- Правило
- 5–6 класс
Простые числа и признаки делимости: правило, таблица и примеры
Обновлено
Подготовлено редакцией «Ментор»Опубликовано Что изменилось: Уточнена граница перебора делителейИсточников: 1
Коротко
Простые числа — натуральные числа больше 1, которые делятся только на 1 и на себя: 2, 3, 5, 7, 11. Число 1 не простое и не составное, а 2 — единственное чётное простое. Быстро найти делители помогают признаки делимости на 2, 3, 5, 9 и 10.
Правило
Простое число — натуральное число больше 1, у которого ровно два делителя: 1 и само это число. Число 7 делится только на 1 и на 7, поэтому оно простое.
Составное число — натуральное число больше 1, у которого больше двух делителей. Число 15 делится на 1, 3, 5 и 15, значит, оно составное. Число 1 не относят ни к простым, ни к составным.
Как проверить, простое ли число больше 1:
- Примени признаки делимости на 2, 3 и 5, если квадрат соответствующего делителя не больше проверяемого числа: для этого не нужно делить столбиком.
- При необходимости попробуй 7, 11, 13 и следующие простые числа, пока квадрат делителя не станет больше проверяемого числа.
- Останавливайся, когда делитель, умноженный сам на себя, больше проверяемого числа. Для чисел до 100 хватает 2, 3, 5 и 7, ведь 11 · 11 = 121.
- Если ни один делитель не подошёл, число простое. Если подошёл хотя бы один, число составное.
Признаки делимости позволяют увидеть делитель без деления. На 2 делятся числа с чётной последней цифрой, на 5 — с последней цифрой 0 или 5, на 10 — с последней цифрой 0. На 3 делятся числа, у которых сумма цифр делится на 3, а на 9 — те, у которых сумма цифр делится на 9.
Разложить число на простые множители — значит записать его как произведение простых чисел. Число делят на наименьший простой делитель, затем частное снова делят, пока не останется простое число.
«Разложение на простые числа» и «разложение на простые множители» — одно и то же действие. В разложении 84 = 2 · 2 · 3 · 7 простые числа 2, 3 и 7 называют простыми делителями числа 84.
Разложение числа 60 на простые множители
- Начни с 260 оканчивается на 0, значит, оно чётное: 60 : 2 = 30.
- Дели, пока делится30 : 2 = 15. Число 15 нечётное, на 2 оно уже не делится.
- Переходи к 3Сумма цифр 15 равна 6, она делится на 3: 15 : 3 = 5.
- Дойди до простого5 — простое число, на этом деление закончено.
- Запиши и проверь60 = 2 · 2 · 3 · 5. Перемножь множители: 4 · 3 · 5 = 60.
Разложение пригодится в 6 классе, когда ищут наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Общие простые множители — те, что встретились в разложениях обоих чисел.
У 60 = 2 · 2 · 3 · 5 и 84 = 2 · 2 · 3 · 7 общие множители — 2, 2 и 3, а их произведение равно 12. Это наибольший общий делитель чисел 60 и 84. Как искать его по разложению, показано в материале «НОД и НОК».
Таблица или схема
| Делится на | Признак | Пример |
|---|---|---|
| 2 | последняя цифра чётная: 0, 2, 4, 6, 8 | 348 |
| 5 | последняя цифра 0 или 5 | 735 |
| 10 | последняя цифра 0 | 4560 |
| 3 | сумма цифр делится на 3 | 51: 5 + 1 = 6 |
| 9 | сумма цифр делится на 9 | 7281: 7 + 2 + 8 + 1 = 18 |
Простые числа до 50 удобно держать перед глазами. Их всего 15, а до 20 — восемь.
| Числа | Простые среди них |
|---|---|
| 1–10 | 2, 3, 5, 7 |
| 11–20 | 11, 13, 17, 19 |
| 21–30 | 23, 29 |
| 31–40 | 31, 37 |
| 41–50 | 41, 43, 47 |
Примеры
Простое или нет: 91 и 97
Проверяем 91 по шагам. Последняя цифра 1, поэтому на 2 и на 5 число не делится. Сумма цифр 9 + 1 = 10 на 3 не делится. Пробуем 7: 91 : 7 = 13.
91 = 7 · 13, число составное.
Теперь 97. На 2 и на 5 оно не делится, сумма цифр 9 + 7 = 16 на 3 не делится. На 7 тоже не делится: 7 · 13 = 91, 7 · 14 = 98. Дальше проверять не нужно: следующее простое число 11, а 11 · 11 = 121 уже больше 97.
97 — простое число.
Признаки делимости: 7281 и 4560
Число 7281 оканчивается на 1, поэтому на 2, 5 и 10 не делится. Сумма цифр 7 + 2 + 8 + 1 = 18 делится и на 3, и на 9. Проверка делением: 7281 : 9 = 809.
7281 делится на 3 и на 9, но не делится на 2, 5 и 10.
Число 4560 оканчивается на 0, значит, оно делится на 2, на 5 и на 10. Сумма цифр 4 + 5 + 6 + 0 = 15 делится на 3, а на 9 не делится. Проверка: 4560 : 3 = 1520.
4560 делится на 2, 3, 5 и 10, но не делится на 9.
Разложение на простые множители: 84 и 63
Раскладываем столбиком: слева пишем частное, справа — простой делитель.
84 | 2
42 | 2
21 | 3
7 | 7
1 |84 = 2 · 2 · 3 · 7. Проверка: 4 · 3 · 7 = 84.
Число 63 нечётное, на 2 не делится. Сумма цифр 6 + 3 = 9, поэтому 63 : 3 = 21. Затем 21 : 3 = 7, а 7 — простое.
63 = 3 · 3 · 7. Проверка: 9 · 7 = 63.
«Похожие на простые»: 51, 57, 87 и 119
Эти числа нечётные и не оканчиваются на 5, но ни одно из них не простое. Признак делимости на 3 сразу находит делитель у первых трёх.
| Число | Проверка | Разложение |
|---|---|---|
| 51 | 5 + 1 = 6, делится на 3 | 3 · 17 |
| 57 | 5 + 7 = 12, делится на 3 | 3 · 19 |
| 87 | 8 + 7 = 15, делится на 3 | 3 · 29 |
| 119 | 1 + 1 + 9 = 11, на 3 не делится; пробуем 7 | 7 · 17 |
Для 119 хватает делителей до 7: следующее простое 11, а 11 · 11 = 121 уже больше 119.
Все четыре числа составные.
Исключения
Число 1 ни простое, ни составное. У него один делитель — само число 1. Поэтому разложение 60 = 2 · 2 · 3 · 5 не содержит множителя 1.
2 — единственное чётное простое число. Оно делится только на 1 и на 2. Любое другое чётное число делится ещё и на 2, например 4 = 2 · 2, поэтому оно составное.
Нечётное число может быть составным. Числа 9, 15, 21 нечётные, но 9 = 3 · 3, 15 = 3 · 5, 21 = 3 · 7.
Делимость на 3 ещё не означает делимости на 9. Если число делится на 9, оно делится и на 3. Обратное неверно: 4560 делится на 3, а на 9 не делится.
Проверь себя
Решай в тетради, а ответ вводи ниже.
Реши, введи ответ и нажми «Проверить». Ответы никуда не отправляются и не сохраняются.
Реши в тетради. Ответы и объяснения — под кнопкой «Показать ответы».
Показать ответы
- 53. 53 не делится на 2 и на 5, сумма цифр 8 не делится на 3, на 7 тоже не делится: 7 · 7 = 49, 7 · 8 = 56. Остальные составные: 51 = 3 · 17, 57 = 3 · 19, 91 = 7 · 13.
- 2·2·5·5 или 2*2*5*5 или 2×2×5×5 или 2x2x5x5. 100 : 2 = 50, 50 : 2 = 25, 25 : 5 = 5, а 5 — простое число. Значит, 100 = 2 · 2 · 5 · 5.
- 23. Суммы цифр: у 124 — 7, у 351 — 9, у 2010 — 3, у 805 — 13. На 3 делятся только суммы 9 и 3, поэтому подходят 351 и 2010.
- да. Сумма цифр 4 + 5 + 7 + 2 = 18, а 18 делится на 9. Значит, и 4572 делится на 9: 4572 : 9 = 508.
- ни простое, ни составное. У простого числа ровно два делителя, у составного — больше двух. У единицы делитель всего один, поэтому она не простая и не составная.
Если проверять делимость на 7 трудно, повтори деление по материалу «Как объяснить деление с остатком». Разложение знаменателей на простые множители помогает найти их наименьшее общее кратное и общий знаменатель дробей. Как это применить, показано в материале «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями».
Если тема не идёт
Выпиши числа от 2 до 50 и вычеркни все числа, кратные 2, 3, 5 и 7, кроме самих этих чисел. Оставшиеся числа сверь с таблицей простых: так проще запомнить таблицу и понять, откуда она берётся. Другие темы курса собраны в разделе «Математика».
Для разбора этой темы есть репетитор по математике.
Типичная ошибка
Нечётное число не обязательно простое: 51, 57 и 91 нечётные, но составные, и их можно ошибочно принять за простые. Ошибку ловит проверка делением: у 51 сумма цифр 6, значит, 51 = 3 · 17. Чтобы проверить число больше 1, пробуй простые делители по порядку, пока квадрат делителя не станет больше проверяемого числа.
Частые вопросы
Какие числа называют простыми?
Простыми называют натуральные числа больше 1, у которых ровно два делителя: 1 и само число. Например, 2, 3, 5, 7, 11, 13. Числа больше 1, у которых делителей больше двух, называют составными: 4, 6, 9, 15.
Является ли единица простым числом?
Нет, единица не простое число. У неё только один делитель — сама единица, а у простого числа делителей ровно два. Поэтому число 1 не относят ни к простым, ни к составным числам.
Как разложить число на простые множители?
Число делят на наименьший простой делитель, потом частное снова делят, пока не останется 1. Начинают с 2, затем пробуют 3, 5, 7 и следующие простые числа. Например, 60 : 2 = 30, 30 : 2 = 15, 15 : 3 = 5, 5 : 5 = 1, поэтому 60 = 2 · 2 · 3 · 5.
Как проверить, делится ли число на 3 и на 9?
Нужно сложить все цифры числа. Если сумма цифр делится на 3, число делится на 3, а если на 9 — делится на 9. У 7281 сумма цифр 18, поэтому 7281 делится и на 3, и на 9. У 4560 сумма 15: на 3 делится, на 9 нет.
Как проверить, простое ли большое число?
Число проверяют делением на простые числа по порядку: 2, 3, 5, 7, 11 и дальше. Останавливаются, когда делитель, умноженный сам на себя, больше проверяемого числа. Для 97 достаточно проверить 2, 3, 5 и 7: 11 · 11 = 121, а это больше 97, значит, 97 простое.
Потренируйся сам — бесплатно и без регистрации
На этой странице есть блок «Проверь себя». Реши задания сам, ничего никуда не отправляя, и сверься с ответами: так видно, что уже получается.
