Параллелограмм: свойства, признаки, периметр и площадь

Правило

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Здесь он обозначен ABCD: стороны AB и CD параллельны, BC и AD тоже.

Свойства параллелограмма:

1. Противоположные стороны равны: AB = CD, BC = AD.
2. Противоположные углы равны.
3. Диагонали точкой пересечения делятся пополам: AO = OC, BO = OD.
4. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.

На чертеже высота h проведена пунктиром из вершины D к стороне AB длины a, а диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую противоположную сторону. Её основание может лежать и на продолжении стороны. Соседняя сторона равна высоте только у прямоугольника: в остальных случаях она не перпендикулярна стороне a.

Периметр. Противоположные стороны равны, поэтому P = 2(a + b), где a и b — соседние стороны.

Площадь. S = a · h, где h — высота, проведённая к стороне a. Соседнюю сторону вместо высоты брать нельзя: среди параллелограммов произведение a · b даёт площадь только у прямоугольника.

Единицы измерения. Периметр — это длина границы, её измеряют в единицах длины (например, в сантиметрах). Площадь показывает, сколько места на плоскости занимает фигура. Её измеряют в квадратных единицах (например, в см²). Записи 60 см и 60 см² говорят о разных величинах, поэтому периметр и площадь друг с другом не сравнивают.

Углы. Противоположные углы параллелограмма равны, а соседние в сумме дают 180°. Подробно про углы — в материале «Углы параллелограмма».

Признаки параллелограмма. Четырёхугольник — параллелограмм, если выполняется хотя бы одно условие:

• (а) две противоположные стороны равны и параллельны;
• (б) противоположные стороны попарно равны;
• (в) диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Признаки нужны, чтобы доказать, что фигура — параллелограмм. Свойства нужны, когда это уже известно и надо найти стороны, диагонали или площадь.

По федеральной программе параллелограмм, его признаки и свойства проходят в 8 классе. Там же изучают частные случаи: прямоугольник, ромб и квадрат.

Таблица или схема

Прямоугольник — параллелограмм с прямым углом. Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны. Квадрат — прямоугольник с равными сторонами, он же ромб с прямым углом. Всё, что верно для параллелограмма, верно и для них.

Примеры

Периметр 36, одна сторона на 4 больше

Периметр параллелограмма 36 см, одна сторона на 4 см больше другой. Найди стороны.

1. P = 2(a + b), значит, a + b = 36 : 2 = 18.
2. Меньшая сторона b, бо́льшая b + 4. Тогда b + b + 4 = 18, 2b = 14, b = 7.
3. Бо́льшая сторона: 7 + 4 = 11.

Стороны 11 см и 7 см.

Проверка: 2 · (11 + 7) = 36, а 11 − 7 = 4.

Площадь: сторона 10, высота 6, боковая сторона 8

Сторона AB = 10 см, высота к ней h = 6 см, сторона AD = 8 см. Найди площадь.

1. Берём сторону и высоту, проведённую именно к ней: a = 10, h = 6.
2. S = a · h = 10 · 6 = 60.

Площадь 60 см².

Сторона 8 в этой задаче не нужна. Проверка: 60 : 10 = 6 — получилась высота к стороне 10, значит, множители выбраны верно.

Диагонали 14 и 10

Диагонали параллелограмма ABCD равны AC = 14 см и BD = 10 см и пересекаются в точке O. Найди AO и BO.

1. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
2. AO и OC — половины диагонали AC: AO = OC = 14 : 2 = 7.
3. BO и OD — половины диагонали BD: BO = OD = 10 : 2 = 5.

AO = OC = 7 см, BO = OD = 5 см.

Проверка: AO + OC = 7 + 7 = 14 = AC, BO + OD = 5 + 5 = 10 = BD.

Ромб: диагонали 6 и 8

Диагонали ромба равны 6 см и 8 см. Найди сторону и площадь.

1. Диагонали делятся пополам: половины 6 : 2 = 3 и 8 : 2 = 4.
2. Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому половины диагоналей и сторона образуют прямоугольный треугольник. Сторона: √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
3. Площадь: S = d₁ · d₂ : 2 = 6 · 8 : 2 = 24.

Сторона 5 см, площадь 24 см².

Проверка: диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника с катетами 3 и 4. Их площадь: 4 · (3 · 4 : 2) = 4 · 6 = 24.

Исключения

S = a · b — только для прямоугольника. У параллелограмма со сторонами 10 и 8 и высотой 6 площадь 60, а не 10 · 8 = 80. Произведение соседних сторон совпадает с площадью параллелограмма, только когда угол между ними прямой.

Диагонали в общем случае не равны. Среди параллелограммов равные диагонали — признак прямоугольника. Перпендикулярные диагонали — признак ромба. У любого параллелограмма диагонали точкой пересечения делятся пополам; равенство и перпендикулярность диагоналей в общем случае не гарантированы.

Формула S = d₁ · d₂ : 2 — не только для ромба. Она подходит ромбу, квадрату и другим четырёхугольникам с перпендикулярными диагоналями. Для параллелограмма без равных сторон по-прежнему стоит считать S = a · h.

Квадрат — и ромб, и прямоугольник. Поэтому у квадрата диагонали одновременно равны и перпендикулярны. Площадь квадрата можно найти и как a · a, и через диагонали.

Признак (а) — про одну пару сторон. Нужно, чтобы одни и те же две противоположные стороны были сразу и равны, и параллельны. Если одна пара сторон параллельна, а другая равна, по этому признаку вывод сделать нельзя.

Периметр и площадь — разные величины. Совпасть могут только их числа, и то случайно. У прямоугольника 3 на 6 периметр 2 · (3 + 6) = 18 и площадь 3 · 6 = 18. Сравнивать 18 см и 18 см² как одну величину нельзя.

Проверь себя

Решай с чертежом в тетради, а ответ вводи ниже.

Ещё один четырёхугольник с парой параллельных сторон разобран в материале «Трапеция».

Если тема не идёт

Можно начинать каждую задачу с чертежа: подпиши вершины A, B, C, D и отметь, что дано — стороны, высоту или диагонали. Стоит проверить, к какой стороне проведена высота, и только потом умножать. Площадь прямоугольника и квадрата разобрана в материале «Площадь прямоугольника и квадрата», остальные темы — в разделе Геометрия.

О занятиях по этой и другим темам — на странице репетитора по математике.