Вероятность на ЕГЭ по математике: формула и разбор задач

Правило: формула вероятности

Для опыта с конечным числом равновозможных исходов вероятность события считают по классической формуле: P = m / n. Здесь n — число всех исходов опыта, а m — число исходов, в которых событие произошло.

Формула работает, когда исходов конечное число, они равновозможны и образуют полный набор. Если шансы вариантов разные, делить m на n нельзя. В проекте демоверсии профильного ЕГЭ 2027 года задание 5 включает задачи с заданными вероятностями событий, а задание 6 — на математическое ожидание. В таких задачах могут пригодиться вероятность противоположного события, правило умножения и формула полной вероятности.

Дальше — четыре шага. Это методический совет: порядок действий одинаков для монеты, кубика и шаров в ящике. Состав экзаменационной работы разобран в материале «Структура ЕГЭ по математике 2027».

Четыре шага задачи на вероятность

1. 1Определи опытЗапиши, что происходит: бросают монету, вынимают шар из ящика.
2. 2Посчитай все исходыПеречисли равновозможные варианты — получишь число n.
3. 3Отметь подходящиеВыбери исходы, в которых событие наступило, — это число m.
4. 4Раздели m на nВычисли дробь и запиши ответ, при желании десятичной дробью.

1. Определи опыт. Запиши, что происходит: бросают монету, вынимают шар из ящика.
2. Посчитай все исходы. Перечисли равновозможные варианты — получишь число n.
3. Отметь подходящие. Выбери исходы, где событие наступило, — это число m.
4. Раздели m на n. Запиши дробь, а при желании переведи её в десятичную: «Десятичные дроби».

Особый случай — событие «хотя бы один раз». Его удобно считать через противоположное событие: P(A) = 1 − P(Ā). Из единицы вычитают вероятность того, что событие не наступило ни разу.

Таблица: сколько исходов у опыта

Порядок бросков учитывают: ОР и РО — разные исходы, поэтому при двух бросках монеты их четыре, а не три. Четыре исхода равновозможны, когда броски честной монеты независимы. Если опыт повторяют несколько раз подряд, числа исходов перемножают: 6 · 6 = 36 — столько упорядоченных пар дают два броска кубика.

Примеры

Ниже четыре задачи. В каждой сначала перечисляются исходы, а потом считается дробь.

Пример 1. Монета: орёл оба раза

Задача. Честную монету бросают дважды независимо. Найди вероятность того, что орёл выпадет оба раза.

1. Все исходы: ОО, ОР, РО, РР. Значит, n = 4.
2. Подходит один исход — ОО. Значит, m = 1.
3. P = 1 / 4 = 0,25.

Ответ: 0,25.

Пример 2. Кубик: чётное число очков

Задача. Честный игральный кубик с равновероятными гранями бросают один раз. Найди вероятность того, что выпадет чётное число очков.

1. Все исходы: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Значит, n = 6.
2. Подходят 2, 4 и 6. Значит, m = 3.
3. P = 3 / 6 = 0,5.

Ответ: 0,5.

Пример 3. Шары в ящике

Задача. В ящике 5 красных и 3 синих шара. Наугад вынимают один шар, причём каждый шар может быть выбран с одинаковой вероятностью. Найди вероятность того, что он окажется красным.

1. Всего шаров 5 + 3 = 8. Значит, n = 8.
2. Красных шаров 5. Значит, m = 5.
3. P = 5 / 8 = 0,625.

Ответ: 0,625.

Пример 4. Хотя бы один орёл

Задача. Честную монету бросают дважды независимо. Найди вероятность того, что орёл выпадет хотя бы один раз.

1. Противоположное событие — «орёл не выпадет ни разу».
2. Ему подходит один исход из четырёх: РР. Вероятность равна 1 / 4 = 0,25.
3. Вычитаем из единицы: 1 − 0,25 = 0,75.

Проверка перебором: подходят ОО, ОР и РО — три исхода из четырёх, то есть 3 / 4 = 0,75.

Ответ: 0,75.

Когда исходы неравновероятны

В № 5 проекта профильной демоверсии встречаются задачи, где вероятности даны в условии. Учебный пример: вероятность попадания при одном броске равна 0,8. При двух независимых бросках вероятность двух промахов равна (1 − 0,8)² = 0,04, а вероятность хотя бы одного попадания — 1 − 0,04 = 0,96. Без независимости перемножать эти вероятности нельзя.

От вероятности к математическому ожиданию

В № 6 проекта профильной демоверсии 2027 года требуется найти средний выигрыш по распределению выигрышей. Учебный пример: из 100 равновероятных билетов 2 дают по 100 рублей, 8 — по 10 рублей, остальные 90 — по нулю. Математическое ожидание выигрыша равно 100 · 2/100 + 10 · 8/100 + 0 · 90/100 = 2,8 рубля на билет. Это среднее по распределению, хотя отдельный билет не даёт 2,8 рубля.

Трудные случаи

Исходы не равновозможны. Если у вариантов разные шансы, классическая формула m / n не подходит. Иллюстративный пример: у кубика с утяжелённой гранью шансы шести чисел уже не одинаковы.

Событие из нескольких вариантов. Такое событие удобно считать перебором: у честного кубика «выпадет 1 или 2» — это 2 исхода из 6.

Общий исход у двух событий. Вероятности несовместимых событий складывают. Если события могут произойти одновременно, простым сложением их вероятности не найти: общий исход посчитается дважды. Для таких событий работает формула P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

Границы ответа. Вероятность лежит от 0 до 1 включительно. Ответ больше единицы сигналит об ошибке в подсчёте или записи — например, при перестановке m и n.

Базовые задачи с монетой и кубиком разобраны в материале «Вероятность 7 класс».

Проверь себя

Задание на 10 минут. Решай в тетради, а ответ вводи ниже.

Если тема не идёт

Возьми опыт, где исходов совсем мало: один бросок монеты или один бросок кубика. Выпиши все исходы в столбик — две строки или шесть, — а потом обведи те, в которых событие наступило. Это методический совет: когда строки перед глазами, m и n проще не путать.

Если нужна помощь с темой, посмотри, как проходят занятия с репетитором по математике.