Пропорция: основное свойство, как решить и примеры

Правило

Пропорция — это равенство двух отношений: a : b = c : d, где b ≠ 0 и d ≠ 0. Отношение a : b — это частное чисел a и b, где b не равно нулю.

Члены пропорции называют так:

• a и d — крайние члены, они стоят по краям записи;
• b и c — средние члены, они стоят в середине.

Основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних, a · d = b · c. На этом свойстве держится и решение пропорции, и её проверка.

Как найти неизвестный член пропорции:

1. Запиши пропорцию дробями: слева a над b, справа c над d.
2. Перемножь два члена, которые стоят рядом с неизвестным, — сверху или снизу и сбоку.
3. Раздели произведение на член, который стоит напротив неизвестного по диагонали. Делить можно, только если этот член не равен нулю.

Короче: неизвестный член равен произведению его соседей, делённому на противоположный член, не равный нулю. Для x : 4 = 15 : 6 соседи x — это 4 и 15, напротив стоит 6, поэтому x = 4 · 15 : 6 = 10. Если неизвестный член стоит в знаменателе, он тоже не может быть нулём.

Решаем пропорцию за три шага

1. 1Крайние и средниеВ пропорции x : 4 = 15 : 6 крайние члены — x и 6, средние — 4 и 15.
2. 2Основное свойствоПроизведение крайних равно произведению средних: 6x = 4 · 15 = 60.
3. 3ДелениеНайди x: 60 : 6 = 10. Значит, x = 10.

Прямо пропорциональные величины изменяются во столько же раз в одном направлении. В задачах вида «больше рабочих — меньше дней» при одном и том же объёме работы и одинаковой производительности рабочих связь обратная, поэтому пропорцию составляют иначе.

По федеральной программе пропорцию проходят в 6 классе. В перечне тем 6 класса названо: «Отношение. Деление в данном отношении. Масштаб, пропорция. Применение пропорций при решении задач». Среди видов деятельности указано: «Составлять отношения и пропорции».

Таблица или схема

В пропорции a : b = c : d члены расположены так:

Для текстовых задач подойдёт таблица «было — стало». Если величины прямо пропорциональны, одинаковые величины пишут в один столбец и пропорцию составляют по столбцам, сохраняя порядок «было — стало»:

Примеры

Неизвестный член: x : 4 = 15 : 6

1. Крайние члены — x и 6, средние — 4 и 15.
2. По основному свойству: 6 · x = 4 · 15, то есть 6x = 60.
3. Делим: x = 60 : 6 = 10.

x = 10.

Проверка: подставляем 10 вместо x. Крайние 10 · 6 = 60, средние 4 · 15 = 60. Произведения равны, ответ верный.

Проверка пропорции: 3 : 5 = 12 : 20

Нужно выяснить, верно ли это равенство.

1. Произведение крайних членов: 3 · 20 = 60.
2. Произведение средних членов: 5 · 12 = 60.
3. Сравниваем: 60 = 60.

Пропорция верна.

Если бы произведения вышли разными, это была бы уже не пропорция: отношения не равны.

Задача про тетради

6 одинаковых тетрадей стоят 90 ₽. Сколько стоят 10 таких же тетрадей?

Цена одной тетради не меняется, поэтому во сколько раз больше тетрадей, во столько же раз больше стоимость. Значит, величины прямо пропорциональны. Заполняем таблицу:

1. Составляем пропорцию по столбцам: 6 : 10 = 90 : x.
2. Соседи x — это 10 и 90, напротив стоит 6: x = 10 · 90 : 6 = 900 : 6 = 150.

10 тетрадей стоят 150 ₽.

Проверка через цену одной тетради: 90 : 6 = 15 ₽, а 15 · 10 = 150 ₽. Ответ больше 90 ₽, и это по смыслу: тетрадей стало больше.

Задача про муку

Для 4 порций по одному рецепту нужно 300 г муки. Сколько муки нужно для 6 таких же порций?

Рецепт один и порции одинаковые, поэтому масса муки прямо пропорциональна числу порций.

1. Пропорция по столбцам: 4 : 6 = 300 : x.
2. x = 6 · 300 : 4 = 1800 : 4 = 450.

Нужно 450 г муки.

Проверка основным свойством: 4 · 450 = 1800 и 6 · 300 = 1800. Произведения равны.

Исключения

Перевёрнутое отношение. Ловушка в задачах — записать слева «было к стало», а справа «стало к было». Тогда ответ выходит неверным, хотя деление выполнено без ошибок.

Поймать такую ошибку помогают два вопроса:

• одинаково ли расположены величины слева и справа — обе по столбцам таблицы или обе по строкам;
• согласуется ли ответ со смыслом — если тетрадей стало больше при прежней цене одной тетради, стоимость не может стать меньше 90 ₽.

Обратная зависимость. 5 рабочих делают работу за 12 дней. Сколько дней понадобится 10 рабочим на ту же работу с той же производительностью?

Здесь чем больше рабочих, тем меньше дней. Рабочих стало вдвое больше, значит, дней вдвое меньше: 5 · 12 : 10 = 6 дней. Пропорцией для прямо пропорциональных величин это не решается: она дала бы ответ больше 12 дней. При обратной связи одно отношение переворачивают: 5 : 10 = x : 12, откуда x = 6.

Стоит запомнить проверку: прежде чем составлять пропорцию по столбцам, спроси себя, растёт ли вторая величина вместе с первой.

Нули в отношении. Отношение a : b определено, только если b не равно нулю. Поэтому в пропорции a : b = c : d члены b и d не могут быть нулями.

Проверь себя

Решай в тетради, а ответ вводи ниже.

Пропорцию применяют и в задачах из материалов «Масштаб» и «Процент от числа».

Если тема не идёт

Можно начать с проверки, а не с решения. Возьми готовую пропорцию 3 : 5 = 12 : 20, перемножь крайние и средние члены и убедись, что получилось одно и то же число.

Потом стоит перейти к задачам и каждый раз рисовать таблицу «было — стало»:

1. Подпиши столбцы — какие это величины.
2. Впиши известные числа и x.
3. Проверь, что величины прямо пропорциональны: во сколько раз изменяется первая, во столько же раз изменяется вторая.
4. Если это так, составь пропорцию по столбцам и проверь ответ основным свойством.

Если мешает счёт с большими числами, полезно повторить делимость в материале «НОД и НОК». Остальные темы раздела — Математика.

Если нужна помощь с темой, посмотри, как проходят занятия с репетитором по математике.