Десятичные дроби: как читать, сравнивать, складывать и умножать

Правило

Десятичная дробь — запись обыкновенной дроби, которую можно представить со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее, через запятую. Такую запись называют конечной десятичной дробью.

Слева от запятой стоит целая часть, справа — дробная.

После запятой столько цифр, сколько нулей в знаменателе 10, 100, 1000 и так далее. Если цифр числителя не хватает, слева в дробной части добавляют нули: 7/10 = 0,7, 35/100 = 0,35, 35/1000 = 0,035.

Разряды после запятой называются десятые, сотые, тысячные: 3,142 = 3 + 1/10 + 4/100 + 2/1000.

Чтение. Сначала называют целую часть со словом «целых», потом число после запятой и название последнего разряда. Так 12,06 читают «двенадцать целых шесть сотых».

Сравнение. Ниже сравниваем неотрицательные дроби. Сначала сравнивают целые части. Если они равны, сравнивают поразрядно слева направо: десятые, потом сотые, потом тысячные. При разном числе знаков в конце дробной части дописывают нули, число от этого не меняется: 0,7 = 0,70 > 0,68.

Сложение и вычитание. Числа пишут столбиком так, чтобы запятая стояла под запятой, тогда десятые окажутся под десятыми, сотые под сотыми. Недостающие разряды справа в дробной части заполняют нулями, считают как с целыми числами, а запятую в ответе ставят под запятыми.

Умножение. Сначала перемножают только цифры конечных записей, как целые числа, без запятых. Затем в произведении отделяют справа столько цифр, сколько их после запятой в обоих множителях вместе. Если цифр не хватает, к целому произведению слева дописывают нули и только потом ставят запятую.

Умножение десятичных дробей: четыре шага

1. 1Убери запятыеУмножь числа как целые: для 0,6 × 0,05 считаем 6 × 5 = 30.
2. 2Сосчитай знакиСложи количество цифр после запятой в обоих множителях: 1 + 2 = 3.
3. 3Отдели знакиВ произведении отсчитай справа 3 цифры. Если цифр не хватает, допиши нули слева к целому произведению: 0,030.
4. 4Упрости записьНули в конце дробной части можно отбросить: 0,030 = 0,03.

Деление на десятичную дробь. Делитель должен быть ненулевым. Делимое и делитель умножают на одно и то же число 10, 100, 1000 и так далее, а степень десяти выбирают так, чтобы делитель стал целым. Например, 6,3 : 0,7 = 63 : 7 = 9.

Деление на целое число. Запятую в частном ставят, когда закончилось деление целой части. Если целая часть положительного делимого меньше делителя, в частном сначала пишут 0 и запятую: 4,8 : 6 = 0,8.

Перевод. Десятичную дробь записывают обыкновенной со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее: нулей столько, сколько знаков после запятой. При желании дробь сокращают: 0,125 = 125/1000 = 1/8. Обыкновенную дробь можно довести до такого знаменателя, если в знаменателе её сокращённой записи есть только простые множители 2 и 5: 3/4 = 75/100 = 0,75. Есть и второй способ: разделить числитель на знаменатель.

Таблица или схема

Примеры

Чтение: 0,035 и 12,06

После запятой в 0,035 три цифры, значит, последний разряд — тысячные. Число после запятой — 35, это 35/1000.

0,035 — «ноль целых тридцать пять тысячных»

В 12,06 целая часть 12, после запятой две цифры, последний разряд — сотые. Нуль стоит на месте десятых, поэтому получается шесть сотых.

12,06 — «двенадцать целых шесть сотых»

Сравнение: 0,5 и 0,35

1. Целые части равны: у обоих чисел 0.
2. Уравниваем число знаков: 0,5 = 0,50.
3. Сравниваем десятые: 5 больше 3.

0,5 > 0,35

Так же со второй парой: 0,7 = 0,70, а 70 сотых больше 68 сотых, поэтому 0,7 > 0,68.

Сложение и вычитание столбиком

3,4 + 0,65 = 4,05

Дописываем нуль и ставим запятую под запятой: 3,40 + 0,65. Сотые: 0 + 5 = 5. Десятые: 4 + 6 = 10, пишем 0 и переносим 1 в целые. Целые: 3 + 0 + 1 = 4.

5,2 − 1,87 = 3,33

Записываем 5,20 − 1,87. В сотых из 0 не вычесть 7, занимаем десятую: 10 − 7 = 3. В десятых осталась 1, занимаем единицу: 11 − 8 = 3. Целые: 4 − 1 = 3.

Умножение и перевод

0,6 × 0,05 = 0,03

Без запятых: 6 × 5 = 30. Знаков после запятой во множителях 1 + 2 = 3, а в числе 30 всего две цифры. Дописываем нуль слева к целому произведению: 0,030, лишний нуль в конце отбрасываем.

2,5 × 0,4 = 1

Без запятых: 25 × 4 = 100. Отделяем два знака: 1,00, а это просто 1.

3/4 = 0,75 и 0,125 = 1/8

Знаменатель 4 превращается в 100 умножением на 25: 3 · 25 = 75, получаем 75/100 = 0,75. В 0,125 три знака, поэтому 0,125 = 125/1000. Делим числитель и знаменатель на 125: 125 : 125 = 1, 1000 : 125 = 8.

Исключения

Нули в конце дробной части ничего не меняют. 2,50 = 2,5. Нуль, вставленный после запятой перед первой значащей цифрой, меняет число: 0,5 — пять десятых, 0,05 — пять сотых, это в десять раз меньше, 0,5 ≠ 0,05.

Целое число можно представить как десятичную дробь с нулевой дробной частью. Тогда при вычитании дроби из целого числа дописывают запятую и нули: 5 − 1,87 = 5,00 − 1,87 = 3,13.

При умножении цифр может не хватить. Тогда нули дописывают слева от произведения: 0,6 × 0,05 даёт 30, нужно три знака, получается 0,030 = 0,03.

Не каждую обыкновенную дробь можно записать конечной десятичной. У дроби 1/3 знаменатель 3, а из него никаким умножением на целое число не получить степень десяти. Деление 1 : 3 не заканчивается: 1/3 = 0,333… Запись с бесконечным числом цифр после запятой называют бесконечной десятичной дробью. Если цифры повторяются, как в 0,333…, дробь называют периодической. Конечной десятичной дробью записывается несократимая дробь, у знаменателя которой нет простых множителей, кроме 2 и 5: 3/4, 1/8, 7/20.

Проверь себя

Решай в тетради, а ответ вводи ниже.

Как сравнивать обыкновенные дроби, разобрано в материале «Как сравнить дроби». Проценты тоже записывают десятичными дробями: при переводе процентов в десятичную дробь 15 % = 15/100 = 0,15. Об этом подробнее в материале «Как найти процент от числа».

Если тема не идёт

Если трудно различать десятичные дроби, попробуй сначала прочитать их по разрядам вслух. Каждую дробь из задания произноси полностью, например «тридцать пять сотых», и записывай рядом обыкновенной: 0,35 = 35/100.

Читай дробь по разрядам: 0,5 — пять десятых, 0,05 — пять сотых. Остальные темы про дроби собраны в разделе «Дроби».

Для разбора этой темы есть репетитор по математике.