- Правило
- 7 класс
Многочлен: определение, стандартный вид и разложение на множители
Обновлено
Подготовлено редакцией «Ментор»Опубликовано Что изменилось: Уточнены определения степени и деления с остатком, подобраны связанные темыИсточников: 3
Коротко
Многочлен — сумма одночленов. Его приводят к стандартному виду или раскладывают на множители. К стандартному виду приводят по шагам: раскрывают скобки, записывают каждый член как одночлен стандартного вида, приводят подобные. Члены удобно расположить по убыванию степеней. Для разложения используют общий множитель, группировку и формулы сокращённого умножения.
Правило
Многочлен — это сумма одночленов. Одночлены, из которых он состоит, называют членами многочлена. Запись 3a + 5b − 2 — многочлен из трёх членов.
Разберём два действия с многочленами: приведение к стандартному виду и разложение на множители. В стандартном виде каждый член — одночлен стандартного вида, подобных членов нет. Члены удобно расположить по убыванию степеней.
Степень ненулевого многочлена стандартного вида — наибольшая из степеней его членов. У многочлена 4x²y − 3xy² + 7 члены имеют степени 3, 3 и 0, значит степень многочлена равна 3.
Как привести многочлен к стандартному виду
- Раскрой скобкиУмножь множитель перед скобкой или каждый член одного многочлена на каждый член другого. Отрицательный множитель может изменить знаки слагаемых.
- Запиши члены в стандартном видеВ каждом члене перемножь числовые множители и запиши степени одинаковых букв одной степенью.
- Найди подобные членыПодобные — члены с одинаковой буквенной частью. Подчеркни их одинаково, чтобы не потерять.
- Приведи подобныеСложи коэффициенты подобных членов, а буквенную часть оставь без изменений.
- Расположи членыЧлены можно расположить по убыванию степеней: после приведения подобных так удобно находить степень многочлена.
Чтобы представить выражение в виде многочлена, идут по шагам:
- Раскрой скобки: умножь множитель перед скобкой или каждый член одного многочлена на каждый член другого.
- Запиши каждый член как одночлен стандартного вида.
- Найди подобные члены — те, у которых одинаковая буквенная часть.
- Сложи коэффициенты подобных членов, буквенную часть оставь прежней.
- Члены можно расположить по убыванию степеней.
Разложение на множители — обратная работа: сумму превращают в произведение. Способ выбирают по виду выражения. Сначала проверяют, есть ли общий множитель у всех членов, потом — подходит ли формула сокращённого умножения, затем — можно ли применить группировку.
Как выбрать способ разложения на множители
- Проверь общий множительЕсли все члены делятся на одно и то же число или на одну и ту же букву, начни с вынесения за скобки.
- Посмотри на число членовДля двучлена проверь формулу разности квадратов, для трёхчлена — формулу квадрата суммы или разности.
- Попробуй группировкуЕсли общего множителя у всех членов нет, объедини члены в пары так, чтобы после вынесения скобки совпали.
- Проверь результатПеремножь полученные множители обратно: должен получиться исходный многочлен.
Разложение применяют и при решении уравнений: следующий шаг разобран в материале «Квадратное уравнение».
Таблица или схема
Способы разложения на множители и случаи, когда они подходят:
| Способ | Когда подходит | Пример |
|---|---|---|
| Общий множитель | Один и тот же множитель есть у всех членов | 6x³ − 9x² = 3x²(2x − 3) |
| Группировка | Члены удаётся объединить так, чтобы у групп появился общий множитель; четыре члена — один из случаев | x² + 3x + 2x + 6 = (x + 3)(x + 2) |
| Формула разности квадратов | Двучлен вида a² − b² | 4a² − 9 = (2a − 3)(2a + 3) |
| Формула квадрата суммы или разности | Трёхчлен вида a² + 2ab + b² или a² − 2ab + b² | x² − 6x + 9 = (x − 3)² |
Как называют многочлен по числу членов:
| Сколько членов | Название | Пример |
|---|---|---|
| два | двучлен | 5a − 2 |
| три | трёхчлен | x² − 4x + 3 |
| четыре и больше | можно сказать «многочлен» | x³ + x² + x + 1 |
Степень считают по членам многочлена:
| Многочлен | Степени членов | Степень многочлена |
|---|---|---|
| 3a + 5b − 2 | 1, 1, 0 | 1 |
| 4x²y − 3xy² + 7 | 3, 3, 0 | 3 |
Примеры
Приведение к стандартному виду
Разберём выражение (2a − 3)(a + 4).
Шаг 1. Умножаем каждый член первой скобки на каждый член второй: 2a · a + 2a · 4 − 3 · a − 3 · 4.
Шаг 2. Записываем члены в стандартном виде: 2a² + 8a − 3a − 12.
Шаг 3. Подобные члены — 8a и −3a. Складываем коэффициенты: 8 − 3 = 5.
Ответ: (2a − 3)(a + 4) = 2a² + 5a − 12. Степень полученного многочлена равна 2.
Степень многочлена
Возьмём 4x²y − 3xy² + 7. Считаем степень каждого члена: у 4x²y это 2 + 1 = 3, у 3xy² — 1 + 2 = 3, у числа 7 — 0.
Наибольшая степень равна 3.
Ответ: степень многочлена 4x²y − 3xy² + 7 равна 3.
Общий множитель
Разложим 6x³ − 9x².
Числа 6 и 9 делятся на 3. Буква x входит в оба члена, из степеней x³ и x² за скобки выходит x².
Представляем каждый член с общим множителем: 6x³ = 3x² · 2x, а −9x² = 3x² · (−3).
Ответ: 6x³ − 9x² = 3x²(2x − 3). Проверка умножением: 3x² · 2x = 6x³, 3x² · (−3) = −9x².
Группировка
Разложим x² + 3x + 2x + 6.
Шаг 1. Объединяем члены в пары: (x² + 3x) + (2x + 6).
Шаг 2. В первой паре общий множитель x, во второй — 2. Получаем x(x + 3) + 2(x + 3).
Шаг 3. Скобка (x + 3) одинаковая в обоих слагаемых, выносим её: (x + 3)(x + 2).
Ответ: x² + 3x + 2x + 6 = (x + 3)(x + 2).
Формулы сокращённого умножения
Разложим 4a² − 9.
Это разность квадратов: 4a² = (2a)², а 9 = 3². По формуле a² − b² = (a − b)(a + b) получаем (2a − 3)(2a + 3).
Ответ: 4a² − 9 = (2a − 3)(2a + 3).
Формулы работают и в другую сторону: трёхчлен x² − 6x + 9 сворачивается в квадрат двучлена (x − 3)².
Трудные случаи
Знак перед скобкой. В выражении −(3x − 5) минус меняет знак у каждого слагаемого: −3x + 5. Если поменять знак только у первого, выйдет −3x − 5, а это уже другая запись.
Нулевой коэффициент. После приведения подобных член может исчезнуть: 5x − 5x = 0. Такой член в ответ не записывают.
Разложение доводят до конца. 2x² − 8 = 2(x² − 4), и это ещё не конец: в скобках разность квадратов, поэтому 2x² − 8 = 2(x − 2)(x + 2).
Остаток при делении. Если многочлен с одной переменной не делится на другой многочлен той же переменной нацело, записывают так: для ненулевого делителя делимое = делитель · частное + остаток, причём степень ненулевого остатка меньше степени делителя. Для x² + 1 и делителя x − 1 получается x² + 1 = (x − 1)(x + 1) + 2, остаток равен 2.
Проверь себя
Задание на 10 минут. Реши в тетради, а ответ вводи ниже.
Реши, введи ответ и нажми «Проверить». Ответы никуда не отправляются и не сохраняются.
Реши в тетради. Ответы и объяснения — под кнопкой «Показать ответы».
Показать ответы
- Члены с одинаковой буквенной частью. Подобные члены отличаются только коэффициентами, а буквенная часть у них одинаковая: 7x и −2x подобны, а 7x и 7x² — нет.
- 5. Подобные члены — 7x и −2x. Складываем коэффициенты: 7 − 2 = 5, поэтому при x останется коэффициент 5. Свободный член 4 не меняется.
- 4a. Числа 8 и 4 делятся на 4, а из степеней a² и a за скобки выходит a. Общий множитель — 4a: 8a² − 4a = 4a(2a − 1).
- 3. Степень члена 4x²y равна 2 + 1 = 3, у 3xy² — 1 + 2 = 3, у числа 7 — 0. Наибольшая из степеней равна 3.
- Формула разности квадратов. Запись 4x² − 9 — это разность квадратов: (2x)² − 3². По формуле получаем (2x − 3)(2x + 3). Общего множителя у членов нет, а группировать здесь нечего.
- -15 или −15. Умножаем 5 на каждый член скобки: 5 · x = 5x и 5 · (−3) = −15. Получается двучлен 5x − 15, его свободный член равен −15.
Если тема не идёт
Возьми самое короткое выражение и пройди по шагам медленно: раскрой скобки, подчеркни подобные члены, сложи их коэффициенты. Каждый шаг записывай с новой строки — так видно, где потерялся знак. Другие темы школьной математики ищи в разделе «Математика».
Если нужна помощь с темой, посмотри, как проходят занятия с репетитором по математике.
Типичная ошибка
Ошибка — терять знак при раскрытии скобок: в выражении −(3x − 5) минус меняет знак у каждого слагаемого, поэтому получается −3x + 5, а не −3x − 5. Подстановка одного числа помогает заметить ошибку, но совпадение при одном значении не доказывает тождество: надёжнее раскрыть скобки обратно. Для порядка в записи можно расположить члены по убыванию степеней.
Частые вопросы
Что такое многочлен?
Многочлен — это сумма одночленов. Одночлены, из которых он состоит, называют членами многочлена. Запись 3a + 5b − 2 — многочлен из трёх членов.
Какой многочлен называют многочленом стандартного вида?
Многочлен записан в стандартном виде, если каждый его член — одночлен стандартного вида и подобных членов нет. Члены удобно расположить по убыванию степеней. Пример такой записи — 4x²y − 3xy² + 7.
Как найти степень многочлена?
Степень ненулевого многочлена стандартного вида — наибольшая из степеней его членов. У многочлена 4x²y − 3xy² + 7 степени членов равны 3, 3 и 0, поэтому степень многочлена равна 3.
Как разложить многочлен на множители?
Способ выбирают по виду выражения. Сначала проверяют общий множитель у всех членов: 6x³ − 9x² = 3x²(2x − 3). Затем — формулу сокращённого умножения, например разность квадратов: 4a² − 9 = (2a − 3)(2a + 3). Если общего множителя нет, пробуют группировку: x² + 3x + 2x + 6 = (x + 3)(x + 2).
Чем двучлен отличается от трёхчлена?
Название многочлена зависит от числа членов. Двучлен состоит из двух членов, например 5a − 2, а трёхчлен — из трёх, например x² − 4x + 3. При четырёх и более членах можно сказать «многочлен».
Потренируйся сам — бесплатно и без регистрации
На этой странице есть блок «Проверь себя». Реши задания сам, ничего никуда не отправляя, и сверься с ответами: так видно, что уже получается.
