Формулы сокращённого умножения: все формулы, как не путать и как применять

Правило

Формулы сокращённого умножения — готовые тождества для двучленов и многочленов. Их применяют в обе стороны: можно раскрыть скобки и получить многочлен, а можно увидеть в многочлене произведение или степень двучлена.

Здесь собраны семь формул. Первые три названы в базовой программе 7 класса, формулы с кубами дополнительные:

1. Квадрат суммы: (a + b)² = a² + 2ab + b².
2. Квадрат разности: (a − b)² = a² − 2ab + b².
3. Разность квадратов: a² − b² = (a − b)(a + b).
4. Куб суммы: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.
5. Куб разности: (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³.
6. Сумма кубов: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²).
7. Разность кубов: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²).

Буквы a и b — это места под числа, одночлены и целые выражения. Формула остаётся верной, чем бы эти места ни заполнили.

Как применять формулу по шагам:

1. Определи вид выражения: двучлен в квадрате, двучлен в кубе, разность квадратов или сумма (разность) кубов.
2. Назови подходящую формулу словами и выпиши её рядом с примером.
3. Подставь вместо a и b то, что стоит на этих местах, и следи за знаками.
4. Проверь результат: подставь вместо буквы простое число и посчитай обе части.

Как выбрать формулу по виду выражения

1. 1Двучлен в квадрате(a + b)² или (a − b)² — это квадрат суммы или разности; справа получится три слагаемых.
2. 2Разность квадратовЕсли между двумя квадратами стоит минус, получится произведение двух двучленов: (a − b)(a + b).
3. 3Двучлен в кубе(a + b)³ и (a − b)³ раскрываются в четыре слагаемых, а в кубе разности знаки чередуются.
4. 4Сумма и разность кубовДва куба раскладываются в произведение двучлена и трёхчлена: второй множитель состоит из трёх частей.
5. 5ПроверкаПодставь вместо букв простые числа и посчитай обе части: у верной записи они совпадут.

Средний член в квадрате двучлена — удвоенное произведение 2ab. В разности квадратов справа стоит произведение двух двучленов, а в формулах суммы и разности кубов — произведение двучлена и трёхчлена. Как устроены сами одночлены и многочлены, разобрано в материале о многочленах.

Таблица или схема

Второй столбец помогает узнать формулу по названию, третий — по действию, которое нужно выполнить.

В поиске встречаются запросы без скобок: «a b 2» и «a 1 2». По ним одним нельзя определить, какой знак стоит между слагаемыми; проверь исходное условие.

Как читать короткие записи формул

1. 1«a b 2»Такой запрос может относиться к (a + b)² или (a − b)²: знак и скобки не указаны.
2. 2«a 1 2»Такой запрос может относиться к (a + 1)² или (a − 1)²: по одним словам знак определить нельзя.
3. 3Что теряется без скобокВ короткой записи пропадают скобки и знак, а для формулы важно, плюс между слагаемыми или минус.
4. 4Как проверять себяПрочитай запись словами: «квадрат суммы a и b». Если слова не совпадают с формулой, запись прочитана неверно.

Разность квадратов и разность кубов помогают решать уравнения: квадратное уравнение часто решают именно после разложения на множители.

Примеры

(x + 4)²: раскрываем скобки

1. Вид выражения — квадрат суммы, значит a = x, b = 4.
2. Формула: (a + b)² = a² + 2ab + b².
3. Подставляем: x² + 2 · x · 4 + 4² = x² + 8x + 16.

Ответ: x² + 8x + 16.

Проверка: при x = 1 левая часть равна (1 + 4)² = 25, правая — 1 + 8 + 16 = 25.

x² − 25: раскладываем на множители

1. Здесь разность двух квадратов: x² = x · x, 25 = 5².
2. Формула: a² − b² = (a − b)(a + b).
3. Получаем (x − 5)(x + 5).

Ответ: (x − 5)(x + 5).

Проверка: раскроем скобки обратно: x · x + 5x − 5x − 25 = x² − 25.

(x² − 9)/(x + 3): сокращаем дробь

1. Числитель — разность квадратов: x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
2. Дробь принимает вид (x − 3)(x + 3)/(x + 3).
3. Сокращаем на общий множитель (x + 3).

Ответ: x − 3 при x ≠ −3.

Условие появляется потому, что при x = −3 знаменатель равен нулю, а на ноль делить нельзя.

(x − 1)³: куб разности

1. Формула: (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³, где a = x, b = 1.
2. Слагаемые: a³ = x³, 3a²b = 3x², 3ab² = 3x, b³ = 1.
3. Знаки чередуются: плюс, минус, плюс, минус.

Ответ: x³ − 3x² + 3x − 1.

Проверка: при x = 2 левая часть равна (2 − 1)³ = 1, а правая — 8 − 12 + 6 − 1 = 1.

4x² + 12x + 9: собираем квадрат двучлена

1. Проверяем крайние члены: 4x² = (2x)², 9 = 3².
2. Средний член должен быть удвоенным произведением: 2 · 2x · 3 = 12x. Совпадает.
3. Значит, трёхчлен — это квадрат суммы: (2x + 3)².

Ответ: (2x + 3)².

Проверка: при x = 1 левая часть равна 4 + 12 + 9 = 25, правая — (2 + 3)² = 25.

Трудные случаи

Квадрат суммы и сумма квадратов — разные выражения. У (a + b)² есть средний член 2ab, а у a² + b² его нет. При a = 3 и b = 4: (3 + 4)² = 49, а 3² + 4² = 25.

Сумма квадратов. Среди этих формул нет разложения суммы квадратов, аналогичного разности квадратов. Например, x² + 16 нельзя разложить на линейные множители с действительными коэффициентами.

Знаки в кубе разности. В (a − b)³ знаки слагаемых чередуются: плюс, минус, плюс, минус. Если знак потерян, проверка подстановкой чисел показывает расхождение.

После сокращения дроби остаётся условие. Сокращать можно только на выражение, которое не равно нулю. В примере с (x² − 9)/(x + 3) ответ x − 3 верен при x ≠ −3.

Проверь себя

Раскладывай выражения в тетради, а ответы вводи ниже.

Если тема не идёт

Выпиши семь формул на отдельный лист и закрывай правую часть, называя её по левой: так видно, какие формулы путаются. В примерах сначала определяй вид выражения, а уже потом подставляй буквы. Сводка тем, где нужны эти формулы, есть в материале о формулах ОГЭ по математике, а остальные материалы раздела собраны на странице Математика.

Разобрать эту тему с педагогом можно на занятиях по математике.