- Правило
- 10–11 класс
Производная на ЕГЭ по математике: правило, таблица и алгоритм решения задач
Обновлено
Подготовлено редакцией «Ментор»Опубликовано Что изменилось: Добавлен разбор знака производной по графику для задания 9 и уточнены правилаИсточников: 2
Коротко
Производную можно интерпретировать как скорость изменения функции: её находят по правилам дифференцирования. Порядок действий зависит от того, что требуется в задании: найти производную, уравнение касательной, точку экстремума или наибольшее и наименьшее значение. Цепочка «производная, её нули, знаки, вывод» подходит для исследования функции и поиска экстремумов; промежутки разбивают и по точкам, где производной нет.
Содержание
Правило: производная и порядок действий
Производная функции в точке — предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Предел берут, когда он существует, а функция определена в окрестности точки. Короче: производную можно интерпретировать как скорость изменения функции.
Две связи помогают читать график. Если функция дифференцируема на интервале и её производная сохраняет на нём знак, то при f′(x) > 0 функция возрастает, а при f′(x) < 0 убывает. Если у графика есть касательная в точке и функция в этой точке дифференцируема, значение производной равно угловому коэффициенту касательной.
Порядок работы зависит от того, что требуется в задании. Если просят найти производную, хватит правил дифференцирования. Для экстремумов добавляются нули производной, точки, где производной нет, знаки и вывод.
Для наибольшего и наименьшего значения на замкнутом отрезке сравнивают значения в критических точках внутри отрезка и на его концах. Точки, где производной не существует, тоже входят в число критических. Оба значения существуют, если функция непрерывна на всём отрезке.
Четыре шага исследования функции на экстремумы
- Найди производнуюПримени правила дифференцирования: сумма, постоянный множитель, степени.
- Реши f′(x) = 0Получишь нули производной — там касательная горизонтальна; добавь точки области определения, где производной нет.
- Расставь знакиНули производной и точки, где её нет, разбивают область определения на промежутки; на каждом определи знак f′(x).
- Сделай выводЕсли функция непрерывна в точке, а знаки производной на прилегающих интервалах разные, это экстремум: с плюса на минус — максимум, с минуса на плюс — минимум.
- Найди производную f′(x).
- Реши уравнение f′(x) = 0 — это нули производной; добавь точки области определения, где производной нет.
- Эти точки разбивают область определения на промежутки — расставь на них знаки f′(x).
- Сделай вывод: если функция непрерывна в рассматриваемой точке и знаки производной на прилегающих интервалах разные, это экстремум; с плюса на минус — максимум, с минуса на плюс — минимум.
В школьной программе производная входит в раздел «Начала математического анализа». По кодификатору ФИПИ тема «Производная» входит в перечень проверяемых элементов профильного ЕГЭ по математике. В проекте профильной демоверсии 2027 года в № 9 есть вариант с графиком функции: требуется определить, в скольких отмеченных точках производная отрицательна. Ищи точки, где касательная наклонена вниз слева направо. Например, для f(x) = x² и отмеченных x = −2, 0, 1 производная 2x отрицательна только в первой точке. Ответ в этом учебном примере — 1.
Какие задания встречаются в работе, разбирает материал «Структура ЕГЭ по математике 2027».
Таблица: производные и правила дифференцирования
Аргумент синуса и косинуса в формулах производных измеряют в радианах. В левом столбце функция, в правом её производная. Буквой C обозначено постоянное число, буквами u и v — функции от x, дифференцируемые в рассматриваемой точке. Для линейной функции kx + b числа k и b постоянные.
| Функция f(x) | Производная f′(x) |
|---|---|
| C | 0 |
| x | 1 |
| kx + b | k |
| x² | 2x |
| x³ | 3x² |
| xⁿ, где n — положительное целое (для n = 1 см. строку x) | n · xⁿ⁻¹ |
| √x, x > 0 | 1 / (2√x) |
| 1 / x, x ≠ 0 | −1 / x² |
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
| u + v | u′ + v′ |
| C · u | C · u′ |
| u · v | u′v + uv′ |
| u / v, v(x) ≠ 0 | (u′v − uv′) / v² |
Для дробного показателя r используем школьное соглашение: на x > 0 производная xʳ равна r · xʳ⁻¹. Кубический корень ∛x как отдельная функция определён и при отрицательных x: например, ∛(−8) = −2. У функции ∛x в нуле нет конечной производной. Табличная формула для √x верна при x > 0: в точке x = 0 корень определён, но производной в этой точке нет. Для дроби 1 / x требуется x ≠ 0, а для общего отношения u / v нужно, чтобы знаменатель не обращался в ноль, то есть v(x) ≠ 0.
Второй набор строк отвечает на вопрос, что делать в конкретном задании.
| Что требуется | Что делаем |
|---|---|
| Найти производную | Применяем правила дифференцирования и упрощаем ответ |
| Уравнение касательной | Считаем f(x₀) и f′(x₀), подставляем в y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀) |
| Точка экстремума | Решаем f′(x) = 0, добавляем точки, где производной нет, и проверяем смену знака на прилегающих интервалах; функция должна быть непрерывна в этой точке |
| Наибольшее или наименьшее значение | Сравниваем значения на концах отрезка и во всех критических точках внутри, включая точки, где производной нет; оба значения есть, если функция непрерывна на всём замкнутом отрезке |
В некоторых задачах уравнение f′(x) = 0 оказывается квадратным — например, когда функция кубическая. Приёмы его решения собраны в материале «Квадратное уравнение: дискриминант, формула корней и теорема Виета».
Примеры
Ниже четыре разбора. В каждом сначала применяется правило, а потом результат проверяется.
Пример 1. Производная многочлена
Задача. Найди производную функции f(x) = 3x² − 5x + 7.
- Производная суммы равна сумме производных, поэтому считаем по слагаемым.
- (3x²)′ = 3 · 2x = 6x.
- (−5x)′ = −5.
- (7)′ = 0.
Складываем: f′(x) = 6x − 5.
Ответ: f′(x) = 6x − 5.
Пример 2. Производная произведения
Задача. Найди производную функции f(x) = (x² + 1)(x − 2).
- Обозначаем первый множитель u = x² + 1, второй v = x − 2.
- Тогда u′ = 2x и v′ = 1.
- Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′.
- Подставляем: 2x(x − 2) + (x² + 1) = 2x² − 4x + x² + 1 = 3x² − 4x + 1.
Проверка раскрытием скобок: (x² + 1)(x − 2) = x³ − 2x² + x − 2. Производная этого многочлена тоже равна 3x² − 4x + 1.
Ответ: f′(x) = 3x² − 4x + 1.
Пример 3. Нули производной и экстремумы
Задача. Функция задана формулой f(x) = x³ − 3x². Найди точки экстремума.
- Производная: f′(x) = 3x² − 6x.
- Уравнение f′(x) = 0: 3x² − 6x = 0, то есть 3x(x − 2) = 0. Нули производной: x = 0 и x = 2.
- Производная — многочлен, поэтому она определена при всех x, а знак между её нулями не меняется. Достаточно по одной точке на промежуток: f′(−1) = 9 > 0, f′(1) = −3 < 0, f′(3) = 9 > 0.
- При переходе через x = 0 знак меняется с плюса на минус, значит, x = 0 — абсцисса точки максимума. При переходе через x = 2 знак меняется с минуса на плюс, значит, x = 2 — абсцисса точки минимума.
Ответ: точка максимума x = 0, точка минимума x = 2; значения функции в них равны 0 и −4.
Пример 4. Уравнение касательной
Задача. Составь уравнение касательной к графику функции f(x) = x² в точке x₀ = 3.
- Формула касательной к графику в точке (x₀; f(x₀)): y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀); функция должна быть дифференцируема в точке x₀.
- f(3) = 3² = 9.
- f′(x) = 2x, поэтому f′(3) = 6.
- Подставляем: y = 9 + 6(x − 3) = 6x − 9.
Проверка: прямая проходит через точку (3; 9), а её угловой коэффициент равен 6.
Ответ: y = 6x − 9.
Трудные случаи
Сложная функция. Если под знаком функции стоит выражение с x, работают по цепочке: (f(g(x)))′ = f′(g(x)) · g′(x). Например, (sin 2x)′ = 2cos 2x: сначала берут производную синуса, потом производную внутреннего выражения 2x.
Ноль производной без экстремума. У функции f(x) = x³ производная 3x² равна нулю при x = 0, но знак не меняется. Экстремума в этой точке нет.
Точка, где производной не существует. У функции y = |x| в точке x = 0 график имеет излом: слева угловой коэффициент равен −1, справа 1. Одного значения производной здесь нет.
Произведение. Ошибочное правило — считать производную произведения как u′ · v′. Для двух множителей работает формула (uv)′ = u′v + uv′.
Проверь себя
Попробуй решить за 10 минут. Решай в тетради, а ответ вводи ниже.
Реши, введи ответ и нажми «Проверить». Ответы никуда не отправляются и не сохраняются.
Реши в тетради. Ответы и объяснения — под кнопкой «Показать ответы».
Показать ответы
- 3. f′(x) = 2x − 6. Уравнение 2x − 6 = 0 даёт x = 3. Слева от этой точки производная отрицательна, справа положительна, поэтому x = 3 — точка минимума.
- 0. Производная постоянной равна нулю: (C)′ = 0. График такой функции — горизонтальная прямая, её угловой коэффициент нулевой.
- 12. f′(x) = 3x². Подставляем x = 2: 3 · 2² = 3 · 4 = 12.
- 6. У функции f(x) = x² производная существует в каждой точке, а значит, есть и касательная. Её угловой коэффициент равен значению производной в точке касания: f′(x) = 2x, поэтому f′(3) = 6.
- нет, знак производной не меняется. Слева и справа от нуля производная 3x² положительна, знак не меняется, функция возрастает. Экстремума в точке x = 0 нет.
- -4 или −4. f′(x) = 2x − 6, производная равна нулю при x = 3. В этой точке функция принимает наименьшее значение: f(3) = 9 − 18 + 5 = −4.
Если тема не идёт
Возьми один тип задания — производную многочлена — и разбери его не спеша. Выпиши слагаемые столбиком, найди производную каждого слагаемого отдельно и только потом сложи результаты. Когда такие примеры идут ровно, добавь к ним нули производной и расстановку знаков.
О занятиях по этой и другим темам — на странице репетитора по математике.
Типичная ошибка
Типичная ошибка в разборе: нули производной ищут раньше, чем саму производную, а знаки расставляют наугад. Сначала находят производную и её нули, затем добавляют точки области определения, где производной нет: по ним тоже разбивают промежутки. Знаки проверяют на прилегающих интервалах, и одной пробной точки на интервал достаточно, если установлено, что на нём знак не меняется. Вывод об экстремуме делают для точки, в которой функция непрерывна: если знаки производной на прилегающих интервалах разные, экстремум есть; если одинаковые, экстремума нет. Ещё одна ошибка — считать, что производная постоянного слагаемого равна самому слагаемому: у функции f(x) = 3x² − 5x + 7 последнее число 7 даёт ноль, а не 7.
Частые вопросы
Как найти производную функции?
Сначала смотрят, из чего состоит выражение: сумма, произведение, частное или сложная функция. Потом к каждой части применяют своё правило дифференцирования: сумму считают по слагаемым, постоянный множитель выносят, для положительной целой степени показатель становится множителем, а показатель степени уменьшается на единицу. Для дробной степени в школьном обозначении берём x > 0. Например, у функции f(x) = 3x² − 5x + 7 производная равна 6x − 5.
Что такое нули производной?
Нули производной — это значения x, при которых f′(x) = 0. В таких точках касательная к графику горизонтальна, если производная существует. Через нули производной находят возможные точки максимума и минимума, но это только критические точки. Кроме них проверяют точки, где производной не существует, а смену знака проверяют отдельно.
Как понять, где функция возрастает, а где убывает?
По знаку производной. Если функция дифференцируема на интервале и производная сохраняет на нём знак, то при f′(x) > 0 функция возрастает, а при f′(x) < 0 убывает. У функции f(x) = x³ − 3x² производная равна 3x² − 6x. При x < 0 она положительна, на интервале 0 < x < 2 отрицательна, а при x > 2 снова положительна.
Как составить уравнение касательной?
Уравнение касательной к графику в точке (x₀; f(x₀)) записывают формулой y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀). Функция должна быть дифференцируема в точке x₀. Сначала вычисляют значение функции в точке касания, затем значение производной в этой же точке. Для f(x) = x² при x₀ = 3 выходит f(3) = 9 и f′(3) = 6, то есть y = 6x − 9.
Точка, где производная равна нулю, всегда является экстремумом?
Нет, смену знака нужно проверять. У функции f(x) = x³ производная 3x² обращается в ноль при x = 0, но остаётся положительной и слева, и справа. Знак не меняется, поэтому экстремума в этой точке нет. Экстремум есть там, где функция непрерывна в критической точке и знак производной на прилегающих интервалах меняется с плюса на минус или с минуса на плюс.
Проверь себя — бесплатно и без регистрации
На этой странице есть блок «Проверь себя». Пройди его сам, ничего никуда не отправляя: так видно, какие темы уже получаются, а что стоит повторить.
