- Правило
- 7–8 класс
Система линейных уравнений: методы решения, примеры и проверка
Обновлено
Подготовлено редакцией «Ментор»Опубликовано Что изменилось: Уточнено условие графической интерпретации системыИсточников: 2
Коротко
Систему двух линейных уравнений с двумя переменными решают тремя основными методами: подстановкой, сложением и графиком. Находят пару чисел, при которой оба уравнения верны. Подстановка обычно удобна, когда переменная уже выражена, сложение — когда коэффициенты при одной переменной противоположны. По взаимному расположению прямых определяют число решений: пересечение, параллельность или совпадение.
Правило
Система линейных уравнений — это несколько уравнений с одними и теми же неизвестными, которые решают вместе. Записывают систему фигурной скобкой. Дальше речь пойдёт о системах двух линейных уравнений с двумя переменными: x и y.
Решением системы с двумя переменными называют пару значений переменных. При подстановке такой пары каждое уравнение системы становится верным равенством.
Найти нужно все подходящие пары. У системы двух линейных уравнений с двумя переменными их бывает одна, не бывает совсем, а бывает и бесконечно много.
Основных способов решения три — подстановка, сложение и график. Каждый разбирается по шагам.
Метод подстановки:
- Вырази одну переменную через другую из уравнения, где это проще.
- Подставь полученное выражение в другое уравнение системы.
- Реши уравнение с одной переменной.
- Вернись к выражению из первого шага и вычисли второе число.
- Запиши пару в круглых скобках и проверь её в обоих уравнениях.
Подстановка по шагам
- Вырази переменнуюИз уравнения, где это проще: из x + y = 5 получится y = 5 − x.
- Подставь во второеВместо y в независимое второе уравнение системы подставь 5 − x: останется одна переменная.
- Реши уравнениеРаскрой скобки, приведи подобные слагаемые и найди x.
- Найди второе числоПодставь найденное x в выражение y = 5 − x.
- Проверь паруОба исходных уравнения должны стать верными равенствами.
В методе сложения уравнения складывают или вычитают почленно. Множители подбирают так, чтобы одна переменная исчезла. Если сходу не исчезает, одно из уравнений умножают на число.
Сложение по шагам
- Сравни коэффициентыНайди переменную, при которой коэффициенты — противоположные числа.
- Уравняй коэффициентыЭто один из вариантов подготовки: иногда коэффициенты уже противоположны, а иногда удобнее сделать их равными и вычесть.
- Сложи уравненияСкладывай левые части и правые части по отдельности.
- Найди вторую переменнуюПодставь найденное число в любое уравнение системы.
- Проверь паруПодставь оба числа в исходную систему.
Графический метод опирается на линейную функцию: если в уравнении хотя бы один коэффициент при переменных не равен нулю, оно задаёт прямую. Если прямые пересекаются в одной точке, её координаты дают единственное решение. Параллельные и совпадающие прямые — отдельные случаи.
Таблица или схема
| Метод | Когда удобен | Что делаем |
|---|---|---|
| Подстановка | переменная уже выражена или коэффициент при ней равен 1 или −1 | выражаем переменную и подставляем в другое уравнение |
| Сложение | коэффициенты при одной переменной противоположны | складываем или вычитаем уравнения, чтобы переменная исчезла |
| Графический | нужно увидеть число решений | строим прямые, по их расположению определяем число решений |
| Как расположены прямые | Сколько решений |
|---|---|
| пересекаются в одной точке | одно |
| параллельны | ни одного |
| совпадают | бесконечно много |
Примеры
Сложение: x + y = 7 и x − y = 1
Коэффициенты при y — противоположные числа: 1 и −1. Складываем уравнения почленно:
x + y + x − y = 7 + 1, то есть 2x = 8, откуда x = 4.
Подставляем в первое уравнение: 4 + y = 7, значит y = 3.
Ответ: (4; 3).
Подстановка: y = x − 1 и x + 2y = 7
Переменная y уже выражена через x. Подставляем x − 1 вместо y во второе уравнение:
x + 2(x − 1) = 7, затем x + 2x − 2 = 7, то есть 3x = 9, x = 3.
Возвращаемся к выражению y = x − 1 и получаем y = 3 − 1 = 2.
Ответ: (3; 2).
Умножаем перед сложением: 2x + 3y = 12 и 3x − y = 7
Коэффициенты при y разные: 3 и −1. Умножим второе уравнение на 3:
9x − 3y = 21. Теперь при y стоят числа 3 и −3, и сложение убирает переменную: 11x = 33, x = 3.
Подставляем в первое уравнение: 2 · 3 + 3y = 12, откуда 3y = 6 и y = 2.
Ответ: (3; 2).
График: x + y = 4 и x − y = 0
Перепишем уравнения как функции: y = 4 − x и y = x.
Прямая y = 4 − x проходит через точки (0; 4) и (4; 0). Прямая y = x проходит через (0; 0) и (2; 2).
Прямые пересекаются в точке (2; 2).
Ответ: (2; 2).
Исключения
Решений нет. В системе x + y = 3 и x + y = 5 левые части одинаковые, правая часть у них разная. Прямые y = 3 − x и y = 5 − x параллельны и не пересекаются.
Решений бесконечно много. Уравнения 2x + 2y = 6 и x + y = 3 задают одну и ту же прямую: первое уравнение делится на 2. Подходят все пары, для которых x + y = 3, например (1; 2) и (2; 1).
Дробные коэффициенты. Уравнение 0,5x + y = 4 умножают на 2 и получают x + 2y = 8. Система x + 2y = 8 и x − y = 2 решается подстановкой: из второго уравнения x = y + 2, значит 3y + 2 = 8, y = 2 и x = 4.
Проверь себя
Реши задания в тетради, ответы введи ниже. Работа на 10 минут.
Реши, введи ответ и нажми «Проверить». Ответы никуда не отправляются и не сохраняются.
Реши в тетради. Ответы и объяснения — под кнопкой «Показать ответы».
Показать ответы
- подстано́вки. Одна переме́нная вы́ражена через другую: y = 2x. Подста́вим 2x во второе уравне́ние: 3x = 9, зна́чит x = 3 и y = 6.
- да. После подстано́вки получа́ем 2 + 3 = 5 и 2 · 2 − 3 = 1. Оба равенства сходятся, зна́чит па́ра подхо́дит.
- 7;3 или 7 и 3 или x=7, y=3. Уравне́ния складываем: 2x = 14, зна́чит x = 7. Из пе́рвого уравне́ния 7 + y = 10, отсю́да y = 3.
- ни одного. Ле́вые ча́сти уравне́ний одина́ковые, а пра́вые ра́зные. Такие прямы́е паралле́льны, поэ́тому реше́ний нет.
- бесконечно много или бесконечное множество или бесконечное число. Совпада́ющие прямы́е — одна́ и та же ли́ния. Люба́я её то́чка даёт подходя́щую па́ру чи́сел, поэ́тому реше́ний бесконе́чно мно́го.
- 4;3 или 4 и 3 или x=4, y=3. Сложе́ние убира́ет y: 5x = 20, зна́чит x = 4. Подстано́вка в пе́рвое уравне́ние даёт 8 + y = 11, поэ́тому y = 3.
Если тема не идёт
Возьми систему x + y = 7 и x − y = 1 и пройди по шагам ещё раз, записывая каждое действие отдельной строкой. Если теряются знаки при переносе слагаемых, вернись к линейным уравнениям. Все темы про уравнения собраны в разделе «Уравнения».
О занятиях по этой и другим темам — на странице репетитора по математике.
Типичная ошибка
В ответ нередко записывают только одно число, хотя решение системы двух уравнений с двумя переменными — это пара значений: должны быть указаны и x, и y. Ещё одна ошибка — сложить левые части уравнений и забыть про правые. Проверяйте найденную пару подстановкой в каждое уравнение: если хотя бы одно равенство не сходится, значит, в решении есть ошибка; среди возможных причин — потеря знака.
Частые вопросы
Что значит решить систему линейных уравнений?
Решить систему линейных уравнений — значит найти все пары значений двух переменных, при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство. Пар может быть одна, может не быть совсем, а может оказаться бесконечно много.
Какие методы решения систем линейных уравнений бывают?
В школьном курсе основных методов три. Подстановка: одну переменную выражают через другую и подставляют во второе уравнение. Сложение: уравнения складывают или вычитают, чтобы одна переменная исчезла. Графический метод: строят прямые; если они пересекаются в одной точке, её координаты дают решение.
Как понять, сколько решений у системы линейных уравнений?
Если в каждом уравнении хотя бы один коэффициент при переменных ненулевой, его график — прямая. Если прямые пересекаются в одной точке, решение одно; если параллельны, решений нет; если совпадают, решений бесконечно много. Например, у системы x + y = 3 и x + y = 5 решений нет.
Как проверить решение системы линейных уравнений?
Найденную пару чисел подставляют в каждое уравнение системы по отдельности. Если оба равенства сходятся, пара найдена верно. Проверка часто показывает, что в решении есть ошибка, но не устанавливает, что ошибка именно в знаке.
Потренируйся сам — бесплатно и без регистрации
На этой странице есть блок «Проверь себя». Реши задания сам, ничего никуда не отправляя, и сверься с ответами: так видно, что уже получается.
