- Правило
- 6–7 класс
Рациональные числа: что это, какие числа к ним относятся и как их сравнивать
Обновлено
Подготовлено редакцией «Ментор»Опубликовано Что изменилось: Уточнены классы программы и десятичные записиИсточников: 1
Коротко
Рациональные числа — это числа, которые можно записать в виде дроби, где числитель — целое число, а знаменатель — натуральное. Такая запись подходит для натуральных и целых чисел, для обыкновенных и конечных десятичных дробей, в том числе отрицательных. Сравнивают рациональные числа по общему знаменателю или по знаку и модулю.
Правило
Термин «рациональные числа» объединяет все числа, которые можно записать обыкновенной дробью. Условие такое: числитель этой дроби — целое число, а знаменатель — натуральное.
Со знаменателем 1 дробью записывается любое целое число: 6 = 6/1, −9 = −9/1, 0 = 0/1. Поэтому натуральные и целые числа тоже рациональные.
Обыкновенная дробь подходит, если её числитель целый, а знаменатель натуральный: 3/4 и −2/5 рациональные. Конечную десятичную дробь можно перевести в обыкновенную: 0,7 = 7/10.
Как проверить, рациональное ли число:
- Попробуй записать число обыкновенной дробью.
- Проверь числитель: он должен быть целым — например, 5, 0 или −7.
- Проверь знаменатель: он должен быть натуральным, например 1, 2, 3 или 4.
- Если обе части записи подходят, число рациональное.
Натуральные, целые и рациональные числа
- Натуральные числаЧисла, которые используют при счёте, например 1, 2, 3 и 4.
- Целые числаНатуральные числа, число нуль и числа со знаком минус: −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3.
- Рациональные числаЧисла, которые записываются дробью: числитель — целое число, знаменатель — натуральное.
- Как вложены множестваНатуральные числа входят в целые, а целые — в рациональные. Дробь 3/4 рациональная, но не целая.
- Как узнать рациональное числоЗапиши число дробью и проверь: числитель целый, знаменатель натуральный. Тогда число рациональное.
Натуральные числа входят в целые, а целые — в рациональные. Обратное неверно: 3/4 — рациональное число, но не целое и не натуральное.
Таблица или схема
Как одна и та же мысль выглядит для разных чисел:
| Число | Запись в виде дроби | Что это за число |
|---|---|---|
| 6 | 6/1 | натуральное, целое и рациональное |
| 0 | 0/1 | целое и рациональное |
| −9 | −9/1 | целое и рациональное |
| 3/4 | 3/4 | рациональное, но не целое |
| −2/5 | −2/5 | рациональное, но не целое |
| 0,7 | 7/10 | десятичная дробь, рациональное |
| −1,5 | −3/2 | отрицательное рациональное |
Приёмы сравнения рациональных чисел:
| Что сравниваем | Приём | Пример |
|---|---|---|
| Положительное и отрицательное | Положительное больше | 1/2 > −7 |
| Дроби с одинаковыми знаменателями | Сравнить числители | 5/8 > 3/8 |
| Дроби с разными знаменателями | Привести к общему знаменателю | 2/3 = 8/12, 3/4 = 9/12, значит 2/3 < 3/4 |
| Две отрицательные дроби | Больше та, у которой модуль меньше | −5/6 < −1/6, потому что 5/6 > 1/6 |
Общий знаменатель удобно искать через наименьшее общее кратное знаменателей. Если знаменатели положительны, их НОК даёт наименьший общий знаменатель, но общий знаменатель не обязан быть наименьшим. Об этом рассказывает материал «НОД и НОК».
Как сравнивать рациональные числа
- Посмотри на знакиЛюбое положительное число больше нуля и больше любого отрицательного. Нуль больше отрицательного числа.
- Приведи к общему знаменателюДля 2/3 и 3/4 общий знаменатель — 12: получаются 8/12 и 9/12.
- Сравни числителиПри одинаковых знаменателях больше та дробь, у которой числитель больше: 8/12 < 9/12.
- Разберись с отрицательнымиИз двух отрицательных чисел меньше то, у которого модуль больше: −5/6 < −1/6.
- Запиши ответПоставь знак между числами или запиши их по порядку от меньшего к большему.
Примеры
Целое число: −7
Записываем число дробью: −7 = −7/1. Числитель −7 — целое число. Знаменатель 1 — натуральное число.
Обе части записи подходят, поэтому число рациональное.
Ответ: −7 — рациональное число.
Десятичные дроби: 0,7 и −1,5
0,7 — это семь десятых: 0,7 = 7/10. Числитель 7 целый, знаменатель 10 натуральный. Как устроена такая запись, разбирает материал «Десятичные дроби».
У отрицательного числа порядок такой же: −1,5 = −3/2. Числитель −3 целый, знаменатель 2 натуральный.
Ответ: 0,7 и −1,5 — рациональные числа.
Дроби с разными знаменателями: 2/3 и 3/4
Общий знаменатель для 3 и 4 — это 12. Приводим дроби: 2/3 = 8/12, а 3/4 = 9/12.
Теперь знаменатели одинаковые, сравниваем числители: 8 меньше 9. Значит, первая дробь меньше. Подробнее об этом — в материале «Как сравнить дроби».
Ответ: 2/3 < 3/4.
Отрицательные дроби: −5/6 и −1/6
Знаменатели одинаковые, поэтому сравниваем числители: −5 меньше −1.
Правило модуля даёт тот же вывод: 5/6 больше 1/6, а из двух отрицательных чисел меньше то, у которого модуль больше.
Ответ: −5/6 < −1/6.
Трудные случаи
Отрицательное число может быть рациональным. Знак минус не мешает записи дробью: −9 = −9/1, а у дроби −2/5 числитель −2 целый, знаменатель 5 натуральный.
Неправильная дробь тоже рациональная. У числа 7/3 числитель 7 целый, знаменатель 3 натуральный, хотя дробь больше единицы.
Числитель может быть нулём. Запись 0/5 равна нулю, а само число 0 рациональное.
Конечную десятичную дробь можно перевести в обыкновенную. 0,25 = 25/100 = 1/4. После сокращения видно дробь с целым числителем и натуральным знаменателем.
Проверь себя
Можно начать с задания примерно на 10 минут. Решай в тетради, а ответ вводи ниже.
Реши, введи ответ и нажми «Проверить». Ответы никуда не отправляются и не сохраняются.
Реши в тетради. Ответы и объяснения — под кнопкой «Показать ответы».
Показать ответы
- 7/1. Любое целое число записывается дробью со знаменателем 1: 7 = 7/1. Числитель 7 целый, знаменатель 1 натуральный, поэтому число 7 рациональное.
- 7/10. 0,7 — это семь десятых, то есть 7/10. Числитель 7 целый, знаменатель 10 натуральный, значит число рациональное.
- Натуральные, целые числа и дроби, в том числе отрицательные. Рациональное число записывается дробью с целым числителем и натуральным знаменателем. Под это условие подходят натуральные и целые числа, обыкновенные и конечные десятичные дроби, а также некоторые отрицательные числа.
- Да: его можно записать дробью с целым числителем и натуральным знаменателем. У дроби −3/5 числитель −3 целый, знаменатель 5 натуральный. Знак минус не мешает такой записи, поэтому число рациональное.
- <. Общий знаменатель 12: 2/3 = 8/12, 3/4 = 9/12. Так как 8 < 9, получаем 2/3 < 3/4.
- −5/6. Знаменатели одинаковые, сравниваем числители: −5 < −1. Правило модуля даёт тот же ответ: 5/6 больше 1/6, а из двух отрицательных меньше то, у которого модуль больше.
Если тема не идёт
Если путаются названия множеств, попробуй нарисовать три вложенных круга. В маленьком — натуральные числа, в среднем — целые, в большом — рациональные.
Рядом подпиши по одному своему примеру для каждого круга: так видно, что каждое натуральное число попадает и в целые, и в рациональные. Другие темы школьного курса собраны в разделе «Математика».
О занятиях по этой и другим темам — на странице репетитора по математике.
Типичная ошибка
Нередко рациональными считают только дроби, а целые и натуральные числа из этого множества исключают. Поймать ошибку помогает проверка по определению: запиши число дробью и посмотри на числитель и знаменатель. Если числитель целый, а знаменатель натуральный, число рациональное: 8 = 8/1, −9 = −9/1. Отдельное сомнение вызывают отрицательные числа, но знак минус записи дроби не мешает.
Частые вопросы
Рациональные числа — это какие числа?
Рациональное число — это число, которое можно записать в виде обыкновенной дроби, где числитель — целое число, а знаменатель — натуральное. К рациональным относятся натуральные числа, нуль, целые отрицательные числа, обыкновенные и конечные десятичные дроби, в том числе отрицательные. Например, 6 = 6/1, −9 = −9/1, 0,7 = 7/10 и −3/2.
Что такое рациональные числа?
Так называют все числа, которые записываются дробью с целым числителем и натуральным знаменателем. Натуральные и целые числа тоже рациональные: их записывают со знаменателем 1, например 5 = 5/1. Конечную десятичную дробь можно перевести в обыкновенную: 0,25 = 25/100 = 1/4, поэтому 0,25 — рациональное число.
Как сравнивать рациональные числа?
Сначала смотрят на знаки: положительное число больше нуля и больше любого отрицательного. Затем дроби приводят к общему знаменателю и сравнивают числители: 2/3 = 8/12 и 3/4 = 9/12, поэтому 2/3 < 3/4. Из двух отрицательных чисел меньше то, у которого модуль больше: −5/6 < −1/6.
Отрицательные числа являются рациональными?
Да, отрицательные числа могут быть рациональными. Целое отрицательное число записывают дробью со знаменателем 1: −9 = −9/1. Отрицательная дробь тоже подходит, если числитель целый, а знаменатель натуральный: у числа −2/5 числитель −2, знаменатель 5. Рациональными бывают и отрицательные десятичные дроби: −1,5 = −3/2.
Потренируйся сам — бесплатно и без регистрации
На этой странице есть блок «Проверь себя». Реши задания сам, ничего никуда не отправляя, и сверься с ответами: так видно, что уже получается.
