- Правило
- 8 класс
Углы ромба: свойства и как находить по шагам
Опубликовано
Подготовлено редакцией «Ментор»Источников: 1
Коротко
У ромба противоположные углы равны, а соседние в сумме дают 180°. Если один угол равен α, то напротив него тоже α, а два других — по 180° − α. Сумма всех четырёх углов 360°, диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам. Шаги решения зависят от того, что дано: угол, отношение углов или угол между диагональю и стороной.
Правило
Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Поэтому у ромба работают все свойства параллелограмма, и часть из них — про углы. Опираться удобно на уже знакомую фигуру: «Параллелограмм: свойства, признаки, периметр и площадь».
Свойства углов ромба
- Противоположные углы равны. Угол A равен углу C, угол B равен углу D.
- Соседние углы в сумме дают 180°. Угол A + угол B = 180°, угол B + угол C = 180°.
- Сумма всех четырёх углов равна 360°.
Откуда берётся второе свойство: в ромбе BC ∥ AD, а сторона AB для этих прямых — секущая. Углы A и B внутренние односторонние, поэтому их сумма 180°. Про такие пары углов есть материал «Углы параллелограмма, смежные и вертикальные углы».
Свойство диагоналей. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам. Если диагональ выходит из угла ромба, она разрезает этот угол на две равные части.
Как найти угол ромба:
- Определи по условию, что дано: один угол, отношение углов или угол между диагональю и стороной.
- Пойми, какой угол нужен: противоположный, соседний или весь угол, который разделила диагональ.
- Посчитай: противоположный равен данному, соседний — это 180° минус данный, угол после диагонали — удвоенная половина.
- Проверь результат: сумма четырёх углов должна равняться 360°.
Как найти угол ромба
- Что даноПосмотри, что стоит в условии: один угол, отношение углов или угол между диагональю и стороной.
- Противоположный уголОн равен данному: если угол A равен α, то угол C тоже α.
- Соседний уголВычти данный угол из 180°: соседние углы ромба в сумме дают 180°.
- Угол и диагональДиагональ делит угол ромба пополам, поэтому угол ромба в два раза больше угла между диагональю и стороной.
- ПроверкаСложи четыре угла: сумма должна равняться 360°.
Таблица или схема
| Что дано | Что находим | Как считать |
|---|---|---|
| Один угол α | Противоположный ему | Он равен α |
| Один угол α | Соседний с ним | 180° − α |
| Один угол α | Все четыре угла | Два угла по α, два по 180° − α |
| Угол между диагональю и стороной β | Угол ромба, из вершины которого выходит диагональ | 2 · β |
| Отношение углов m : n | Оба угла | m·x + n·x = 180°, найти x |
| Сумма двух противоположных углов | Каждый из них | Разделить сумму пополам |
| Один угол прямой | Остальные углы | Все по 90°, это квадрат |
В последней строке таблицы — особый случай: такой ромб называют квадратом.
Примеры
Один угол ромба 60°
В ромбе ABCD угол A равен 60°. Найди остальные углы.
- Угол C противоположен углу A, поэтому он тоже равен 60°.
- Углы B и D соседние с углом A: 180° − 60° = 120°.
- Проверка: 60° + 120° + 60° + 120° = 360°.
Ответ: угол C равен 60°, углы B и D — по 120°.
Соседний угол при данном 112°
Угол ромба равен 112°. Найди угол, соседний с ним, и угол, противоположный ему.
- Соседний угол: 180° − 112° = 68°.
- Противоположный угол равен данному: 112°.
- Проверка: 112° + 68° + 112° + 68° = 360°.
Ответ: соседний угол 68°, противоположный 112°.
Диагональ делит угол пополам
В ромбе ABCD диагональ BD образует со стороной AB угол 35°. Найди углы ромба.
- Диагональ BD выходит из вершины B и делит угол B пополам.
- Значит, угол B = 35° · 2 = 70°.
- Угол D противоположен углу B, поэтому он тоже 70°.
- Углы A и C соседние с углом B: 180° − 70° = 110°.
- Проверка: 70° + 110° + 70° + 110° = 360°.
Ответ: углы B и D по 70°, углы A и C по 110°.
Углы относятся как 2 : 7
Углы ромба относятся как 2 : 7. Найди все углы ромба.
- Соседние углы ромба в сумме дают 180°, а относятся они как 2 : 7.
- Обозначим углы 2x и 7x: 2x + 7x = 180.
- 9x = 180, значит x = 20.
- Углы: 2 · 20 = 40° и 7 · 20 = 140°.
- Проверка: 40° + 140° = 180°, а сумма всех углов 40° + 140° + 40° + 140° = 360°.
Ответ: два угла по 40° и два по 140°.
Исключения
Квадрат — тоже ромб. Если у ромба один угол прямой, то соседний с ним тоже прямой: 180° − 90° = 90°. Тогда и все четыре угла равны 90°, а такой ромб называют квадратом.
Соседние углы равны только у квадрата. У остальных ромбов два угла острые, а два тупые: например, 40° и 140°.
Диагонали перпендикулярны не у всякого параллелограмма. Взаимная перпендикулярность диагоналей и деление углов пополам — свойства ромба. У произвольного параллелограмма их может не быть.
Перпендикулярные диагонали не делают углы ромба прямыми. Диагонали ромба пересекаются под углом 90°, но сами углы ромба при этом бывают, например, 60° и 120°. Прямыми они становятся только у квадрата.
Проверь себя
Задание на 10 минут. Решай в тетради, а ответ вводи ниже.
Реши, введи ответ и нажми «Проверить». Ответы никуда не отправляются и не сохраняются.
Реши в тетради. Ответы и объяснения — под кнопкой «Показать ответы».
Показать ответы
- 110. Соседние углы ромба в сумме дают 180°, поэтому 180 − 70 = 110. Противоположный углу 70° угол тоже равен 70°, но в вопросе нужен соседний.
- Они равны. В ромбе, как и в любом параллелограмме, противоположные углы равны: угол A равен углу C, угол B равен углу D. Сумму 180° дают соседние углы.
- 50. Диагональ ромба делит его угол пополам. Половина равна 25°, значит весь угол 25 · 2 = 50°.
- 30. Соседние углы в сумме дают 180°. Обозначим их x и 5x: x + 5x = 180, 6x = 180, x = 30. Меньший угол 30°, второй 150°.
- 360°. Ромб — четырёхугольник, а сумма углов четырёхугольника равна 360°. Проверка: два угла по α и два по 180° − α дают α + α + (180° − α) + (180° − α) = 360°.
- 90. Если угол ромба равен 90°, то соседний с ним тоже 90°: 180 − 90 = 90. Противоположные углы равны, поэтому все четыре угла прямые, а такой ромб — квадрат.
Если тема не идёт
Начни с рисунка: начерти ромб и подпиши один угол α, а соседний с ним — 180° − α. На рисунке видно, почему соседние углы всегда дают в сумме 180°: это внутренние односторонние углы при параллельных сторонах. Когда подписи готовы, подставляй в них числа из условия. Перейти в раздел «Геометрия».
О занятиях по этой и другим темам — на странице репетитора по математике.
Типичная ошибка
Возможная ошибка — найти не тот угол: берут соседний угол, хотя спрашивают про противоположный, или наоборот. Сначала отметь на рисунке искомый угол; сумму 360° используй для проверки вычислений. Другая ловушка — забыть, что диагональ делит угол ромба пополам, и тогда из угла 35° получают угол ромба 35° вместо 70°. Перед ответом выпиши, какой именно угол нужно найти.
Частые вопросы
Какие углы ромба равны?
Противоположные: угол A равен углу C, угол B равен углу D. Так же устроен любой параллелограмм. Соседние углы равны только у квадрата, где каждый угол прямой.
Чему равна сумма соседних углов ромба?
180°. Соседние углы прилежат к одной стороне, а в ромбе противоположные стороны параллельны, поэтому такие углы внутренние односторонние. Если один угол 112°, соседний с ним равен 180° − 112° = 68°.
Как диагонали ромба связаны с его углами?
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам. Если диагональ образует со стороной угол 35°, то угол ромба, из вершины которого она выходит, равен 35° · 2 = 70°.
Как найти угол ромба, если известен один угол?
Противоположный угол равен данному, соседний — это 180° минус данный. Если один угол ромба 60°, то напротив него тоже 60°, а два других по 180° − 60° = 120°. Проверка: 60° + 120° + 60° + 120° = 360°.
Потренируйся сам — бесплатно и без регистрации
На этой странице есть блок «Проверь себя». Реши задания сам, ничего никуда не отправляя, и сверься с ответами: так видно, что уже получается.
