НОД и НОК: как найти наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное

Правило

НОД (наибольший общий делитель) двух натуральных чисел — наибольшее натуральное число, на которое делится каждое из них. НОК (наименьшее общее кратное) — наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из них.

Для 24 и 36 НОД равен 12, а НОК — 72. Найти их можно двумя способами:

• перебором — для НОД перебирают делители меньшего числа, начиная с наибольшего, для НОК перебирают кратные большего числа;
• разложением на простые множители — числа раскладывают и собирают нужные множители.

Два способа найти НОД и НОК

1. 1Перебор: НОДПеребирай делители 24, начиная с наибольшего: 36 на 24 не делится, а на 12 делится. НОД = 12.
2. 2Перебор: НОКПеребирай кратные 36: 36 на 24 не делится, а 72 делится. НОК = 72.
3. 3РазложениеРазложи числа на простые множители: 24 = 2³·3, 36 = 2²·3².
4. 4НОД по разложениюВозьми общие для всех разложений простые множители с наименьшей степенью и перемножь: 2²·3 = 12.
5. 5НОК по разложениюВозьми каждый простой множитель, который есть хотя бы в одном разложении, с наибольшей степенью из всех разложений: 2³·3² = 72.

Как найти НОД и НОК разложением:

1. Разложи каждое число на простые множители.
2. Подчеркни простые множители, которые есть во всех разложениях.
3. НОД — возьми общие для всех разложений простые множители с наименьшей степенью и перемножь их.
4. НОК — возьми каждый простой множитель, который есть хотя бы в одном разложении, с наибольшей степенью из всех разложений и перемножь.

Для двух натуральных чисел верно правило-проверка: НОД × НОК = произведение чисел. Для 24 и 36: 12 · 72 = 864, и 24 · 36 = 864.

Алгоритм Евклида. Для больших чисел НОД можно найти без разложения. Дели большее число на меньшее с остатком, потом делитель на остаток, и так до остатка 0. Последний ненулевой делитель — это НОД. Если первое число делится на второе сразу, НОД равен второму числу. Для 252 и 105:

• 252 = 2·105 + 42;
• 105 = 2·42 + 21;
• 42 = 2·21 + 0.

Остаток стал равен нулю, значит, НОД(252; 105) = 21.

По федеральной программе НОД и НОК проходят в 6 классе. Там нужно уметь «применять алгоритмы вычисления наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного двух чисел, алгоритм разложения числа на простые множители». Как раскладывать числа, разобрано в материале о простых числах и признаках делимости.

Таблица или схема

Что искать, НОД или НОК, могут подсказать слова в условии.

Как НОД и НОК связаны с самими числами:

Общий знаменатель нужен, чтобы сравнивать дроби и складывать дроби с разными знаменателями.

Примеры

НОД и НОК чисел 24 и 36 двумя способами

Перебор. Делители 24 берём начиная с наибольшего: 36 на 24 не делится, а на 12 делится, значит, НОД = 12. Кратные 36: число 36 на 24 не делится, а 72 делится, значит, НОК = 72.

Разложение.

1. 24 = 2³·3, 36 = 2²·3².
2. НОД = 2²·3 = 12.
3. НОК = 2³·3² = 72.

НОД = 12, НОК = 72.

Проверка: 12 · 72 = 864 = 24 · 36.

НОД и НОК чисел 48 и 180

1. Раскладываем: 48 = 2⁴·3, 180 = 2²·3²·5.
2. Общие простые множители с наименьшей степенью: НОД = 2²·3 = 12.
3. Каждый простой множитель, который есть хотя бы в одном разложении, с наибольшей степенью: НОК = 2⁴·3²·5 = 720.

НОД = 12, НОК = 720.

Проверка: 12 · 720 = 8640, и 48 · 180 = 8640.

Задача про лампы

Одна лампа мигает каждые 6 секунд, другая — каждые 8 секунд. В начале они мигнули одновременно. Через сколько секунд они снова мигнут вместе?

1. Лампы должны «совпасть», значит, ищем НОК(6; 8).
2. Раскладываем: 6 = 2·3, 8 = 2³.
3. Берём каждый простой множитель с наибольшей степенью: НОК = 2³·3 = 24.

Через 24 секунды.

Проверка: 24 делится и на 6, и на 8.

Три числа: 12, 18 и 30

1. Раскладываем: 12 = 2²·3, 18 = 2·3², 30 = 2·3·5.
2. Общие для всех трёх разложений простые множители — 2 и 3, с наименьшей степенью: НОД = 2·3 = 6.
3. Каждый простой множитель, который есть хотя бы в одном разложении, с наибольшей степенью: НОК = 2²·3²·5 = 180.

НОД = 6, НОК = 180.

Проверка: каждое из чисел 12, 18, 30 делится на 6, а 180 делится на каждое из них.

Исключения

Ловушка «НОК = произведение». Для 24 и 36 произведение равно 864, а НОК — 72. Произведение тоже делится на оба числа, но оно не всегда наименьшее.

Одно число делится на другое. Тогда НОД равен меньшему числу, а НОК — большему. Например, 21 делится на 7, поэтому НОД(7; 21) = 7.

Взаимно простые числа. Если у чисел нет общих простых множителей, их НОД равен 1, а НОК равен их произведению. Так устроены 8 = 2³ и 15 = 3·5: НОД(8; 15) = 1.

Правило «НОД × НОК = произведение» — только для двух натуральных чисел. Для трёх чисел в общем случае оно неверно. НОД и НОК трёх чисел можно найти разложением, как в примере с 12, 18 и 30.

Проверь себя

Раскладывай числа в тетради, а ответы вводи ниже.

Если тема не идёт

Путаницу НОД и НОК помогает снять проверка границ: НОД не больше меньшего числа, НОК не меньше большего. Можно перед решением подписать над условием, что в нём требуется — разбить на наибольшие одинаковые части или совпасть, и по таблице выбрать, что искать. Если трудно раскладывать на множители, стоит вернуться к материалу о простых числах. Остальные темы раздела — Математика.

О занятиях по этой и другим темам — на странице репетитора по математике.