- Правило
- 4–7 класс
Задачи на работу: формула, виды и решение по шагам
Обновлено
Подготовлено редакцией «Ментор»Опубликовано Что изменилось: Уточнены условия деления и приём «всю работу за 1»Источников: 1
Коротко
Задачи на работу решают через формулу A = p · t: объём работы равен производительности, умноженной на время. Когда над одной работой трудятся несколько исполнителей одновременно, производительности складывают, а время находят делением всей работы на общую производительность. Правило верно, пока работа одна и та же и производительность не меняется; при работе по очереди считают выполненные доли.
Правило
Задачи на работу решают через три величины: объём работы, производительность и время.
Объём работы — это то, что нужно сделать: заказ, бассейн, рукопись, яма. Производительность показывает, сколько работы выполняется за единицу времени: за час, минуту или день. При одинаковом объёме работы чем выше производительность, тем быстрее закончится дело.
Три величины связаны формулами:
- объём работы равен производительности, умноженной на время: A = p · t;
- производительность равна работе, делённой на время: p = A : t, если t > 0;
- время равно работе, делённой на производительность: t = A : p, если p > 0.
Здесь A — объём работы, p — производительность, t — время. Формулы применяют к участку работы с постоянной производительностью. Если темп меняется, каждый участок считают отдельно.
Как разобрать условие задачи на работу
- Найди работуОпредели, что именно делают: заказ, бассейн, рукопись, яму.
- Отметь времяВыпиши числа с единицами времени: часы, минуты, дни.
- Найди производительностьПосмотри, сколько работы выполняется за час или за минуту.
- Заполни таблицуВпиши величины в три столбца: работа, производительность, время.
- Прими работу за 1Если исполнителей несколько и объём не дан числом, всю работу удобно принять за 1.
- Выбери формулуНеизвестную величину находят по формуле A = p · t.
Когда несколько исполнителей делают одну общую работу одновременно, их производительности складывают: p = p₁ + p₂. Время совместной работы находят так: t = A : (p₁ + p₂). Производительности должны быть выражены в одинаковых единицах — например, в деталях в час. Для одной общей работы складывать времена нельзя: вдвоём дело идёт быстрее, чем по одному.
Порядок действий:
- Прочитай условие и пойми, какая работа выполняется.
- Выпиши числа с единицами и подпиши, что каждое означает.
- Заполни таблицу «работа — производительность — время».
- Если исполнителей несколько и объём не дан числом, всю работу удобно принять за 1.
- Подставь числа в формулу и запиши ответ с единицей измерения.
В базовой модели задачи на работу устроены так же, как задачи на движение: там перемножают скорость и время, здесь — производительность и время. Сравнить обе темы помогает материал «Задачи на движение».
Таблица или схема
Действие зависит от того, что известно и что нужно найти.
| Что известно | Что ищем | Действие |
|---|---|---|
| производительность и время | объём работы | умножить производительность на время |
| объём работы и время | производительность | разделить объём работы на время |
| объём работы и производительность | время | разделить объём работы на производительность |
Величины и примеры их единиц:
| Величина | Обозначение | Единицы |
|---|---|---|
| объём работы | A | детали, страницы, бассейны; вся работа — 1 |
| производительность | p | детали в час, страницы в минуту |
| время | t | часы, минуты, дни |
Единицы должны сочетаться между собой: детали в час и часы дают детали. При совместной работе производительность каждого часто удобно выражать как долю всей работы за единицу времени. Тогда в решении появляются дроби: 1/6 и 1/3 приходится складывать. Это разобрано в материале «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями».
Три ситуации в задачах на работу
- Работают одновременноПроизводительности складывают: t = A : (p₁ + p₂).
- Работают по очередиСчитают работу каждого участка с известной производительностью и временем и складывают выполненные части.
- Часть работы уже сделанаВ формулу подставляют остаток работы.
Примеры
Ищем объём работы
Мастер делает 12 деталей в час и работает 5 ч. Сколько деталей он сделает?
Дано: производительность 12 деталей в час и время 5 ч. Ищем объём работы. A = p · t, значит, A = 12 · 5 = 60.
Ответ: 60 деталей.
Ищем производительность
За 4 ч мастер сделал 60 деталей. Сколько деталей он делал за час?
Дано: объём работы 60 деталей и время 4 ч. Ищем производительность. p = A : t, значит, p = 60 : 4 = 15.
Ответ: 15 деталей в час.
Ищем время
Мастеру нужно сделать 60 деталей, а делает он 12 деталей в час. За какое время он справится?
Дано: объём работы 60 деталей и производительность 12 деталей в час. Ищем время. t = A : p, значит, t = 60 : 12 = 5.
Ответ: 5 ч.
Работа вдвоём
Первая труба наполняет бассейн за 6 ч, вторая — за 3 ч. За какое время бассейн наполнится, если открыть обе трубы?
Трубы работают одновременно, производительность каждой постоянна. Всю работу принимаем за 1. Первая труба за час наполняет 1/6 бассейна, вторая — 1/3. Вместе: 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2 бассейна за час. Время: t = 1 : 1/2 = 2.
Ответ: 2 ч.
Работа по очереди
Рабочий 3 ч делал по 5 деталей в час, а потом 2 ч — по 8 деталей в час. Сколько деталей он сделал всего?
Считаем участки отдельно: 5 · 3 = 15 деталей и 8 · 2 = 16 деталей. Складываем: 15 + 16 = 31.
Ответ: 31 деталь.
Исключения
Один исполнитель начал позже. Заказ — 30 деталей. Первый рабочий делает 5 деталей в час и первые 2 ч работал один, темп его работы не менялся: 5 · 2 = 10 деталей.
Осталось 20 деталей. Второй рабочий присоединяется после этих двух часов, он тоже делает 5 деталей в час, и дальше они работают одновременно. Вместе получается 10 деталей в час. Остаток они закончат за 20 : 10 = 2 ч. Ответ: 2 ч после присоединения второго рабочего.
Часть работы уже сделана. Бригада выполнила 1/3 одного и того же заказа. Дальше в формулу подставляют остаток — 2/3 всего заказа. При постоянной производительности 1/6 заказа за час остаток займёт 2/3 : 1/6 = 4 ч. Ответ: 4 ч.
Производительность дана в процентах. Всю работу принимают за 100 %. При постоянной производительности 20 % заказа в день вся работа займёт 100 : 20 = 5 дней. Ответ: 5 дней. Как считать проценты, показано в материале «Как найти процент от числа».
Работа не одна и та же. Производительности складывают, только когда исполнители делают общую работу одновременно. Если они работают по очереди, складывают выполненные объёмы или доли. Когда первый рабочий выполняет один заказ, а второй — другой, время каждого заказа считают отдельно.
Проверь себя
Примерное время — 10 минут. Решай в тетради, а ответ вводи ниже.
Реши, введи ответ и нажми «Проверить». Ответы никуда не отправляются и не сохраняются.
Реши в тетради. Ответы и объяснения — под кнопкой «Показать ответы».
Показать ответы
- 60. Объём работы равен производительности, умноженной на время: 12 · 5 = 60. За пять часов мастер сделает 60 деталей.
- 15. Производительность находят делением работы на время: 60 : 4 = 15. За час мастер делал 15 деталей.
- 2. За час первый делает 1/6 заказа, второй — 1/3. Вместе: 1/6 + 1/3 = 1/2 заказа за час, значит, весь заказ они выполнят за 2 ч.
- Производительности. При совместной работе складывают производительности: p = p₁ + p₂. Сложенные времена дали бы неверный ответ, потому что вдвоём работа идёт быстрее.
- 6. Производительности труб равны 1/10 и 1/15 бассейна за час. Вместе: 1/10 + 1/15 = 3/30 + 2/30 = 1/6, поэтому обе трубы наполнят бассейн за 6 ч.
- 6 ч. Треть работы заняла 2 ч, а всего таких частей три: 2 · 3 = 6 ч.
Если тема не идёт
Подпиши в тетради три столбца: «работа», «производительность», «время». Разложи по ним числа из условия — пустая клетка покажет, что нужно найти. Другие темы школьного курса собраны в разделе «Математика».
Разобрать эту тему с педагогом можно на занятиях по математике.
Типичная ошибка
Нередко времена складывают вместо производительностей: если один рабочий выполняет работу за 6 ч, а другой за 3 ч, ответ «6 + 3 = 9 ч» неверен. Поймать промах помогает проверка смысла: вдвоём работа идёт быстрее, поэтому время должно получиться меньше, чем у каждого по отдельности. Вместо сложения времен работу принимают за 1, находят производительности 1/6 и 1/3 и складывают их: 1/6 + 1/3 = 1/2 работы за час. Значит, вместе они выполнят работу за 2 ч. Такая модель предполагает одну общую работу и постоянную производительность каждого рабочего.
Частые вопросы
Как решать задачи на работу?
При постоянной производительности работу, производительность и время связывает формула A = p · t. Объём работы находят умножением, производительность — по формуле p = A : t при t > 0, время — по формуле t = A : p при p > 0. Если исполнителей несколько, всю работу удобно принять за 1.
Что делать, если работу выполняют двое одновременно?
Производительности складывают. Первый рабочий выполняет заказ за 6 ч, второй за 3 ч, значит, за час они делают 1/6 + 1/3 = 1/2 заказа, а весь заказ закончат за 2 ч. Времена складывать нельзя: вдвоём работа идёт быстрее, чем по одному.
Как разобрать условие задачи на работу?
Выпиши из условия числа с единицами измерения и подпиши, что каждое означает. Число с единицей времени обычно обозначает время, запись вида «детали в час» или «страницы в минуту» — производительность, а объём работы часто назван словами: заказ, бассейн, рукопись. Величина, которую требуется найти и которая не дана напрямую, — искомая; её вычисляют по известным данным.
Чем задачи на работу похожи на задачи на движение?
В базовой модели связи между величинами аналогичны. В задачах на равномерное движение перемножают скорость и время и получают расстояние, в задачах на работу перемножают производительность и время и получают объём работы. Складывают только величины с одинаковыми единицами и в подходящей модели: скорости — со скоростями, производительности — с производительностями.
Потренируйся сам — бесплатно и без регистрации
На этой странице есть блок «Проверь себя». Реши задания сам, ничего никуда не отправляя, и сверься с ответами: так видно, что уже получается.
