Линейное уравнение: как решать по шагам и проверять корень

Обновлено 1 ноября 2026

Подготовлено редакцией «Ментор»Опубликовано 16 октября 2026Что изменилось: Добавлены условие ненулевого коэффициента и случаи без корнейИсточников: 1

Коротко

Линейное уравнение решают по шагам: раскрывают скобки, переносят слагаемые, приводят подобные и делят на коэффициент при неизвестном, если он не равен нулю. Если коэффициент нулевой, проверяют оставшееся равенство. Найденный корень проверяют подстановкой в исходное уравнение.

Правило

Линейное уравнение имеет вид ax + b = c, где x — неизвестное, а a, b и c — числа. Решить его — значит найти все значения x, при которых равенство верно, или установить, что их нет.

Уравнение можно менять, не нарушая равенства: прибавить или вычесть одно число с обеих сторон, умножить или разделить обе стороны на число, не равное нулю. Из этого следует удобное правило: слагаемое можно перенести через знак равенства, сменив его знак.

Линейное уравнение: пять шагов

Раскрой скобкиУмножь число перед скобкой на каждое слагаемое внутри.
Перенеси слагаемыеНеизвестное влево, числа вправо, знак меняется.
Приведи подобныеСложи слагаемые с неизвестным и числа отдельно.
Проверь коэффициентЕсли коэффициент при x не равен нулю, раздели на него обе части. Если он равен нулю, проверь оставшееся равенство.
Проверь кореньПодставь в исходное уравнение и сравни обе части.

Проверка подстановкой — не лишний шаг, а способ поймать ошибку со знаком до того, как ответ записан.

Таблица или схема

Шаг	Что делаем	Для 5x − 3 = 2x + 9
1	Раскрываем скобки	скобок нет
2	Переносим слагаемые	5x − 2x = 9 + 3
3	Приводим подобные	3x = 12
4	Делим на ненулевой коэффициент	x = 12 : 3 = 4
5	Проверяем	5 · 4 − 3 = 17 и 2 · 4 + 9 = 17

Примеры

Простое уравнение: 3x + 5 = 20

3x = 20 − 5, 3x = 15, x = 5

Число 5 перенесли вправо со сменой знака. Потом разделили обе части на 3. Проверка: 3 · 5 + 5 = 20, верно.

Со скобками: 2(x − 4) = 14

2x − 8 = 14, 2x = 22, x = 11

Сначала раскрыли скобки, умножив 2 на оба слагаемых. Потом перенесли −8 вправо как +8. Проверка: 2 · (11 − 4) = 14, верно.

Неизвестное в обеих частях: 5x − 3 = 2x + 9

5x − 2x = 9 + 3, 3x = 12, x = 4

Слагаемое 2x перенесли влево, а −3 вправо, каждый раз сменив знак. Проверка: слева 17, справа 17.

Уравнение без корней: 2x + 3 = 2x + 5

2x − 2x = 5 − 3, 0 = 2

Получилось неверное равенство, значит x не существует. Корней нет.

Исключения

Бесконечно много корней. Уравнение 2(x + 1) = 2x + 2 после раскрытия скобок даёт 2x + 2 = 2x + 2, то есть 0 = 0. Подходит любое число.

Деление на ноль. Если после упрощения получилось 0 · x = 5, корней нет: при любом x слева 0, а 0 ≠ 5. Если 0 · x = 0, корней бесконечно много.

Знак минус перед скобкой. При раскрытии скобок −(x − 3) = −x + 3, то есть знаки внутри скобки меняются.

Проверь себя

Реши уравнения в тетради, ответы смотри ниже. Задание на 10–15 минут.

x + 9 = 25
4x − 7 = 21
3(x + 2) = 18
7x − 5 = 4x + 10
2(x − 1) = 2x + 3

Ответы:

x = 16.
4x = 28, x = 7.
3x + 6 = 18, 3x = 12, x = 4.
7x − 4x = 10 + 5, 3x = 15, x = 5.
2x − 2 = 2x + 3, получаем −2 = 3, корней нет.

Следующая тема — квадратные уравнения.

Если тема не идёт

Чаще всего ломается перенос слагаемых или раскрытие скобок со знаком минус. Решайте по одному шагу на строке и после каждого шага проверяйте: «Что я сделал с обеими частями уравнения?» Если трудно с отрицательными числами или дробями, начните с раздела «Дроби». Все темы — в разделе «Уравнения».

Если нужна помощь с темой, посмотри, как проходят занятия с репетитором по математике.

Типичная ошибка

При переносе слагаемого через знак равенства забывают сменить знак: «3x + 5 = 20, значит 3x = 20 + 5». Правильно 3x = 20 − 5. Проверка подстановкой ловит такую ошибку сразу: из 3x = 25 получается x около 8,33, а 3 · 8,33 + 5 даёт около 30, не 20.

Частые вопросы

Что делать, если неизвестное стоит в обеих частях уравнения?

Перенести слагаемые с неизвестным в левую часть, а числа в правую, меняя знак у перенесённого слагаемого. Для 5x − 3 = 2x + 9: 5x − 2x = 9 + 3, откуда 3x = 12 и x = 4.

Как проверить, что корень найден верно?

Подставить найденное число в исходное уравнение и вычислить обе части. Для x = 4 в 5x − 3 = 2x + 9: слева 17, справа 17, значит корень верный. Подставлять надо в исходный вид, а не в преобразованный.

Бывает ли уравнение без корней?

Да. Если после упрощения получилось неверное равенство вроде 3 = 5, корней нет. Если получилось верное равенство вроде 4 = 4, подходит любое число: корней бесконечно много.