Свойства логарифмов: формулы, условия применимости и примеры

Правило

Логарифм числа b по основанию a — это показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b. Запись logₐ b читают так: «логарифм числа b по основанию a». Пример: log₂ 8 = 3, потому что 2³ = 8.

Число b называют аргументом. Основание a больше нуля и не равно единице, аргумент положителен. При этих условиях работают свойства логарифмов — правила преобразования выражений. Логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей, логарифм частного — их разности, а у логарифма степени показатель можно вынести как множитель.

Свойства в формулах:

• Логарифм произведения: logₐ(x · y) = logₐ x + logₐ y, если x > 0 и y > 0.
• Логарифм частного: logₐ(x / y) = logₐ x − logₐ y, если x > 0 и y > 0.
• Логарифм степени: logₐ xᵏ = k · logₐ x, если x > 0. При чётном k и x < 0 пишут logₐ xᵏ = k · logₐ |x|.
• Переход к новому основанию: logₐ b = logₙ b / logₙ a, где n — новое основание, больше нуля и не равно единице.

К ним добавляют два значения, которые следуют из определения степени: logₐ a = 1 и logₐ 1 = 0. Здесь помогает то, что a¹ = a и a⁰ = 1. Подробнее об этом — в материале «Степень числа».

Как применить свойства логарифмов

1. 1Проверь условияОснование больше нуля и не равно единице, аргументы положительны.
2. 2Найди действиеПосмотри, что стоит под знаком логарифма: произведение, частное или степень.
3. 3Выбери свойствоПроизведению соответствует сумма логарифмов, частному — разность, степени — множитель.
4. 4Замени логарифмЗапиши равенство по формуле, сохраняя основание.
5. 5Вычисли и сложиНайди значение каждого логарифма и выполни сложение или вычитание.

Порядок работы с выражением такой:

1. Проверь основание и аргументы.
2. Найди действие под знаком логарифма: произведение, частное или степень.
3. Выбери свойство по этому действию и запиши равенство.
4. Найди значение каждого логарифма по определению.
5. Выполни сложение или вычитание и запиши ответ.

Таблица или схема

Требование к аргументам в таблице одно и то же: x > 0, y > 0, b > 0. Так устроено определение логарифма.

Как проверить условия применимости

1. 1ОснованиеБольше нуля и не равно единице.
2. 2АргументыКаждый аргумент, то есть число под знаком логарифма, положителен.
3. 3ДействиеСвойство подходит для произведения, частного и степени.
4. 4Новое основаниеПри переходе к другому основанию оно тоже больше нуля и не равно единице.
5. 5ЗнаменательЛогарифм старого основания по новому основанию не должен быть нулём.

Какое свойство выбрать, подсказывает действие под знаком логарифма. Умножение превращается в сумму логарифмов, деление — в разность, степень даёт множитель перед логарифмом.

Примеры

Логарифм произведения

Вычислим log₂(4 · 8).

Под знаком логарифма произведение, значит подходит свойство логарифма произведения. Основание 2 больше нуля и не равно единице, аргументы 4 и 8 положительны.

1. Записываем сумму: log₂(4 · 8) = log₂ 4 + log₂ 8.
2. Считаем первый логарифм: log₂ 4 = 2, потому что 2² = 4.
3. Второй логарифм: log₂ 8 = 3, потому что 2³ = 8.
4. Складываем: 2 + 3 = 5.

Проверка: 4 · 8 = 32 = 2⁵.

Ответ: log₂(4 · 8) = 5.

Логарифм частного

Вычислим log₃(81 / 9).

Здесь деление, поэтому применяем свойство логарифма частного.

1. Записываем разность: log₃(81 / 9) = log₃ 81 − log₃ 9.
2. log₃ 81 = 4, потому что 3⁴ = 81.
3. log₃ 9 = 2, потому что 3² = 9.
4. Вычитаем: 4 − 2 = 2.

Проверка: 81 / 9 = 9 = 3².

Ответ: log₃(81 / 9) = 2.

Логарифм степени

Вычислим log₅ 25³.

Показатель степени становится множителем перед логарифмом. Основание 5 больше нуля и не равно единице, аргумент 25 положителен, поэтому свойство применимо.

1. Выносим показатель: log₅ 25³ = 3 · log₅ 25.
2. log₅ 25 = 2, потому что 5² = 25.
3. Умножаем: 3 · 2 = 6.

Проверка: 25³ = (5²)³ = 5⁶.

Ответ: log₅ 25³ = 6.

Переход к новому основанию

Вычислим log₄ 8.

Основание 4 — это 2², поэтому удобно перейти к основанию 2.

1. Записываем частное логарифмов с новым основанием: log₄ 8 = log₂ 8 / log₂ 4.
2. log₂ 8 = 3.
3. log₂ 4 = 2.
4. Делим: 3 / 2 = 1,5.

Проверка: 4 в степени 1,5 даёт 8. Действия со степенями с дробным показателем разобраны в материале «Дробная степень».

Ответ: log₄ 8 = 1,5.

Свойства вместе

Упростим выражение log₂ 40 − log₂ 5.

Оба логарифма с основанием 2, между ними вычитание. Разность логарифмов сворачивается в логарифм частного.

1. Записываем одним логарифмом: log₂ 40 − log₂ 5 = log₂(40 / 5).
2. Считаем частное: 40 / 5 = 8.
3. Получаем log₂ 8 = 3, потому что 2³ = 8.

Ответ: log₂ 40 − log₂ 5 = 3.

Трудные случаи

Логарифм суммы не раскладывается. Выражение log₂(4 + 4) — это log₂ 8, то есть 3. Сумма логарифмов log₂ 4 + log₂ 4 даёт 4. Свойство произведения к сложению не относится.

Произведение отрицательных чисел. Значение log₂((−2) · (−8)) существует: −2 · −8 = 16, а log₂ 16 = 4. Свойство произведения здесь применить нельзя, потому что log₂(−2) и log₂(−8) не определены. Знак каждого аргумента проверяют до преобразования.

Логарифм в знаменателе. В формуле перехода к новому основанию делителем служит logₙ a. Нулём он может быть только при a = 1, а основание a по условию не равно единице. Значит, при n > 0 и n ≠ 1 деление выполнимо.

Проверь себя

Реши задания за 10 минут. Считай в тетради, а ответы вводи ниже.

Если тема не идёт

Выпиши четыре формулы на отдельный листок и подпиши под каждой своё действие: умножение, деление, степень, новое основание. При решении сначала называй действие, а потом считай каждый логарифм отдельно — так видно, где именно возникает трудность. Другие темы школьного курса собраны в разделе «Математика».

О занятиях по этой и другим темам — на странице репетитора по математике.