | значение функции при x = 0, то есть точка (0; b) на оси Oy |
Эти два числа пригодятся в заданиях с рисунком: по точке на оси Oy сразу видно b, а по второй точке находят k.
Примеры
Значение функции y = 2x + 3 при x = 4
- Подставляем 4 вместо x: y = 2 · 4 + 3.
- Считаем: 2 · 4 = 8, затем 8 + 3 = 11.
y = 11.
Проверка со знаком минус: при x = -2 получается 2 · (-2) + 3 = -4 + 3 = -1.
Линейная функция или нет: y = 3(x - 1) + 1
- Раскрываем скобки: 3(x - 1) = 3x - 3.
- Прибавляем 1: 3x - 3 + 1 = 3x - 2.
- Запись 3x - 2 совпадает с видом y = kx + b, здесь k = 3 и b = -2.
Да, это линейная функция.
Для сравнения: y = x² и y = 6/x к виду y = kx + b не приводятся, это не линейные функции.
График по двум точкам: y = -2x + 4
- Берём x = 0: y = -2 · 0 + 4 = 4. Первая точка — (0; 4), она на оси Oy.
- Берём x = 2: y = -2 · 2 + 4 = 0. Вторая точка — (2; 0), она на оси Ox.
- Отмечаем обе точки и проводим через них прямую.
Прямая проходит через точки (0; 4) и (2; 0).
Проверка: при x = 1 выходит y = -2 · 1 + 4 = 2, и точка (1; 2) тоже лежит на этой прямой.
Формула по рисунку: прямая через точки (0; 1) и (2; 5)
- Прямая пересекает ось Oy в точке (0; 1), значит, b = 1.
- Берём вторую точку из условия: (2; 5).
- Находим k: k = (5 - 1) : (2 - 0) = 4 : 2 = 2.
Формула этой прямой: y = 2x + 1.
Проверка: подставим координаты точки (2; 5): 2 · 2 + 1 = 5. Верно.
Исключения
b = 0. Формула принимает вид y = kx, и прямая проходит через начало координат. Пример: y = 3x, точки (0; 0) и (1; 3).
k = 0. Остаётся горизонтальная прямая y = b. При b = 0 она совпадает с осью Ox. Например, y = 4 проходит через точку (0; 4) горизонтально.
Точка не на прямой. Проверить легко: подставь координаты в формулу. Для y = 2x + 1 точка (3; 8) не подходит: 2 · 3 + 1 = 7, а не 8.
Формула не в стандартном виде. y = 5 - x приводится к виду y = -1 · x + 5, значит, k = -1 и b = 5.
Проверь себя
Попробуй решить за 10 минут. Решай в тетради, а ответ вводи ниже.
Реши, введи ответ и нажми «Проверить». Ответы никуда не отправляются и не сохраняются.
Реши в тетради. Ответы и объяснения — под кнопкой «Показать ответы».
Показать ответы
- 11. Подставь 4 вместо x: 2 · 4 + 3 = 8 + 3 = 11. Значение функции при x = 4 равно 11.
- y = -3x + 2. Линейная функция записывается в виде y = kx + b, где x в первой степени. Запись y = -3x + 2 подходит: k = -3, b = 2. Остальные к такому виду не приводятся.
- 2. Решаем -2x + 4 = 0: -2x = -4, x = 2. Точка (2; 0) лежит на оси Ox, и график проходит через неё.
- y = 2x + 1 или y=2x+1. Точка на оси Oy даёт b = 1. Дальше k = (5 - 1) : (2 - 0) = 2. Формула прямой: y = 2x + 1.
- Значение функции при x = 0. При x = 0 получается y = k · 0 + b = b. Поэтому b — ордината точки пересечения графика с осью Oy, то есть точки (0; b).
- да. Раскрой скобки: 3(x - 1) + 1 = 3x - 3 + 1 = 3x - 2. Запись приводится к виду y = kx + b при k = 3 и b = -2, значит, функция линейная.
Если тема не идёт
Разбери формулу по частям: k отвечает за наклон, b — за точку на оси Oy. Если путаются знаки, подставляй x в скобках: y = 2 · (-2) + 3 — так видно, что минус относится к числу. Полезно запомнить: для линейной функции одинаковому приращению x соответствует одинаковое приращение y. Соседние темы — линейные уравнения и квадратные уравнения, остальное собрано в разделе Математика.
Для разбора этой темы есть репетитор по математике.
Типичная ошибка
Ошибка — считать линейной любую запись с x: например, y = x² или y = 6/x к виду y = kx + b не приводятся. Проверкой служит сама запись: раскрой скобки и приведи подобные слагаемые, чтобы x остался только в первой степени. Ещё нередко путают k и b: в формуле k умножается на x, а b просто прибавляется. Если x отрицательный, подстановку стоит посчитать дважды.
Частые вопросы
Что такое линейная функция?
Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где x — независимая переменная, а k и b — числа. График линейной функции — прямая линия. Например, y = 2x + 3 и y = -x + 1 линейные, а y = x² и y = 6/x — нет.
Как найти значение линейной функции?
Нужно подставить число вместо x в формулу и посчитать. Например, у функции y = 2x + 3 при x = 4 значение равно 2 · 4 + 3 = 11. Если x отрицательный, подставляй его в скобках: 2 · (-2) + 3 = -1.
Как построить график линейной функции?
График линейной функции — прямая, поэтому достаточно двух различных точек с разными абсциссами. Подставь два удобных значения x, например 0 и 1, найди для них y, отметь полученные точки на координатной плоскости и проведи через них прямую. Третья точка пригодится для проверки.
Как найти формулу прямой по рисунку?
Сначала найди b: это ордината точки, где прямая пересекает ось Oy. Потом возьми вторую точку: если на рисунке видна подходящая точка с целыми координатами, бери её, иначе подойдут любые две читаемые точки с разными абсциссами. Раздели разность ординат на разность абсцисс — это и будет k. Например, для точек (0; 1) и (2; 5): (5 - 1) : (2 - 0) = 2, значит, формула такая: y = 2x + 1.
Потренируйся сам — бесплатно и без регистрации
На этой странице есть блок «Проверь себя». Реши задания сам, ничего никуда не отправляя, и сверься с ответами: так видно, что уже получается.
