- Правило
- 7–8 класс
Углы параллелограмма, смежные и вертикальные углы: свойства и примеры
Обновлено
Подготовлено редакцией «Ментор»Опубликовано Что изменилось: Уточнено свойство противоположных углов.Источников: 1
Коротко
Противоположные углы параллелограмма равны, а соседние вместе дают 180°. Смежные углы тоже дают 180°, а вертикальные равны. Зная один угол параллелограмма, можно найти остальные три.
Правило
Сначала два простых факта об углах, которые образуют две пересекающиеся прямые.
- Смежные углы лежат рядом: у них общая сторона, а две другие стороны вместе образуют прямую. Сумма смежных углов равна 180°.
- Вертикальные углы лежат напротив друг друга. Вертикальные углы равны.
Эти факты переходят в параллелограмм. Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Его углы подчиняются двум правилам:
- Противоположные углы равны: ∠A = ∠C и ∠B = ∠D.
- Соседние углы дают 180°: ∠A + ∠B = 180°, потому что стороны AD и BC параллельны, а AB их пересекает.
Сумма всех четырёх углов равна 360°. Диагональ делит параллелограмм на два треугольника, а в каждом треугольнике сумма углов равна 180°.
Таблица или схема
Зная один угол α параллелограмма, найдёшь остальные три:
| Какой угол нужен | Как связан с α | Чему равен |
|---|---|---|
| Противоположный | Равен | α |
| Соседний (с любой стороны) | Вместе с α дают 180° | 180° − α |
| Все четыре | Два по α и два по 180° − α | Сумма 360° |
Для смежных углов проще: один угол α, смежный с ним равен 180° − α. Для вертикальных: угол α, вертикальный ему тоже α.
Примеры
Смежные углы: один угол 65°
180° − 65° = 115°
Смежные углы вместе образуют развёрнутый угол, а он равен 180°.
Вертикальные углы: при пересечении двух прямых один угол 48°
Вертикальный угол 48°, два смежных по 180° − 48° = 132°
Напротив угла 48° лежит такой же угол. Два других угла смежные с ним, поэтому каждый равен 132°. Проверка: 48 + 132 + 48 + 132 = 360.
Параллелограмм, ∠A = 70°
∠C = 70°, ∠B = ∠D = 180° − 70° = 110°
Противоположный угол равен 70°, соседние дают 180° с углом A. Проверка: 70 + 110 + 70 + 110 = 360.
Сумма двух углов параллелограмма 100°
Это противоположные углы по 50°, а два других по 180° − 50° = 130°
Два соседних угла дают 180°, а не 100°, поэтому 100° — сумма двух равных противоположных углов. Каждый равен 50°.
Один угол параллелограмма втрое больше соседнего
x + 3x = 180°, 4x = 180°, x = 45°, углы 45°, 135°, 45°, 135°
Обозначили меньший угол x, больший 3x. Соседние дают 180°, отсюда и уравнение.
Исключения
Только параллелограмм. У параллелограмма равны обе пары противоположных углов. У произвольного четырёхугольника такого свойства может не быть. Сумма 360° верна для любого выпуклого четырёхугольника.
Прямой угол. Если один угол параллелограмма прямой, то и все остальные прямые: 180° − 90° = 90°. Такой параллелограмм — прямоугольник.
Не любые углы в сумме 180° смежные. Смежные углы обязательно имеют общую сторону, а их другие стороны образуют прямую. Два угла в сумме 180° без общей стороны смежными не называют.
Проверь себя
Реши задачи в тетради, к каждой сделай чертёж. Ответы ниже.
- Найди угол, смежный с углом 37°.
- Две прямые пересеклись, один из углов равен 112°. Найди остальные три угла.
- В параллелограмме ABCD угол A равен 84°. Найди углы B, C и D.
- В параллелограмме один угол в 4 раза меньше соседнего. Найди все углы.
- Три угла параллелограмма в сумме дают 290°. Найди все его углы.
Ответы:
- 180° − 37° = 143°.
- Вертикальный угол 112°, два других по 180° − 112° = 68°.
- ∠B = 180° − 84° = 96°, ∠C = 84°, ∠D = 96°.
- x + 4x = 180°, x = 36°. Углы 36°, 144°, 36°, 144°.
- Сумма всех углов 360°, поэтому четвёртый угол 360° − 290° = 70°. Углы 70°, 110°, 70°, 110°.
Связанная тема — углы треугольника.
Если тема не идёт
Чаще всего путают соседние и противоположные углы. Попросите ребёнка обводить углы разными цветами: равные одним цветом, дающие в сумме 180° другим. Если чертёж не получается, начните с задач на смежные углы. Другие темы — в разделе «Геометрия».
Разобрать эту тему с педагогом можно на занятиях по математике.
Типичная ошибка
Противоположные углы параллелограмма путают с соседними и пишут: угол A плюс угол C равно 180°. На самом деле равны углы A и C, а 180° дают углы A и B. Проверка: если угол A острый, то противоположный ему угол C тоже острый. Два острых угла в сумме не дадут 180°.
Частые вопросы
Чему равны углы параллелограмма?
Противоположные углы равны, а два соседних угла вместе дают 180°. Если один угол параллелограмма равен 70°, то противоположный ему тоже 70°, а два других по 110°. Сумма всех четырёх углов равна 360°.
Что такое смежные и вертикальные углы?
Смежные углы имеют общую сторону, а две другие стороны образуют прямую линию, поэтому их сумма равна 180°. Вертикальные углы получаются при пересечении двух прямых, лежат напротив друг друга и всегда равны.
Почему соседние углы параллелограмма дают 180°?
Противоположные стороны параллелограмма параллельны. Две параллельные прямые и секущая образуют односторонние углы, и вместе они всегда дают 180°. Соседние углы параллелограмма — как раз такая пара.
Чему равна сумма углов параллелограмма?
360°. Диагональ делит параллелограмм на два треугольника, в каждом сумма углов равна 180°, вместе получается 360°. Эта сумма верна и для любого другого выпуклого четырёхугольника.
Потренируйся сам — бесплатно и без регистрации
На этой странице есть блок «Проверь себя». Реши задания сам, ничего никуда не отправляя, и сверься с ответами: так видно, что уже получается.
