- Правило
- 11 класс
Объём шара: формула, как найти через радиус и диаметр
Обновлено
Подготовлено редакцией «Ментор»Опубликовано Что изменилось: Уточнены источники по объёму шара и его месту в программе 11 класса.Источников: 2
Коротко
Объём шара считают по формуле V = 4/3 πR³, где R — радиус шара. Если в условии дан диаметр, его делят на 2 и получают радиус, который подставляют в ту же формулу. Ответ записывают в кубических единицах: см³, дм³, м³. Когда π заменяют на 3,14, значение получается приближённым, поэтому ставят знак ≈.
Правило
Шар — тело, ограниченное сферой. Сфера — поверхность шара, его граница. Радиус соединяет центр шара с точкой на поверхности, диаметр проходит через центр и равен двум радиусам: d = 2R.
Объём шара радиуса R считают по формуле:
V = 4/3 πR³
Здесь V — объём, R — радиус шара, π ≈ 3,14. Словами формула читается так: куб радиуса умножить на 4, разделить на 3 и умножить на π. Формула применяется при известном или найденном радиусе; если в условии другое измерение, его сначала переводят в радиус.
Как найти объём шара
- Найди радиусРадиус соединяет центр шара с точкой на поверхности. Если в условии дан диаметр, раздели его на 2: R = d : 2.
- Возведи радиус в кубПеремножь три одинаковых множителя: R · R · R. Для радиуса 3 см это 3 · 3 · 3 = 27.
- Умножь на 4 и раздели на 3Возьми четыре третьих от куба радиуса: 4/3 · R³. Для 27 получится 36.
- Умножь на πОставь π в ответе или подставь 3,14. Для 36 выходит 36π, то есть примерно 113,04.
- Запиши единицы объёмаОбъём измеряют в см³, дм³, м³. Знак ≈ ставят, если π заменяли на 3,14.
Куб радиуса — это произведение R · R · R. Как считают куб и другие степени, разобрано в материале Степень числа.
Порядок счёта:
- Посмотри, что дано в условии: радиус или диаметр.
- Если дан диаметр, найди радиус: R = d : 2.
- Возведи радиус в куб: R³ = R · R · R.
- Умножь куб радиуса на 4 и раздели на 3.
- Умножь на π. Символическая запись 36π см³ точна при точных исходных данных. Если π заменяют на 3,14, значение получается приближённым.
- Запиши единицу объёма: см³, дм³ или м³.
Если в условии дан диаметр, можно считать сразу: V = πd³ : 6. Эта формула даёт ту же величину, что и счёт через радиус.
Что такое радиус, диаметр и центр, разобрано в материале Окружность и круг.
Таблица или схема
| Что известно | Формула | Пример |
|---|---|---|
| Радиус R | V = 4/3 πR³ | R = 3 см: V = 36π см³ ≈ 113,04 см³ |
| Диаметр d | V = πd³ : 6 | d = 3 см: V = 4,5π см³ ≈ 14,13 см³ |
| Объём V | R³ = 3V : (4π) | V = 36π см³: R³ = 27, R = 3 см |
Объём измеряют в кубических единицах — так же считают объём коробки или аквариума.
| Единица объёма | Сколько в ней |
|---|---|
| 1 см³ | 1000 мм³ |
| 1 дм³ | 1000 см³ |
| 1 м³ | 1000 дм³ |
| 1 м³ | 1 000 000 см³ |
| 1 л | 1 дм³ = 1000 см³ |
Примеры
Шар радиуса 3 см
Найди объём шара, радиус которого 3 см.
- Радиус дан в условии: R = 3 см.
- Возводим радиус в куб: R³ = 3 · 3 · 3 = 27.
- Умножаем: 4/3 · 27 = 36.
- Подставляем π: V = 36π см³. Если π ≈ 3,14, то 36 · 3,14 = 113,04.
Объём равен 36π см³, то есть примерно 113,04 см³.
Проверка: 113,04 : 36 = 3,14 — это использованное приближённое значение π, значит, счёт верный.
Шар диаметром 3 см
Найди объём шара, диаметр которого 3 см.
- Дан диаметр, поэтому сначала радиус: R = 3 : 2 = 1,5 см.
- Куб радиуса: 1,5 · 1,5 · 1,5 = 3,375.
- Умножаем: 4/3 · 3,375 = 4,5.
- Подставляем π: V = 4,5π ≈ 14,13 см³.
Объём равен 4,5π см³, то есть примерно 14,13 см³.
Проверка: по короткой формуле V = πd³ : 6 получаем 27 : 6 = 4,5 — то же число, что и в шаге 3.
Радиус по объёму
Объём шара равен 36π см³. Найди радиус этого шара.
- По формуле V = 4/3 πR³ получаем равенство 4/3 πR³ = 36π.
- Делим обе части на π: 4/3 R³ = 36.
- Находим куб радиуса: R³ = 36 · 3 : 4 = 27.
- Подбираем число, куб которого равен 27: это 3, потому что 3 · 3 · 3 = 27.
Радиус равен 3 см.
Проверка: 4/3 · π · 27 = 36π — объём совпал с данным.
Два шара
Во сколько раз объём шара радиуса 6 см больше объёма шара радиуса 2 см?
- Объём первого шара: R³ = 216, V = 4/3 π · 216 = 288π см³.
- Объём второго шара: R³ = 8, V = 4/3 π · 8 = 32/3 π см³.
- Делим первый объём на второй: 288π : (32/3 π) = 288 · 3 : 32 = 27.
Объём больше в 27 раз.
Короткий путь: радиусы отличаются в 3 раза, а объём зависит от куба радиуса, поэтому отношение объёмов равно 3³ = 27.
Исключения
Диаметр подставляют вместо радиуса. В формулу входит радиус. Если дан диаметр, его сначала делят на 2. При диаметре 3 см радиус равен 1,5 см, и объём — 4,5π см³. Если подставить 3 как радиус, выйдет 36π см³, то есть в 8 раз больше верного ответа.
Точное и приближённое значение. Символическая запись 36π см³ точна при точных исходных данных: она не зависит от того, сколько знаков числа π взяли для счёта. Замена π на 3,14 даёт приближённое значение, поэтому пишут 36π см³ ≈ 113,04 см³.
Объём и площадь поверхности. Объём показывает, сколько места занимает шар. Его записывают в кубических единицах: см³, дм³, м³. Площадь поверхности сферы считают в квадратных единицах: см², м². Знак ² указывает на квадратные единицы, но сам по себе не доказывает, что найдена площадь поверхности.
Радиус по объёму находят подбором. Если R³ = 27, то R = 3, ведь 3 · 3 · 3 = 27. Так же подбирают и другие значения: R³ = 8 даёт R = 2, а R³ = 125 даёт R = 5.
Проверь себя
Ориентировочно на 10 минут. Решай в тетради, а ответ вводи ниже.
Реши, введи ответ и нажми «Проверить». Ответы никуда не отправляются и не сохраняются.
Реши в тетради. Ответы и объяснения — под кнопкой «Показать ответы».
Показать ответы
- 113,04 или 113.04. Объём шара равен 4/3 · π · R³. Сначала куб ра́диуса: 3 · 3 · 3 = 27. Потом 4/3 · 27 = 36, и 36 · 3,14 = 113,04. Едини́ца ответа — см³.
- 14,13 или 14.13. Сначала ра́диус: 3 : 2 = 1,5 см. Куб ра́диуса: 1,5 · 1,5 · 1,5 = 3,375. Дальше 4/3 · 3,375 = 4,5, и 4,5 · 3,14 = 14,13.
- 3. Из формулы V = 4/3 πR³ получаем R³ = 36 · 3 : 4 = 27. Число́, куб кото́рого равен 27, — это 3: 3 · 3 · 3 = 27.
- в 27 раз. Ра́диусы отличаются в 3 ра́за, а объём пропорционален кубу ра́диуса. Поэтому объёмы отличаются в 3³ = 27 раз.
- V = 4/3 πR³. Объём шара равен 4/3 πR³: ра́диус возводят в куб. Форму́ла 4πR² даёт площадь поверхно́сти сферы, а остальные варианты объём шара не выражают.
Если тема не идёт
Раздели формулу на отдельные действия и выполняй их по одному: куб радиуса, умножение на 4, деление на 3, умножение на π. Записывай результат после каждого действия — тогда видно, где получилось не то число. Полезно проверять себя обратным счётом: раздели готовый объём на 4/3 π, то есть найди R³ = V : (4π/3), и посмотри, получился ли куб радиуса.
Другие темы раздела собраны на странице Геометрия.
Разобрать эту тему с педагогом можно на занятиях по математике.
Типичная ошибка
Ошибка — подставить в формулу диаметр вместо радиуса: тогда ответ выйдет в 8 раз больше верного, ведь диаметр вдвое больше радиуса, а радиус возводят в куб и 2³ = 8. Проверить себя можно так: перед счётом подпиши, что именно дано в условии — радиус или диаметр. Если дан диаметр, раздели его на 2 и только потом возводи в куб. Ещё следи за единицами: объём записывают в кубических единицах — см³, дм³ или м³.
Частые вопросы
По какой формуле находят объём шара?
Объём шара радиуса R равен V = 4/3 πR³. Радиус возводят в куб, умножают на 4, делят на 3 и умножают на π. Для шара радиуса 3 см объём равен 36π см³, то есть примерно 113,04 см³.
Как найти объём шара, если известен диаметр?
Из диаметра сначала получают радиус: R = d : 2. Дальше подставляют радиус в формулу V = 4/3 πR³. Для диаметра 3 см радиус равен 1,5 см, а объём — 4,5π см³, то есть примерно 14,13 см³. Есть и короткая запись V = πd³ : 6, она даёт тот же результат.
В каких единицах измеряют объём шара?
Объём записывают в кубических единицах: мм³, см³, дм³, м³. Если радиус дан в сантиметрах, объём получится в см³. Полезно помнить переводы: 1 дм³ = 1000 см³, 1 м³ = 1000 дм³, 1 м³ = 1 000 000 см³, 1 л = 1 дм³ = 1000 см³.
Как найти радиус шара по его объёму?
Из формулы V = 4/3 πR³ выражают куб радиуса: R³ = 3V : (4π). При объёме 36π см³ получается R³ = 36 · 3 : 4 = 27. Остаётся подобрать число, куб которого равен 27: это 3, потому что 3 · 3 · 3 = 27. Радиус такого шара 3 см.
Потренируйся сам — бесплатно и без регистрации
На этой странице есть блок «Проверь себя». Реши задания сам, ничего никуда не отправляя, и сверься с ответами: так видно, что уже получается.
