Тригонометрия на ЕГЭ: формулы, таблица значений и решение уравнений

Правило: синус, косинус, тангенс и основное тождество

Синус и косинус угла определяют по единичной окружности: синус — ордината точки, косинус — абсцисса. Угол при этом отсчитывают от положительного направления оси абсцисс. Тангенс равен отношению синуса к косинусу, поэтому он определён при условии cos α ≠ 0.

Основное тригонометрическое тождество связывает эти величины: sin²α + cos²α = 1. Оно верно для любого действительного угла при стандартном определении синуса и косинуса, а из него находят одну функцию по другой, когда известна четверть.

Углы измеряют в градусах и радианах: развёрнутый угол равен 180°, или π радиан. В записи общих решений уравнений обычно используют радианы. Темы экзамена собирает раздел ЕГЭ по математике, а состав работы разбирает материал «Структура ЕГЭ по математике 2027».

Простейшее уравнение sin x = a решают с проверки условия |a| ≤ 1: если модуль числа больше единицы, то при действительных x решений нет. Если |a| ≤ 1, корни записывают двумя сериями — x = arcsin a + 2πn и x = π − arcsin a + 2πn, где n целое. При a = ±1 эти серии совпадают.

Для cos x = a при |a| ≤ 1 общий ответ — x = ±arccos a + 2πn. При |a| > 1 корней нет. Для tg x = a общий ответ — x = arctg a + πn, где a — любое действительное число. В обеих формулах n — целое число.

Четыре шага: как найти остальные функции

1. 1Запиши тождествоОсновное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1. Оно верно для любого действительного угла α при стандартном определении синуса и косинуса.
2. 2Вырази квадратИз тождества находят квадрат неизвестной функции: sin²α = 1 − cos²α или cos²α = 1 − sin²α. Знак определяют отдельно, когда извлекают корень.
3. 3Определи четвертьПо условию задачи установи, в какой четверти лежит угол. От четверти зависит знак корня, когда синус или косинус находят по квадрату.
4. 4Посчитай тангенсtg α = sin α / cos α, если cos α не равен нулю. Дробное значение можно оставить обыкновенной дробью.

Порядок работы, когда известна одна функция:

1. Запиши тождество sin²α + cos²α = 1.
2. Вырази квадрат нужной функции: sin²α = 1 − cos²α или cos²α = 1 − sin²α. Знак корня определяют отдельно, после этого шага.
3. Определи четверть, в которой лежит угол: знак корня при нахождении синуса или косинуса по квадрату зависит от неё.
4. Вычисли tg α = sin α / cos α, если cos α не равен нулю.

Таблица значений и знаков

Первая таблица — значения синуса, косинуса и тангенса для основных углов.

Вторая таблица показывает знаки функций по четвертям.

Углы 0°, 90°, 180° и 270° лежат на осях, к четвертям их не относят. Значения в этих точках берут прямо из первой таблицы.

Примеры

Ниже пять разборов. В них сначала применяется правило, затем получается ответ.

Пример 1. Синус по известному косинусу

Задача. Известно, что cos α = 0,6, а угол α лежит в первой четверти. Найди sin α.

1. Основное тождество: sin²α + cos²α = 1.
2. Тогда sin²α = 1 − 0,6² = 1 − 0,36 = 0,64.
3. В первой четверти синус положителен, поэтому sin α = 0,8.

Ответ: sin α = 0,8.

Пример 2. Значение выражения по таблице

Задача. Вычисли 3 tg 45° − 2 cos 30°.

1. tg 45° = 1, поэтому 3 tg 45° = 3.
2. cos 30° = √3/2, поэтому 2 cos 30° = √3.
3. Остаётся вычитание: 3 − √3.

Ответ: 3 − √3.

Пример 3. Тангенс и двойной угол

Задача. Известно, что sin α = 0,6, cos α = 0,8. Найди tg α и sin 2α.

1. Тангенс: tg α = sin α / cos α = 0,6 / 0,8 = 0,75. Косинус не нулевой, значит, тангенс определён.
2. Формула двойного угла: sin 2α = 2 sin α cos α.
3. Подставляем: 2 · 0,6 · 0,8 = 0,96.

Проверка: значения согласуются с тождеством, так как 0,36 + 0,64 = 1.

Ответ: tg α = 0,75, sin 2α = 0,96.

Пример 4. Простейшее уравнение

Задача. Реши уравнение sin x = 1/2.

1. |1/2| ≤ 1, поэтому решения есть.
2. arcsin(1/2) = π/6, значит, первая серия: x = π/6 + 2πn.
3. Вторая серия: x = π − π/6 + 2πn = 5π/6 + 2πn.
4. Проверка: sin(π/6) = 1/2 и sin(5π/6) = 1/2.

Ответ: x = π/6 + 2πn, x = 5π/6 + 2πn, где n — целое число.

Отбор корней на отрезке

В проекте профильной демоверсии ФИПИ 2027 года задание 14 содержит уравнение и отбор корней. Разберём отбор для нашего уравнения sin x = 1/2. На отрезке [π; 3π] при n = 0 обе точки меньше π, при n = 1 получаем 13π/6 и 17π/6, а при n = 2 обе точки больше 3π. При остальных целых n корни также вне отрезка. Ответ: 13π/6 и 17π/6.

Трудные случаи

Уравнение без решений. Уравнение sin x = 2 при действительных x решить нельзя: модуль числа больше единицы, а синус принимает значения только от −1 до 1.

Тангенс там, где косинус равен нулю. При α = 90° косинус равен нулю, поэтому tg 90° не существует. В таблице для этого угла стоит «не определён».

Двойной угол. sin 2α = 2 sin α cos α, а не 2 sin α: при α = 30° получается sin 60° = √3/2, тогда как 2 sin 30° = 1.

Границы четвертей. Углы 0°, 90°, 180° и 270° лежат на осях. Знак функции в этих точках определяют по значению, а не по четверти.

Формулы приведения. Равенства sin(180° − α) = sin α и cos(90° − α) = sin α верны не только для острых углов; углы здесь заданы в градусах. Например, при α = 120° получаем sin 60° = sin 120°.

Уравнения, сводящиеся к квадратным. Если в уравнении встречаются только sin x и sin²x, замена t = sin x может привести к квадратному уравнению: это зависит от того, что получится после подстановки. Дальше найденные значения t сверяют с условием −1 ≤ t ≤ 1; шаги решения собраны в материале «Квадратное уравнение: дискриминант, формула корней и теорема Виета».

Проверь себя

Задание на 10 минут. Решай в тетради, а ответ вводи ниже.

Если тема не идёт

Выпиши таблицу значений и таблицу знаков от руки, по одной строке за раз. Затем вернись к примеру 1 и реши похожую задачу с другим числом, например cos α = 0,8. Когда проверка по тождеству сходится, переходи к простейшим уравнениям.

Разобрать эту тему с педагогом можно на занятиях по математике.