- Правило
- 8 класс
Теорема Пифагора: формула, как найти гипотенузу и катет
Обновлено
Подготовлено редакцией «Ментор»Опубликовано Что изменилось: Уточнено объяснение проверки по наибольшей сторонеИсточников: 1
Коротко
Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, c² = a² + b². Для катетов 6 и 8 гипотенуза равна 10, потому что 36 + 64 = 100. Катет находят вычитанием: a² = c² − b², где c — гипотенуза. Если квадрат наибольшей стороны треугольника равен сумме квадратов двух других, треугольник прямоугольный.
Правило
Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Гипотенуза — сторона, которая лежит против прямого угла, катеты — две другие стороны. Формула: c² = a² + b², где c — гипотенуза, a и b — катеты.
Складывают не сами стороны, а их квадраты. На чертеже на каждой стороне треугольника 3, 4, 5 построен квадрат: площади квадратов на катетах 9 и 16, на гипотенузе 25, и 9 + 16 = 25.
Порядок действий зависит от того, какую сторону ты ищешь:
- Сделай чертёж, отметь прямой угол и подпиши гипотенузу c и катеты a, b.
- Реши, что ищешь. Гипотенузу находят сложением: c² = a² + b². Катет находят вычитанием: a² = c² − b².
- Подставь числа, посчитай квадрат искомой стороны и извлеки корень.
Как найти сторону: три шага
- Чертёж и обозначенияОтметь прямой угол. Сторона против него — гипотенуза c, две другие — катеты a и b.
- Что ищуГипотенузу — складываю квадраты катетов: c² = a² + b². Катет — вычитаю: a² = c² − b².
- Подставить и извлечь кореньДля катетов 6 и 8: 36 + 64 = 100, √100 = 10.
Обратная теорема помогает проверить треугольник по трём сторонам. Если c² = a² + b², где c — наибольшая сторона, то треугольник прямоугольный. Если равенство не выполняется, прямого угла у треугольника нет.
По федеральной программе теорему Пифагора изучают в 8 классе в курсе «Геометрия». Тема называется «Теорема Пифагора. Применение теоремы Пифагора при решении практических задач».
Таблица или схема
Что ищу и что делаю
| Что нужно найти | Что делаем | Пример |
|---|---|---|
| Гипотенузу | c² = a² + b², потом корень | 36 + 64 = 100, c = √100 = 10 |
| Катет | a² = c² − b², потом корень | 169 − 25 = 144, a = √144 = 12 |
| Прямоугольный ли треугольник | сравниваем квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других | 49 + 576 = 625 = 25², да |
Пифагорова тройка — три положительных целых числа a, b, c, для которых a² + b² = c²; c — наибольшее из них. С такими числами корень извлекается нацело.
| Катет a | Катет b | Гипотенуза c | Проверка |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 9 + 16 = 25 |
| 5 | 12 | 13 | 25 + 144 = 169 |
| 8 | 15 | 17 | 64 + 225 = 289 |
| 7 | 24 | 25 | 49 + 576 = 625 |
| 6 | 8 | 10 | 36 + 64 = 100 |
Все числа тройки можно умножить на одно и то же натуральное число, и снова получится тройка. Тройка 6-8-10 — это 3-4-5, где каждое число умножено на 2.
Примеры
Гипотенуза по двум катетам
Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найди гипотенузу.
- Ищем гипотенузу, значит, складываем квадраты катетов.
- 6² + 8² = 36 + 64 = 100.
- c = √100 = 10.
Гипотенуза равна 10.
Проверка: 10 больше каждого катета. Тройка 6-8-10 есть в таблице: это 3-4-5, умноженная на 2.
Катет по гипотенузе и другому катету
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13, один катет равен 5. Найди другой катет.
- Ищем катет, значит, вычитаем из квадрата гипотенузы квадрат известного катета.
- 13² − 5² = 169 − 25 = 144.
- a = √144 = 12.
Другой катет равен 12.
Проверка: 25 + 144 = 169 = 13². Катет 12 меньше гипотенузы 13.
Прямоугольный ли треугольник со сторонами 7, 24, 25
- Наибольшая сторона — 25, её квадрат 625.
- Сумма квадратов двух других сторон: 49 + 576 = 625.
- Квадрат наибольшей стороны равен сумме квадратов двух других.
Да, треугольник прямоугольный.
Проверка: 7-24-25 есть в таблице пифагоровых троек. Прямой угол лежит против стороны 25.
Прямоугольный ли треугольник со сторонами 6, 7, 9
- Наибольшая сторона — 9, её квадрат 81.
- Сумма квадратов двух других сторон: 36 + 49 = 85.
- 85 не равно 81.
Нет, треугольник не прямоугольный.
Проверка: сравнивать нужно именно квадрат наибольшей стороны. Если взять другую сторону за c, прямоугольный треугольник можно не распознать: у 3, 4, 5 при c = 4 равенства нет.
Диагональ прямоугольника 9 × 12
- Диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника. Стороны 9 и 12 — катеты, диагональ — гипотенуза.
- 9² + 12² = 81 + 144 = 225.
- Диагональ равна √225 = 15.
Диагональ равна 15.
Проверка: 9-12-15 — это тройка 3-4-5, где каждое число умножено на 3.
Исключения
Теорема верна только для прямоугольного треугольника. Если прямого угла нет, равенство c² = a² + b² не выполняется. У треугольника 6, 7, 9 получилось 85 вместо 81.
Складывают квадраты, а не стороны. Сумма катетов 6 + 8 не равна гипотенузе 10. Сначала каждую сторону возводят в квадрат, а корень извлекают только в конце.
Катет ищут вычитанием. Гипотенуза — наибольшая сторона, поэтому катет короче неё. Если сложить 169 и 25, катет выйдет длиннее гипотенузы — это знак ошибки.
В обратной теореме c — наибольшая сторона. Сначала найди самую длинную сторону, потом сравнивай её квадрат с суммой квадратов двух других.
Проверь себя
Решай в тетради, а ответ вводи ниже.
Реши, введи ответ и нажми «Проверить». Ответы никуда не отправляются и не сохраняются.
Реши в тетради. Ответы и объяснения — под кнопкой «Показать ответы».
Показать ответы
- 15. Ищем гипотенузу, значит, складываем квадраты катетов: 81 + 144 = 225. Гипотенуза равна √225 = 15. Она больше каждого катета, как и должно быть.
- 15. Ищем катет, значит, вычитаем: 289 − 64 = 225. Катет равен √225 = 15. Проверка: 64 + 225 = 289 = 17².
- 29. Диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника, в которых стороны прямоугольника — катеты, а диагональ — гипотенуза. 400 + 441 = 841, √841 = 29.
- 17. Складываем квадраты катетов: 64 + 225 = 289. Гипотенуза равна √289 = 17. Это пифагорова тройка 8-15-17.
- 13. Складываем квадраты катетов: 25 + 144 = 169. Гипотенуза равна √169 = 13. Это пифагорова тройка 5-12-13.
Прямоугольный треугольник встречается и в других темах о треугольнике. Например, есть материал про сумму углов треугольника.
Если тема не идёт
Можно начинать каждую задачу с чертежа. Стоит отметить прямой угол и подписать сторону против него буквой c. Только после этого решай, складывать квадраты или вычитать.
Полезно выучить тройки из таблицы: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25. С ними легче заметить ошибку в счёте. Остальные темы раздела — Геометрия.
Для разбора этой темы есть репетитор по математике.
Типичная ошибка
Ошибка — когда ищешь катет, сложить квадраты вместо того, чтобы вычесть, или сложить сами стороны, а не их квадраты. Проверь себя: гипотенуза — наибольшая сторона прямоугольного треугольника, поэтому найденный катет должен быть меньше неё. Прежде чем подставлять числа, подпиши на чертеже, какая сторона лежит против прямого угла.
Частые вопросы
Как найти гипотенузу?
Нужно сложить квадраты катетов и извлечь корень из суммы: c² = a² + b². Например, для катетов 6 и 8 получаем 36 + 64 = 100, значит, гипотенуза равна √100 = 10. Это правило работает только в прямоугольном треугольнике.
Как найти катет?
Из квадрата гипотенузы вычитают квадрат известного катета и извлекают корень: a² = c² − b². Если гипотенуза 13, а катет 5, то 169 − 25 = 144, и другой катет равен √144 = 12. Найденный катет должен получиться меньше гипотенузы.
Как проверить, что треугольник прямоугольный?
Найди наибольшую сторону и сравни её квадрат с суммой квадратов двух других сторон. Если они равны, треугольник прямоугольный: у сторон 7, 24, 25 получается 49 + 576 = 625 = 25². У сторон 6, 7, 9 сумма 36 + 49 = 85, а 9² = 81, поэтому этот треугольник не прямоугольный.
Для каких треугольников верна теорема Пифагора?
Только для прямоугольных треугольников. Гипотенуза — сторона, которая лежит против прямого угла, а две другие стороны — катеты. Для треугольника без прямого угла равенство c² = a² + b² не выполняется, как у треугольника со сторонами 6, 7, 9.
Потренируйся сам — бесплатно и без регистрации
На этой странице есть блок «Проверь себя». Реши задания сам, ничего никуда не отправляя, и сверься с ответами: так видно, что уже получается.
