- Правило
- 8–9 класс
Синус, косинус и тангенс: что это, как различать и таблица значений
Обновлено
Подготовлено редакцией «Ментор»Опубликовано Что изменилось: Уточнены классы и способ проверки выбора катета.Источников: 1
Коротко
Синус острого угла прямоугольного треугольника — отношение противолежащего катета к гипотенузе. Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе, тангенс — противолежащего к прилежащему. Определения работают для острого угла прямоугольного треугольника. Значения для 30°, 45° и 60° берут из таблицы.
Правило
Все три отношения связывают стороны прямоугольного треугольника с его острым углом. Чтобы не запутаться, выбери сначала угол, для которого считаешь.
Пусть A — острый угол прямоугольного треугольника, a — катет, противолежащий этому углу, b — прилежащий катет, c — гипотенуза. Тогда:
- sin A = a/c — синус: противолежащий катет к гипотенузе;
- cos A = b/c — косинус: прилежащий катет к гипотенузе;
- tg A = a/b — тангенс: противолежащий катет к прилежащему.
Противолежащий катет лежит напротив выбранного угла. Прилежащий — катет, у которого с выбранным углом есть общая вершина; гипотенуза прилежащим катетом не считается. Сама гипотенуза всегда лежит против прямого угла.
Порядок действий:
- Отметь угол, для которого ищешь значение. В рамках определений через стороны прямоугольного треугольника он острый, то есть меньше 90°.
- Подпиши стороны: гипотенузу — против прямого угла, противолежащий катет — против выбранного угла, оставшийся катет — прилежащий.
- Выбери отношение: синус и косинус делят катет на гипотенузу, тангенс — катет на катет.
- Подставь длины и посчитай.
Как различить синус, косинус и тангенс
- Выбери уголСчитаем для острого угла прямоугольного треугольника. Отметь его на чертеже дугой.
- Найди противолежащий катетОн лежит напротив выбранного угла и вершины этого угла не касается.
- Найди прилежащий катетОн выходит из вершины угла. Гипотенуза тоже выходит из неё, но катетом не является.
- Собери отношениеСинус — противолежащий к гипотенузе, косинус — прилежащий к гипотенузе, тангенс — противолежащий к прилежащему.
Для углов 30°, 45° и 60° значения берут готовыми из таблицы. Тангенс 90° не определён: cos 90° равен 0, а деление на ноль невозможно, поэтому в таблице на этом месте стоит прочерк.
Синус угла нужен и за пределами прямоугольного треугольника. В теореме синусов стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
Таблица или схема
Какие стороны входят в отношение
| Что ищем | Стороны отношения | Запись для угла A |
|---|---|---|
| Синус | противолежащий катет и гипотенуза | sin A = a/c |
| Косинус | прилежащий катет и гипотенуза | cos A = b/c |
| Тангенс | противолежащий и прилежащий катеты | tg A = a/b |
Значения для основных углов
| Угол | Синус | Косинус | Тангенс |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 1/2 | √3/2 | √3/3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | 1 | 0 | — |
У углов 30° и 60° значения синуса и косинуса меняются местами. У 45° синус и косинус совпадают: катеты такого треугольника равны, и отношения получаются равными. Строки 0° и 90° относятся к общему определению тригонометрических функций, а не к отношению катетов.
Как найти значение по таблице
- Определи уголВ задаче угол обычно задан числом: 30°, 45°, 60° или другой из таблицы.
- Найди строкуВ первом столбце найди строку с нужным углом.
- Выбери столбецСтолбцы подписаны: синус, косинус, тангенс. На пересечении строки и столбца стоит значение.
Примеры
Синус, косинус и тангенс для катетов 3 и 4
Прямоугольный треугольник: катеты 3 и 4, гипотенуза 5. Найди синус, косинус и тангенс угла, который лежит против катета 3.
- Против угла лежит катет 3 — он противолежащий. Прилежащий катет равен 4, гипотенуза равна 5.
- sin A = 3/5 = 0,6.
- cos A = 4/5 = 0,8.
- tg A = 3/4 = 0,75.
Ответ: sin A = 0,6, cos A = 0,8, tg A = 0,75.
Проверка для острого угла: синус и косинус меньше единицы. Тангенс получился из отношения двух катетов, и меньше единицы он быть не обязан.
Катет по гипотенузе и синусу угла
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10, а синус острого угла равен 0,5. Найди катет, противолежащий этому углу.
- Из определения sin A = a/c выражаем катет: a = c · sin A.
- a = 10 · 0,5 = 5.
Катет равен 5.
Проверка: 5 : 10 = 0,5, то есть синус снова равен 0,5.
Два острых угла: синус и косинус меняются местами
Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8, гипотенуза равна 10. Сравни синус и косинус двух острых углов.
- Гипотенуза находится по теореме Пифагора: 36 + 64 = 100, значит, она равна 10.
- Для угла A, против которого лежит катет 6: sin A = 6/10 = 0,6, cos A = 8/10 = 0,8.
- Для угла B, против которого лежит катет 8: sin B = 8/10 = 0,8, cos B = 6/10 = 0,6.
Ответ: sin A = cos B = 0,6, а cos A = sin B = 0,8.
Проверка: в этом примере катеты разные, поэтому синус и косинус одного угла различаются. При равных катетах значения совпадают.
Значения для 45°
В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны 1 и 1. Найди синус, косинус и тангенс острого угла.
- На прямой угол приходится 90°, поэтому на два равных острых угла остаётся 90°: каждый равен 45°. Так работает сумма углов треугольника.
- Гипотенуза: 1² + 1² = 2, значит, c = √2.
- sin 45° = 1/√2 = √2/2, cos 45° = 1/√2 = √2/2, tg 45° = 1/1 = 1.
Ответ: sin 45° = √2/2, cos 45° = √2/2, tg 45° = 1.
Проверка: значения совпадают с таблицей, а тангенс равен единице, потому что катеты одинаковые.
Исключения
Определение дано для острого угла прямоугольного треугольника. Для углов, которые не являются острыми углами прямоугольного треугольника, синус и косинус задаются общим определением, например через единичную окружность; отношение катета к гипотенузе здесь не применяется.
В произвольном треугольнике работает теорема синусов. Там синус связывает сторону и противолежащий угол: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
Угол 90°. Синус 90° равен 1, а косинус равен 0 — это значения общего определения тригонометрических функций. Тангенса 90° не существует: tg A = sin A / cos A, а cos 90° = 0, и делить на ноль нельзя.
Синус и косинус одного угла нельзя менять местами автоматически. Для одного и того же угла это разные отношения: для угла с противолежащим катетом 6 и прилежащим 8 синус равен 0,6, а косинус 0,8. Исключение по числовому значению одно — угол 45°, где sin 45° = cos 45° = √2/2.
Синус и косинус острого угла меньше 1. Речь об угле, для которого 0° < A < 90°. В знаменателе стоит гипотенуза, а она длиннее любого катета.
Проверь себя
Решай в тетради, а ответ вводи ниже.
Реши, введи ответ и нажми «Проверить». Ответы никуда не отправляются и не сохраняются.
Реши в тетради. Ответы и объяснения — под кнопкой «Показать ответы».
Показать ответы
- 0,6 или 0.6. Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе: 3 : 5 = 0,6. Значение меньше единицы, как и должно быть для острого угла, но это условие само по себе не доказывает, что стороны выбраны верно.
- 1/2. По таблице cos 60° = 1/2. У углов 30° и 60° значения синуса и косинуса меняются местами: sin 60° = √3/2, а cos 60° = 1/2.
- 3/4. Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему: 6/8 = 3/4. Гипотенуза в этом отношении не участвует, поэтому 3/5 и 4/5 — значения синуса и косинуса.
- 5. Из определения sin A = a/c получаем a = c · sin A. Подставляем: 10 · 0,5 = 5. Проверка: 5 : 10 = 0,5, синус сходится.
- 0,6 или 0.6. Гипотенуза равна 10, потому что 36 + 64 = 100. Против угла лежит катет 8, значит, прилежащий катет равен 6, и cos = 6 : 10 = 0,6. Синус этого же угла был бы 0,8.
- sin A = 1/2. По таблице sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, tg 30° = √3/3. Значит, верно только первое равенство.
Если тема не идёт
Помогает привычка: на каждом чертеже подписывай стороны словами «противолежащий», «прилежащий», «гипотенуза». Тогда при выборе отношения смотреть нужно только на подпись. Остальные темы раздела — Геометрия.
Разобрать эту тему с педагогом можно на занятиях по математике.
Типичная ошибка
Частая ошибка — брать для синуса прилежащий катет, а для косинуса противолежащий: отношения легко меняются местами. Синус и косинус острого угла меньше единицы. Такая проверка помогает заметить перестановку катета и гипотенузы, но не перепутанные катеты: оба катета короче гипотенузы. Если при положительных длинах сторон в ответе для синуса острого угла получилась дробь больше единицы, катет и гипотенуза перепутаны. Перед подстановкой чисел подпиши на чертеже, какой катет противолежащий, а какой прилежащий.
Частые вопросы
Что такое синус?
Синус острого угла прямоугольного треугольника — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Для угла A, против которого лежит катет a при гипотенузе c, получается sin A = a/c. Если противолежащий катет равен 3, а гипотенуза 5, то sin A = 3/5 = 0,6. Значение синуса острого угла меньше единицы, потому что катет короче гипотенузы.
Чему равен синус?
Значение синуса зависит от угла, и для основных углов его берут из таблицы: sin 30° = 1/2, sin 45° = √2/2, sin 60° = √3/2. Значения sin 0° = 0 и sin 90° = 1 относятся к общему определению тригонометрических функций: эти углы не являются острыми, поэтому определение через катет и гипотенузу к ним не применяют. В задаче с прямоугольным треугольником синус острого угла находят делением: противолежащий катет делят на гипотенузу, например 6 : 10 = 0,6.
Чему равны синус и косинус 30°, 45° и 60°?
Для 30°: sin = 1/2, cos = √3/2. Для 45°: sin = √2/2, cos = √2/2 — значения совпадают. Для 60°: sin = √3/2, cos = 1/2. У углов 30° и 60° значения синуса и косинуса меняются местами, а тангенс равен √3/3 для 30°, 1 для 45° и √3 для 60°.
Чем синус отличается от косинуса?
Оба отношения делят катет на гипотенузу, но катеты берут разные: у синуса противолежащий, у косинуса прилежащий. В треугольнике с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5 для угла против катета 3 получается sin A = 3/5 = 0,6, а cos A = 4/5 = 0,8. Для двух острых углов этого треугольника, которые вместе дают 90°, значения синуса и косинуса меняются местами.
Что такое тангенс угла?
Тангенс острого угла — отношение противолежащего катета к прилежащему. Гипотенуза в это отношение не входит. Если противолежащий катет равен 6, а прилежащий 8, то tg A = 6/8 = 0,75. По таблице tg 30° = √3/3, tg 45° = 1, tg 60° = √3. Тангенса 90° не существует: cos 90° равен 0, а деление на ноль невозможно.
Потренируйся сам — бесплатно и без регистрации
На этой странице есть блок «Проверь себя». Реши задания сам, ничего никуда не отправляя, и сверься с ответами: так видно, что уже получается.
