- Правило
- 7 класс
Углы треугольника: сумма углов, внешний угол и как найти неизвестный угол
Обновлено
Подготовлено редакцией «Ментор»Опубликовано Что изменилось: Уточнена привязка темы к программе 7 класса.Источников: 1
Коротко
Сумма углов любого треугольника равна 180°. Если известны два угла, третий равен 180° минус их сумма. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Правило
Сумма углов треугольника равна 180°. Это верно для любого треугольника, как бы он ни выглядел.
Идею легко увидеть на рисунке. Если приложить три угла треугольника друг к другу, они заполнят прямую линию, то есть развёрнутый угол в 180°.
Рисунок показывает идею, а строгое доказательство в учебнике геометрии опирается на свойства параллельных прямых.
Из этого правила следует всё остальное:
- Зная два угла, находим третий: 180° − (первый + второй).
- В прямоугольном треугольнике один угол 90°, поэтому два острых угла вместе дают 90°.
- В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
- В равностороннем треугольнике все три угла равны, каждый по 60°.
Как читают запись. Треугольник называют по трём его вершинам: A, B и C. Угол при вершине A обозначают ∠A или ∠BAC, где вершина стоит в середине записи.
Угол B — это угол между сторонами BA и BC. Запись «в треугольнике ABC угол A равен 58°» значит, что угол при вершине A равен 58°.
Острый угол — это угол меньше 90°. Ровно 90° — прямой угол, больше 90° — тупой. В любом треугольнике не меньше двух острых углов: два прямых или тупых угла дали бы в сумме 180° и больше, а третьего угла не осталось бы.
Есть и второе правило. Внешний угол получается, если продолжить одну из сторон: он лежит между продолжением и соседней стороной. Он равен сумме двух внутренних углов, с которыми не граничит.
Таблица или схема
| Треугольник | Что известно об углах | Как найти неизвестный угол |
|---|---|---|
| Любой | Сумма трёх углов 180° | 180° минус два известных угла |
| Прямоугольный | Один угол 90° | Острый угол = 90° минус другой острый угол |
| Равнобедренный | Два угла при основании равны | Угол при вершине = 180° − 2 · угол при основании |
| Равносторонний | Все три угла равны | Каждый угол 180° : 3 = 60° |
| Остроугольный | Все три угла меньше 90° | Как у любого треугольника |
| Тупоугольный | Один угол больше 90° | Как у любого треугольника, два других угла острые |
Примеры
Два угла известны: 52° и 71°
180° − (52° + 71°) = 180° − 123° = 57°
Складываем известные углы и вычитаем сумму из 180°. Проверка: 52 + 71 + 57 = 180, верно.
Прямоугольный треугольник, один острый угол 38°
90° − 38° = 52°
Один угол уже 90°, на два острых остаётся тоже 90°. Третий угол и находить не нужно: он прямой.
Равнобедренный треугольник, угол при вершине 40°
(180° − 40°) : 2 = 140° : 2 = 70°
Два угла при основании равны, поэтому оставшиеся 140° делим пополам. Проверка: 40 + 70 + 70 = 180.
Внешний угол: внутренние углы при A и C равны 35° и 80°
Внешний угол при B = 35° + 80° = 115°
Внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним. Проверка: внутренний угол при B равен 180° − 115° = 65°, и 35 + 80 + 65 = 180.
Углы относятся как 2 : 3 : 4
180° : (2 + 3 + 4) = 180° : 9 = 20°, углы 40°, 60° и 80°
Одна часть равна 20°. Проверка: 40 + 60 + 80 = 180.
Исключения
Два случая в равнобедренном треугольнике. Если сказано, что один угол равен 80°, непонятно, где он находится. Если 80° при основании, то углы 80°, 80° и 20°. Если 80° при вершине, то углы 50°, 50° и 80°. Подходят оба варианта.
Треугольника с такими углами нет. Если два угла вместе дают 180° или больше, например 100° и 85°, третьего угла не остаётся. Такого треугольника не существует.
Тупой угол при основании невозможен. В равнобедренном треугольнике два равных угла не могут быть тупыми, их сумма превысила бы 180°. Поэтому тупой угол всегда при вершине.
Два внешних угла у вершины. При каждой вершине можно построить два внешних угла, по продолжению каждой из двух сторон. Они равны между собой как вертикальные.
Проверь себя
Реши задачи в тетради, чертёж делай от руки. Ответы ниже.
- В треугольнике два угла равны 47° и 68°. Найди третий угол.
- В прямоугольном треугольнике один острый угол равен 24°. Найди другой острый угол.
- В равнобедренном треугольнике угол при основании равен 72°. Найди угол при вершине.
- В треугольнике ABC угол A равен 58°, угол C равен 49°. Найди внешний угол при вершине B.
- В равнобедренном треугольнике один угол равен 100°. Найди два других угла.
Ответы:
- 180° − (47° + 68°) = 65°.
- 90° − 24° = 66°.
- 180° − 2 · 72° = 36°.
- 58° + 49° = 107°.
- Угол 100° не может быть при основании: 2 · 100° = 200° больше 180°. Значит, он при вершине, а углы при основании равны (180° − 100°) : 2 = 40° каждый.
Следующая тема — углы параллелограмма.
Если тема не идёт
Чаще всего ломается арифметика: вычитают из 180° не всё, что нужно, или путают прямоугольный треугольник с равнобедренным. Пусть ребёнок после каждой задачи складывает три угла и проверяет, что получилось 180°. Если трудно с чертежом, начните со смежных и вертикальных углов. Остальные темы по порядку — в разделе «Геометрия».
Если нужна помощь с темой, посмотри, как проходят занятия с репетитором по математике.
Типичная ошибка
Из 180° вычитают только один известный угол и забывают второй. Пример: в треугольнике углы 50° и 60°, а третий записывают как 130°, хотя 180 − 50 − 60 = 70°. Проверка простая: сложите все три угла, в сумме должно получиться ровно 180°.
Частые вопросы
Чему равна сумма углов треугольника?
180° у любого треугольника: остроугольного, прямоугольного, тупоугольного, равнобедренного и равностороннего. Поэтому, зная два угла, всегда можно найти третий: вычесть из 180° их сумму.
Как найти угол равнобедренного треугольника?
Углы при основании в равнобедренном треугольнике равны. Если известен угол при вершине, каждый угол при основании равен (180° − угол при вершине) : 2. Если известен угол при основании, угол при вершине равен 180° − 2 · этот угол.
Что такое внешний угол треугольника?
Это угол между одной стороной треугольника и продолжением другой стороны. Он смежный с внутренним углом при той же вершине и равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Может ли в треугольнике быть два тупых или два прямых угла?
Нет. Два угла больше 90° или равные 90° дают в сумме 180° и больше, а на третий угол ничего не остаётся. В треугольнике не больше одного тупого или прямого угла.
В каком классе учат сумму углов треугольника?
В 7 классе, в курсе геометрии. В базовой программе 7 класса названы сумма углов треугольника и внешние углы. Доказательство использует свойства параллельных прямых.
Потренируйся сам — бесплатно и без регистрации
На этой странице есть блок «Проверь себя». Реши задания сам, ничего никуда не отправляя, и сверься с ответами: так видно, что уже получается.
