- Правило
- 7 класс
Алгебраические выражения: определение, значение и преобразования
Обновлено
Подготовлено редакцией «Ментор»Опубликовано Что изменилось: Уточнено, когда значение выражения зависит от подстановки.Источников: 1
Коротко
Алгебраическое выражение — это запись из чисел, букв и знаков действий, где буквы обозначают числа. Значение выражения находят подстановкой чисел вместо букв. Раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых меняют запись, но при всех допустимых значениях букв значение остаётся тем же. Правила работают, если выражение имеет смысл при выбранных значениях букв.
Правило
С алгебраическим выражением работают так же, как с числовым: подставляют числа вместо букв и считают. Запись 3a + 5 превращается в обычный пример, когда на место буквы встаёт число.
Здесь разбираем алгебраические выражения с переменными: в их записи есть буквы. Буквы обозначают числа и называются переменными. С буквами выполняют те же действия, что и с числами: складывают, вычитают, умножают, делят, возводят в степень. Делить можно только на выражение, которое не равно нулю.
Порядок вычислений при этом не меняется, поэтому пригодится материал «Порядок действий».
Чтобы найти значение выражения, действуй по шагам:
- Выпиши выражение и значения всех букв.
- Подставь число на место каждой буквы; отрицательные значения записывай в скобках.
- Выполни действия по порядку: сначала в скобках и степени, потом умножение с делением, затем сложение с вычитанием.
- Проверь, имеет ли выражение смысл: делить на нуль нельзя.
Как найти значение выражения
- Выпиши значения буквПосмотри, какие числа даны вместо каждой переменной.
- Подставь числаЗамени буквы числами; отрицательные значения записывай в скобках.
- Выбери порядокСначала скобки и степени, затем умножение с делением, потом сложение с вычитанием.
- Проверь знаменательЕсли под дробной чертой получился нуль, значение не вычисляют: выражение не имеет смысла.
- Запиши ответКогда все действия выполнены, остаётся одно число — это значение выражения.
Одна и та же буква в одном выражении обозначает одно число. Если буква встречается несколько раз, подставляй одно значение: 2x + x при x = 3 даёт 2 · 3 + 3 = 9.
Преобразования меняют запись, но не значение при всех допустимых значениях букв. Раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых относят к тождественным преобразованиям: при любых допустимых значениях букв старая и новая записи равны.
Таблица или схема
| Что дано | Что делают | Пример |
|---|---|---|
| Числовое выражение, без букв | Считают по порядку действий | 3 + 5 · 2 = 13 |
| Выражение с буквой и значение буквы | Подставляют число вместо буквы | 3a + 5 при a = 4 даёт 17 |
| Слагаемые с одинаковой буквенной частью | Приводят подобные слагаемые | 7x − 2x = 5x |
| Число умножают на сумму | Раскрывают скобки | 3(a + 4) = 3a + 12 |
Запись выбирают по тому, что нужно получить: число или короткую форму. Подобными называют слагаемые с одинаковой буквенной частью, а коэффициенты у них могут различаться: 7x и −2x, 4y и y.
Как упростить выражение
- Раскрой скобкиУмножь множитель перед скобкой на каждое слагаемое суммы или разности внутри скобок.
- Найди подобныеВыпиши слагаемые с одинаковой буквенной частью.
- Сложи коэффициентыПрибавь или вычти числа перед буквами, а буквенную часть оставь прежней.
- Собери записьЗапиши короткое выражение без лишних слагаемых.
- Проверь подстановкойПодставь одно и то же число в исходную и упрощённую запись: значения должны совпасть.
Примеры
Значение при одной букве
Найдём значение выражения 3a + 5 при a = 4.
- Подставляем 4 на место буквы: 3 · 4 + 5.
- Умножаем: 3 · 4 = 12.
- Складываем: 12 + 5 = 17.
Проверка: подстановка выполнена, все действия пройдены по порядку.
Ответ: при a = 4 значение равно 17.
Значение при двух буквах
Найдём значение выражения 5x − 2y при x = 3 и y = 4.
- Подставляем числа: 5 · 3 − 2 · 4.
- Считаем произведения: 5 · 3 = 15 и 2 · 4 = 8.
- Вычитаем: 15 − 8 = 7.
Проверка: 15 больше 8, поэтому ответ положительный.
Ответ: 5x − 2y при x = 3 и y = 4 равно 7.
Приведение подобных слагаемых
Упростим выражение 7x + 4y − 2x + y.
- Находим слагаемые с одинаковой буквенной частью: 7x и −2x, а также 4y и y.
- Складываем коэффициенты при x: 7 − 2 = 5, получаем 5x.
- Складываем коэффициенты при y: 4 + 1 = 5, получаем 5y.
- Записываем результат: 5x + 5y.
Проверка при x = 2 и y = 1: исходная запись даёт 14 + 4 − 4 + 1 = 15, новая — 10 + 5 = 15.
Ответ: 7x + 4y − 2x + y = 5x + 5y.
Раскрытие скобок
Упростим выражение 3(a + 4) − 5a.
- Умножаем каждое слагаемое в скобках на 3: 3a + 12.
- Возвращаем второе слагаемое: 3a + 12 − 5a.
- Приводим подобные: 3a − 5a = −2a.
- Записываем результат: 12 − 2a.
Проверка при a = 1: 3 · 5 − 5 = 10, а 12 − 2 = 10.
Ответ: 3(a + 4) − 5a = 12 − 2a.
Значение со степенью
Найдём значение выражения x² + 4x при x = 5.
- Подставляем число: 5² + 4 · 5.
- Считаем степень: 5² = 25.
- Считаем произведение: 4 · 5 = 20.
- Складываем: 25 + 20 = 45.
Степени и их показатели разобраны в материале «Степень числа».
Ответ: x² + 4x при x = 5 равно 45.
Трудные случаи
Деление на буквенное выражение. Выражение 6 / (x − 3) не имеет смысла при x = 3: знаменатель 3 − 3 равен нулю, а делить на нуль нельзя. Допустимые значения переменной — все числа, кроме 3.
Отрицательное значение буквы. Такое число подставляют в скобках: 4a при a = −3 — это 4 · (−3) = −12.
Тождество и уравнение. Равенство 3x + 2x = 5x верно при любом x, это тождество. Равенство x + 5 = 8 верно только при x = 3, это уравнение. Разницу показывает подстановка чисел.
Слагаемые с одинаковой буквенной частью. У слагаемого y перед буквой стоит коэффициент 1, поэтому 4y + y = 5y. О записях из нескольких слагаемых — в материале «Многочлен».
Проверь себя
Задание на 10 минут. Вычисляй в тетради, а ответ вводи ниже.
Реши, введи ответ и нажми «Проверить». Ответы никуда не отправляются и не сохраняются.
Реши в тетради. Ответы и объяснения — под кнопкой «Показать ответы».
Показать ответы
- 22. Подставляем 5 вместо буквы a: 3 · 5 + 7. Умножение даёт 15, сложение — 22.
- 7. Подставляем числа: 5 · 3 − 2 · 4. Получаем 15 − 8 = 7.
- 5. Подобные слагаемые с буквой x: 7x и −2x. Коэффициенты складываются: 7 − 2 = 5, значит при x стоит коэффициент 5.
- 6 / (x − 3). При x = 3 знаменатель равен 3 − 3 = 0, а делить на нуль нельзя. Остальные выражения при x = 3 дают числа: 6, 1 и 10.
- 3x + 2x = 5x. Тождество верно при всех допустимых значениях буквы: 3x + 2x равно 5x при любом x. Остальные равенства выполняются только при одном значении: x = 3, x = 5, x = 1.
- 16. Сначала действие в скобках: 5 + 3 = 8. Затем умножение: 2 · 8 = 16.
Если тема не идёт
Разбей пример на две строки: в первой подставь числа вместо букв, во второй выполняй по одному действию. Так видно, где возникает сбой — в подстановке или в счёте. Другие темы школьного курса собраны в разделе «Математика».
Для разбора этой темы есть репетитор по математике.
Типичная ошибка
Ошибка — складывать слагаемые с разными буквенными частями: вместо 3x + 4y пишут 7xy. Поймать её помогает подстановка чисел: при x = 2 и y = 1 выражение 3x + 4y равно 10, а 7xy равно 14. Вместо этого приводи подобные слагаемые: складывай только те, у которых одинаковая буквенная часть.
Частые вопросы
Что такое алгебраическое выражение?
Алгебраическое выражение — это запись из чисел, букв и знаков действий, например 3a + 5 или 7x − 2y. Буквы в такой записи обозначают числа и называются переменными. Значение выражения находят, подставляя вместо букв конкретные числа и выполняя действия по порядку.
Чем алгебраическое выражение отличается от числового?
Числовое выражение состоит только из чисел и знаков действий, переменных в нём нет: например, 3 + 5 · 2. Его значение — одно число, которое получается после вычислений. В выражении с переменной значение может меняться при подстановке разных чисел: 3a + 5 при a = 4 равно 17, а при a = 0 равно 5.
Какие значения переменной допустимы в выражении?
Допустимы те значения, при которых выражение имеет смысл. Если буква стоит в знаменателе, знаменатель не должен обращаться в нуль: выражение 6 / (x − 3) не имеет смысла при x = 3, потому что делить на нуль нельзя. Остальные числа подставлять можно.
Что такое тождественные преобразования выражения?
Это замены, после которых выражение принимает равные значения при всех значениях переменных, при которых исходное и преобразованное выражения имеют смысл. Раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых относят к таким заменам: 3(a + 4) − 5a и 12 − 2a равны при любом a. Запись обычно становится короче или удобнее для вычислений; значение при допустимых значениях переменных не меняется.
Потренируйся сам — бесплатно и без регистрации
На этой странице есть блок «Проверь себя». Реши задания сам, ничего никуда не отправляя, и сверься с ответами: так видно, что уже получается.
