- Правило
- 11 класс
Объём цилиндра: формула и как считать по шагам
Обновлено
Подготовлено редакцией «Ментор»Опубликовано Что изменилось: Сверена тема объёма цилиндра по программе геометрии 11 класса.Источников: 2
Коротко
Объём цилиндра равен произведению числа π, квадрата радиуса основания и высоты: V = πr²h. Для расчёта числового ответа сначала выражают радиус и высоту в одной единице длины. Если в условии дан диаметр, сначала делят его на 2. Объём получается в кубических единицах: см³, дм³ или м³.
Правило
Объём цилиндра находят по формуле V = πr²h. Здесь V — объём, r — радиус основания, h — высота, π ≈ 3,14. Радиус и высоту подставляют в одних единицах длины, тогда объём выходит в кубических единицах: см³, дм³, м³.
Радиус — отрезок от центра основания до края. Диаметр вдвое длиннее радиуса. Если в условии дана длина окружности основания, сначала находят радиус: r = C : (2π). Подробнее об этом — в материале Окружность и круг.
Порядок действий такой:
- Запиши формулу: V = πr²h.
- Приведи радиус: если дан диаметр, раздели его на 2.
- Сверь единицы: радиус и высота должны быть в одних единицах.
- Возведи радиус в квадрат, умножь на π и на высоту.
- Запиши единицы объёма: см³ или м³.
Как посчитать объём цилиндра
- Записать формулуV = πr²h: π умножают на квадрат радиуса и на высоту.
- Привести радиусЕсли дан диаметр, его делят на 2: r = d : 2.
- Сверить единицыРадиус и высота — в одних единицах, объём получится в кубических.
- Подставить и посчитатьr = 3 см, h = 5 см: при π ≈ 3,14 получаем V ≈ 3,14 · 9 · 5 = 141,3 см³.
Высота — расстояние между основаниями. Она не обязана быть больше радиуса: у низкого широкого цилиндра высота меньше радиуса.
Если нужно найти не объём, а радиус или высоту, формулу преобразуют. Из V = πr²h получаются h = V : (πr²) и r² = V : (πh).
Таблица или схема
Что дано и что ищем
| Что дано | Что ищем | Как считать |
|---|---|---|
| Радиус и высота | объём | V = π · r² · h |
| Диаметр и высота | объём | r = d : 2, потом V = π · r² · h |
| Объём и радиус | высота | h = V : (π · r²) |
| Объём и высота | радиус | r² = V : (π · h) |
Числовые примеры при π ≈ 3,14
| Радиус | Высота | Объём |
|---|---|---|
| 2 см | 5 см | 3,14 · 4 · 5 = 62,8 см³ |
| 3 см | 5 см | 3,14 · 9 · 5 = 141,3 см³ |
| 5 см | 4 см | 3,14 · 25 · 4 = 314 см³ |
| 5 см | 20 см | 3,14 · 25 · 20 = 1570 см³ |
Объём связан с единицами объёма: 1 дм³ = 1000 см³ = 1 л, а 1 м³ = 1000 дм³.
Примеры
Радиус 3 см, высота 5 см
Дан цилиндр с радиусом основания 3 см и высотой 5 см. Найди его объём.
- Формула: V = πr²h.
- Квадрат радиуса: 3² = 9.
- Подстановка: 3,14 · 9 · 5 = 141,3.
При π ≈ 3,14 объём примерно равен 141,3 см³.
Проверка: 9 · 5 = 45, поэтому точный ответ 45π см³. При π ≈ 3,14 получаем 141,3 см³; если округлить точное 45π до десятых, получится 141,4 см³.
Через диаметр
Диаметр основания цилиндра равен 10 см, высота — 4 см.
- Радиус: 10 : 2 = 5 см.
- Квадрат радиуса: 5² = 25.
- Объём: 3,14 · 25 · 4 = 314.
При π ≈ 3,14 объём примерно равен 314 см³.
Проверка: если подставить диаметр 10 вместо радиуса, выйдет 1256 см³, то есть вчетверо больше.
Ответ в литрах
Радиус основания 5 см, высота 20 см. Сколько это литров?
- Объём: 3,14 · 25 · 20 = 1570 см³.
- Один литр равен 1000 см³.
- 1570 : 1000 = 1,57.
При π ≈ 3,14 объём примерно равен 1,57 л.
Проверка: 1570 см³ — это 1,57 дм³, а 1 дм³ и есть 1 л.
Находим высоту
Объём цилиндра равен 45π см³, радиус основания — 3 см. Найди высоту.
- Выражаем высоту: h = V : (πr²).
- Квадрат радиуса: 3² = 9.
- h = 45π : (π · 9) = 5.
Высота равна 5 см.
Проверка: π · 9 · 5 = 45π см³ — как в условии.
Исключения
Диаметр нельзя ставить на место радиуса. При диаметре 10 см объём считают с радиусом 5 см. Иначе ответ увеличится вчетверо: 314 см³ и 1256 см³.
Единицы должны совпадать. Если радиус дан в сантиметрах, а высота в метрах, переведи одно из значений: 1 м = 100 см. Кубические и квадратные единицы при этом не смешивают.
Объём — в кубических единицах. Площадь основания измеряют в см², а объём в см³. Ответ «141,3 см²» относится к площади, а не к объёму.
Ответ может остаться с π. Если в условии сказано «оставь π», дробь не считают: 45π см³. Приближение π ≈ 3,14 даёт 141,3 см³, а округление точного 45π до десятых — 141,4 см³.
Проверь себя
Задание на 10 минут. Решай в тетради, а ответ вводи ниже.
Реши, введи ответ и нажми «Проверить». Ответы никуда не отправляются и не сохраняются.
Реши в тетради. Ответы и объяснения — под кнопкой «Показать ответы».
Показать ответы
- 62,8 или 62.8. Объём равен π · r² · h. Квадрат ра́диуса: 2² = 4. Дальше 3,14 · 4 · 5 = 62,8 см³.
- 197,82 или 197.82. Сначала ра́диус: 6 : 2 = 3 см. Квадрат ра́диуса равен 9. Дальше 3,14 · 9 · 7 = 197,82 см³.
- Раздели́ть диа́метр на 2. Ра́диус вдвое короче диа́метра: r = d : 2. При диа́метре 10 см ра́диус равен 5 см. Подставля́ть диа́метр вме́сто ра́диуса нельзя: объём выйдет в 4 раза больше.
- 5. Из формулы V = πr²h выражаем r² = V : (πh). Получаем r² = 300π : (12π) = 25, значит r = 5 см.
- 3000. Один литр равен 1 дм³, то есть 1000 см³. Значит, 3 л = 3 · 1000 = 3000 см³.
- V = πr²h. Объём равен площади основа́ния, умноженной на высоту. Площадь круга равна πr², поэтому V = πr²h.
Если тема не идёт
Начни с короткой записи: что дано, что ищем, какая формула связывает эти величины. Дальше выполняй по одному действию и записывай результат после каждого шага.
Сверь промежуточные вычисления с таблицей числовых примеров. Похожие задачи разбирают в материале Объём шара. Остальные темы собраны в разделе Геометрия.
Для разбора этой темы есть репетитор по математике.
Типичная ошибка
Ошибка — подставить диаметр в формулу вместо радиуса: тогда объём выйдет в четыре раза больше. Поймать её можно проверкой: раздели диаметр на 2 и пересчитай результат. Ещё одна ошибка — перемножить радиус в сантиметрах и высоту в метрах, не приведя их к одной единице.
Частые вопросы
Как найти объём цилиндра?
Нужно умножить число π на квадрат радиуса основания и на высоту: V = πr²h. При радиусе 3 см и высоте 5 см точный ответ — 45π см³; если взять π ≈ 3,14, получаем приближённо 141,3 см³. Радиус и высоту берут в одних и тех же единицах длины.
Что делать, если в условии дан диаметр?
Сначала находят радиус: диаметр делят на 2. При диаметре 10 см радиус равен 5 см. Дальше подставляют радиус в формулу V = πr²h. Подставлять диаметр вместо радиуса нельзя: ответ выйдет в четыре раза больше.
В каких единицах измеряется объём цилиндра?
Объём — величина в кубических единицах: см³, дм³, м³. Если радиус и высота даны в сантиметрах, объём получится в кубических сантиметрах. Один литр равен 1 дм³, то есть 1000 см³, поэтому ответ можно перевести в литры.
Какое значение π брать в расчёте?
Если в задаче предложено взять π ≈ 3,14, берут это приближение. Когда в условии сказано «ответ оставь в виде π», вычисления до десятичной дроби не доводят: при радиусе 3 см и высоте 5 см объём равен 45π см³. Указанный в условии способ округления соблюдают.
Потренируйся сам — бесплатно и без регистрации
На этой странице есть блок «Проверь себя». Реши задания сам, ничего никуда не отправляя, и сверься с ответами: так видно, что уже получается.
