Среднее арифметическое: как найти, формула и примеры

Правило

Среднее арифметическое набора чисел — это сумма всех чисел набора, делённая на количество этих чисел. Формулу записывают так: среднее = сумма чисел : количество чисел.

Как найти среднее арифметическое:

1. Выпиши все числа набора, включая повторы и нули.
2. Сложи их.
3. Посчитай, сколько чисел ты сложил.
4. Раздели сумму на это количество.

Среднее арифметическое непустого набора лежит между наименьшим и наибольшим числом набора. Это удобно для проверки: если ответ вышел за эти границы, в счёте ошибка. Целым среднее быть не обязано, а в самом наборе такого числа может не оказаться.

Если все числа набора равны, среднее арифметическое совпадает с каждым из них. Набор может состоять и из одного числа: тогда среднее равно этому числу, потому что сумму делим на единицу. Для числа 5 среднее арифметическое равно 5.

Для любого непустого набора чисел среднее арифметическое находят по этой формуле. В прикладной задаче простое среднее подходит, когда у значений одинаковый вес. Со скоростями так бывает не всегда. Средняя скорость — это весь путь, делённый на всё время движения.

Если среднее известно, а одного числа не хватает, задачу решают обратным ходом через сумму. Сумма набора равна среднему, умноженному на количество чисел. Из неё вычитают сумму известных чисел и получают недостающее. Если среднее арифметическое равно 5, а чисел в наборе три, их сумма — 5 · 3 = 15.

Недостающее число по среднему: четыре шага

1. 1Нужная суммаУмножь среднее на количество чисел вместе с неизвестным: 4,4 · 5 = 22.
2. 2Сумма известныхСложи числа, которые уже есть: 4 + 5 + 3 + 5 = 17.
3. 3РазностьВычти: 22 − 17 = 5. Это недостающее число.
4. 4ПроверкаНайди среднее заново: (4 + 5 + 3 + 5 + 5) : 5 = 22 : 5 = 4,4.

В описании указанной федеральной программы тема отнесена к курсу «Вероятность и статистика» в 7 классе. В описании программы среднее арифметическое названо среди тем описательной статистики вместе с медианой и размахом.

Таблица или схема

Примеры

Средний балл: оценки 5, 4, 5, 3, 5

1. Складываем оценки: 5 + 4 + 5 + 3 + 5 = 22.
2. Считаем оценки: их пять.
3. Делим: 22 : 5 = 4,4.

Средний балл 4,4.

Проверка границ: 4,4 лежит между наименьшей оценкой 3 и наибольшей 5. Среднее 4,4 само по себе не определяет отметку за период: порядок её выставления нужно смотреть в локальных правилах школы.

Обратная задача: какая нужна оценка

В журнале оценки 4, 5, 3, 5. Какой должна быть пятая оценка, чтобы среднее стало 4,4?

1. После пятой оценки чисел станет пять. Нужная сумма: 4,4 · 5 = 22.
2. Сумма известных оценок: 4 + 5 + 3 + 5 = 17.
3. Не хватает 22 − 17 = 5.

Нужна оценка 5.

Проверка: (4 + 5 + 3 + 5 + 5) : 5 = 22 : 5 = 4,4.

Средняя скорость: туда и обратно

Машина проехала 120 км со скоростью 60 км/ч и вернулась по той же дороге со скоростью 40 км/ч. Найди среднюю скорость.

1. Время туда: 120 : 60 = 2 часа.
2. Время обратно: 120 : 40 = 3 часа.
3. Весь путь: 120 + 120 = 240 км. Всё время: 2 + 3 = 5 часов.
4. Средняя скорость: 240 : 5 = 48 км/ч.

Средняя скорость 48 км/ч.

Среднее двух скоростей (60 + 40) : 2 = 50 км/ч здесь не подходит. Со скоростью 40 км/ч машина ехала дольше, поэтому эта скорость «весит» больше и тянет среднее вниз.

Исключения

Одно большое число сдвигает среднее. В наборе 5, 6, 7, 8, 64 сумма равна 90, а среднее 90 : 5 = 18. При этом четыре числа из пяти не больше 8.

Медиана — число посередине набора, выписанного по возрастанию, — здесь равна 7. В этом наборе она ближе к четырём значениям от 5 до 8, чем среднее 18. При чётном количестве чисел медиана равна среднему двух центральных значений. В приведённом наборе из пяти чисел увеличение максимума поднимает среднее и сохраняет медиану.

Среднего может не быть среди чисел набора. Для двух чисел 8 и 12 среднее (8 + 12) : 2 = 10, хотя числа 10 в наборе нет. Средний балл 4,4 тоже не совпадает ни с одной оценкой.

Нули тоже считаются. Для набора 0, 4, 8 сумма равна 12, чисел три, среднее 12 : 3 = 4. Если забыть про ноль и разделить на 2, получится неверное 6.

Когда среднее скоростей всё-таки подходит. Если с каждой скоростью ехали одинаковое время, у значений одинаковый вес. Час со скоростью 60 км/ч и час со скоростью 40 км/ч дают 100 км за 2 часа. Средняя скорость 100 : 2 = 50 км/ч. Столько же даёт и (60 + 40) : 2.

Проверь себя

Решай в тетради, а ответ вводи ниже.

Материал сайта о вероятности относится к той же тематической области: «Вероятность: как найти вероятность события».

Если тема не идёт

Можно ошибиться при выборе числа, на которое делят сумму. Возьми свои оценки за неделю и запиши решение в две строки: сверху сумма, снизу количество чисел, и только потом дели. Остальные темы раздела — Математика.

Если нужна помощь с темой, посмотри, как проходят занятия с репетитором по математике.