Окружность и круг: радиус, диаметр, длина окружности и площадь круга

Правило

Окружность — линия, все точки которой находятся на одном расстоянии от одной точки, центра. Круг — часть плоскости внутри окружности вместе с самой линией. Край монеты — окружность, а вся монета целиком — круг.

Рядом с окружностью стоят три слова, которые нужно различать:

• Радиус r — отрезок от центра до любой точки окружности. Все радиусы одной окружности равны.
• Хорда — отрезок, который соединяет две точки окружности.
• Диаметр d — хорда, которая проходит через центр. Он вдвое длиннее радиуса: d = 2r, а r = d : 2.

Словом «радиус» называют и отрезок, и его длину: запись r = 5 см читается «радиус равен пяти сантиметрам». Сколько бы радиусов ни провести в одной окружности, длина у всех будет одинаковой.

Длину окружности находят по числу π. Это отношение длины окружности к её диаметру, и оно одинаково у любой окружности. Приближённо π равно 3,14 — это школьное значение берут, если так сказано в условии задачи.

Отсюда две формулы: C = 2πr = πd для длины окружности и S = πr² для площади круга. В обеих формулах стоит радиус или диаметр, поэтому сначала всегда выясняют, что именно дано в задаче.

Длина окружности — это длина линии, которая ограничивает круг. Её измеряют в миллиметрах, сантиметрах, метрах. Формулы C = 2πr и C = πd дают одно и то же число, потому что d = 2r.

Таблица или схема

Для круга с радиусом 5 см величины связаны так; значения длины и площади в последнем столбце приближённые, при π ≈ 3,14:

Примеры

В числовых вычислениях ниже используем приближение π ≈ 3,14; результаты с ним тоже приближённые.

Диаметр по радиусу: r = 7 см

d = 2 · 7 = 14 см

Диаметр состоит из двух радиусов, поэтому радиус умножаем на 2.

Радиус по диаметру: d = 18 мм

r = 18 : 2 = 9 мм

Диаметр делим пополам. Проверка: 2 · 9 = 18, верно.

Длина окружности: r = 5 см

C = 10π см ≈ 31,4 см

Подставили радиус в формулу C = 2πr. Единицы длины остаются теми же: сантиметры.

Площадь круга: r = 4 см

S = 16π см² ≈ 50,24 см²

Сначала возводим радиус в квадрат, потом умножаем на 3,14. Площадь измеряется в квадратных единицах.

Радиус по длине окружности: C = 62,8 см

r = 62,8 : (2π) ≈ 62,8 : 6,28 = 10 см

Формулу C = 2πr читаем наоборот: радиус равен длине окружности, делённой на 2π. Проверка: 2 · 3,14 · 10 ≈ 62,8.

Исключения

Дан диаметр, а нужна площадь. В формуле S = πr² стоит радиус. Если дан диаметр 10, сначала находим r = 5, а потом S ≈ 3,14 · 25 = 78,5.

Ответ с буквой π. Если в условии просят оставить π в ответе, число 3,14 не подставляют. Для r = 5 длина окружности равна C = 2π · 5 = 10π.

Разные единицы. Длина окружности измеряется в сантиметрах, метрах, миллиметрах, а площадь круга — в квадратных сантиметрах, метрах, миллиметрах. Если в ответе у площади стоит «см», где-то потеряна степень.

Проверь себя

Реши задачи в тетради без калькулятора, значение π бери 3,14. Потом сверь ответы.

1. Радиус круга равен 6 см. Найди диаметр.
2. Диаметр круга равен 26 мм. Найди радиус.
3. Радиус окружности равен 10 см. Найди её длину.
4. Диаметр круга равен 20 дм. Найди площадь круга.
5. Длина окружности равна 18,84 м. Найди радиус.

Ответы:

1. d = 2 · 6 = 12 см.
2. r = 26 : 2 = 13 мм.
3. C ≈ 2 · 3,14 · 10 = 62,8 см.
4. r = 20 : 2 = 10 дм, S ≈ 3,14 · 10² = 314 дм².
5. r = 18,84 : (2 · 3,14) = 18,84 : 6,28 = 3 м.

Следующая тема — углы треугольника.

Если тема не идёт

Одна из распространённых ошибок — спутать радиус с диаметром или взять не ту формулу. Пусть ребёнок перед каждой задачей пишет «дано: r = …» или «дано: d = …» и только потом выбирает формулу. Для круга полезно нарисовать чертёж и подписать на нём радиус. Если ошибки в вычислениях, а не в геометрии, повторите дроби и умножение десятичных чисел. Все темы геометрии — в разделе «Геометрия».

Если нужна помощь с темой, посмотри, как проходят занятия с репетитором по математике.