- Правило
- 6–11 класс
Модуль числа: как найти модуль целого, отрицательного и дробного числа
Обновлено
Подготовлено редакцией «Ментор»Опубликовано Что изменилось: Разобраны три случая уравнения с модулемИсточников: 1
Коротко
Модуль числа — это расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой, поэтому он не бывает отрицательным. Для положительного числа модуль равен самому числу, для отрицательного — противоположному: |5| = 5, |−3| = 3, |0| = 0. Если модуль стоит в уравнении, корней может быть два: |x| = 4 даёт x = 4 и x = −4.
Правило
Модуль числа — это расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой. Модуль обозначают двумя вертикальными чертами: |a|.
Расстояние не бывает отрицательным, поэтому и модуль не бывает отрицательным. Модуль числа 5 равен 5, модуль числа −3 равен 3, модуль нуля равен нулю.
Как найти модуль числа по шагам
- Отметь числоНайди это число на координатной прямой. Ноль — точка отсчёта, от него считаем расстояние.
- Посчитай шаги до нуляМодуль равен числу единичных отрезков от этой точки до нуля. Влево точка или вправо, на модуль не влияет.
- Проверь знак ответаМодуль — это расстояние, поэтому отрицательным он быть не может. Если в ответе вышел минус, ищи ошибку.
- Сверься с числом под модулемУ отрицательного числа модуль равен противоположному: |−7| = 7. У неотрицательного — самому числу: |7| = 7 и |0| = 0.
Как найти модуль числа:
- Отметь число на координатной прямой. Ноль — точка отсчёта.
- Посчитай, сколько единичных отрезков от этой точки до нуля.
- Запиши это число. Знак исходного числа на ответ не влияет.
Дальше работает короткое правило:
- если число неотрицательное (a ≥ 0), то |a| = a;
- если число отрицательное (a < 0), то |a| = −a, то есть противоположное число.
Проверим: |8| = 8, |0| = 0, |−6| = 6, |−2,5| = 2,5. Модуль есть у любого рационального числа — целого, дробного или десятичного.
Если модуль стоит в уравнении или неравенстве, нужно найти все подходящие значения. У |x| = 4 два решения, 4 и −4, у |x| = 0 только одно, а у |x| = −1 решений нет. Такие задания разбирают отдельно, а здесь речь о модуле конкретного числа.
Таблица или схема
Что стоит под модулем и что писать в ответ:
| Под модулем | Что пишем в ответ | Пример |
|---|---|---|
| положительное число | то же число | модуль числа 9 равен 9 |
| ноль | ноль | модуль числа 0 равен 0 |
| отрицательное число | противоположное число, без минуса | модуль числа −6 равен 6 |
| положительная дробь | ту же дробь | модуль числа 3/4 равен 3/4 |
| отрицательная дробь | ту же дробь без минуса | модуль числа −2/3 равен 2/3 |
Сколько единичных отрезков от числа до нуля:
| Число | Модуль | Расстояние до нуля |
|---|---|---|
| 7 | 7 | 7 отрезков вправо |
| −3 | 3 | 3 отрезка влево |
| 0 | 0 | ноль стоит в точке отсчёта |
| 0,5 | 0,5 | половина отрезка вправо |
| −2,5 | 2,5 | 2,5 единичного отрезка влево |
| −2/3 | 2/3 | 2/3 отрезка влево |
Примеры
Модуль положительного числа и нуля
Найди модуль чисел 8, 0,5 и 0.
- Число 8 стоит в 8 единичных отрезках вправо от нуля, значит |8| = 8.
- Число 0,5 стоит в половине отрезка вправо от нуля, значит |0,5| = 0,5.
- Ноль стоит в точке отсчёта, расстояние до него самого равно нулю: |0| = 0.
|8| = 8, |0,5| = 0,5, |0| = 0.
Модуль отрицательного числа
Найди модуль чисел −6 и −2,5.
- Под модулем отрицательное число, поэтому в ответ идёт противоположное число.
- Число −6 стоит в 6 единичных отрезках влево от нуля: |−6| = 6.
- Число −2,5 стоит в 2,5 единичного отрезка влево от нуля: |−2,5| = 2,5.
|−6| = 6, |−2,5| = 2,5.
Проверка: у противоположных чисел модули равны, поэтому |−6| = |6| = 6.
Модуль дробного числа
Найди модуль чисел 3/4, −2/3 и −1,5.
- Дробь 3/4 положительная, поэтому модуль равен самой дроби: |3/4| = 3/4.
- Дробь −2/3 отрицательная, берём противоположную дробь: |−2/3| = 2/3.
- Десятичная дробь −1,5 тоже отрицательная: |−1,5| = 1,5.
|3/4| = 3/4, |−2/3| = 2/3, |−1,5| = 1,5.
Проверка по координатной прямой: точка −2/3 стоит в 2/3 единичного отрезка влево от нуля.
Сравнение чисел с модулем
Сравни числа −8 и −3.
- Находим модули: |−8| = 8, |−3| = 3.
- Сравниваем модули: 8 больше, чем 3.
- Из двух отрицательных чисел меньше то, у которого модуль больше. Значит, −8 меньше −3.
−8 < −3.
Проверка по координатной прямой: точка −8 стоит левее точки −3, а левее — значит, меньше. Сравнить дроби помогает материал о сравнении дробей.
Исключения
Ноль. Единственное число, модуль которого равен нулю: |0| = 0. У всех остальных чисел модуль положительный.
Уравнения с модулем. Запись |x| = 4 задаёт не одно число, а два: x = 4 и x = −4. Уравнение |x| = −4 корней не имеет, потому что модуль не бывает отрицательным.
Модули противоположных чисел равны. |−7| = |7| = 7, хотя сами числа разные: −7 меньше, чем 7.
Знак числа под модулем и знак ответа — разные вещи. Минус под модулем не переносится в ответ: |−3| = 3.
Проверь себя
Задание на 10 минут. Решай в тетради, а ответы вводи ниже.
Реши, введи ответ и нажми «Проверить». Ответы никуда не отправляются и не сохраняются.
Реши в тетради. Ответы и объяснения — под кнопкой «Показать ответы».
Показать ответы
- 13. |−9| = 9, |4| = 4, значит, сумма равна 13. Модуль — это расстояние до нуля, поэтому он не бывает отрицательным.
- 7. Точка −7 стоит в 7 единичных отрезках влево от нуля, поэтому |−7| = 7. Минус в ответ не переносится.
- 2/3. У отрицательного числа модуль равен противоположному числу, поэтому |−2/3| = 2/3. Расстояние от точки −2/3 до нуля равно 2/3.
- < или меньше. |−8| = 8, а |−3| = 3. Из двух отрицательных чисел меньше то, у которого модуль больше, поэтому −8 < −3.
- 0. Ноль стоит в точке отсчёта, расстояние от него до самого себя равно нулю, поэтому |0| = 0. Это единственное число с таким модулем.
- два. Расстояние от x до нуля равно 9, поэтому подходят два числа: x = 9 и x = −9. Точки стоят по разные стороны от нуля.
Если тема не идёт
Нарисуй координатную прямую и отметь на ней число из задания точкой. Модуль — это число единичных отрезков от точки до нуля, и его останется только записать. Другие темы про числа и действия с ними собраны в разделе Математика.
Для разбора этой темы есть репетитор по математике.
Типичная ошибка
Ошибка — считать, что модуль всегда меняет знак: тогда |5| превращается в −5. Проверить результат можно по координатной прямой: модуль — расстояние до нуля, и отрицательным оно быть не может. Вместо механического убирания минуса посмотри на знак числа под модулем: у неотрицательного числа в ответ идёт само число, у отрицательного — противоположное.
Частые вопросы
Чему равен модуль отрицательного числа?
Модуль отрицательного числа равен противоположному числу, то есть тому же числу без минуса: |−3| = 3, |−7| = 7. Так получается потому, что модуль — это расстояние до нуля, а расстояние не бывает отрицательным. У противоположных чисел модули равны: |−5| = |5| = 5.
Чему равен модуль числа 0?
Модуль нуля равен нулю: |0| = 0. Ноль стоит в точке отсчёта, расстояние от него до нуля равно нулю. Это единственное число, у которого модуль равен нулю.
Чем модуль отличается от числа без минуса?
Для отрицательного числа модуль равен тому же числу без минуса: модуль числа −2,5 равен 2,5. У положительного числа минуса нет, поэтому модуль равен самому числу: |2,5| = 2,5. Смотреть нужно на знак числа под модулем, а не просто убирать минус.
Как сравнить два отрицательных числа с помощью модулей?
Найди модули обоих чисел и сравни их. Из двух отрицательных чисел меньше то, у которого модуль больше: |−8| = 8, |−3| = 3, значит, −8 < −3. Чем дальше точка стоит от нуля влево, тем меньше число.
Потренируйся сам — бесплатно и без регистрации
На этой странице есть блок «Проверь себя». Реши задания сам, ничего никуда не отправляя, и сверься с ответами: так видно, что уже получается.
