- Правило
- 5 класс
Объём прямоугольного параллелепипеда: формула, как найти по шагам
Обновлено
Подготовлено редакцией «Ментор»Опубликовано Что изменилось: Уточнено объяснение формулы объёма куба.Источников: 1
Коротко
Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений: V = a · b · c, где a, b и c — длина, ширина и высота, взятые в одной единице. Ответ записывают в кубических единицах, например в см³. Для куба формула короче: V = a³, где a — ребро.
Правило
Объём прямоугольного параллелепипеда показывает, сколько одинаковых единичных кубиков помещается внутри фигуры. Объём обозначают буквой V.
Считают его по трём измерениям — длине, ширине и высоте:
- Выпиши из задачи длину a, ширину b и высоту c.
- Проверь, что все три числа даны в одной единице. Если единицы разные, переведи их.
- Перемножь три числа: V = a · b · c.
- Подпиши ответ в кубических единицах: см³, дм³, м³.
Как найти объём по трём измерениям
- Выпиши измеренияНайди в задаче длину, ширину и высоту.
- Приведи к одной единицеЕсли единицы разные, переведи измерения в одну.
- Перемножь три числаV = a · b · c.
- Подпиши кубические единицыНапример, см³ или м³.
Коробка со сторонами 6 см, 4 см и 3 см вмещает 72 единичных кубика: 6 · 4 · 3 = 72. Порядок множителей на результат не влияет, поэтому 3 · 4 · 6 даёт то же число.
Если площадь основания уже известна, объём считают короче: V = S · c, где S — площадь основания, c — высота. У прямоугольного параллелепипеда основание — прямоугольник со сторонами a и b, и его площадь равна a · b. Поэтому обе формулы дают один ответ. Подробнее — в материале про площадь прямоугольника и квадрата.
Куб — частный случай: у него все рёбра равны. Формула короткая: V = a³, где a — ребро куба.
Единицы. Объём измеряют в кубических единицах. Единичный куб с ребром 1 см имеет объём 1 см³, с ребром 1 м — 1 м³.
Таблица или схема
| Что известно | Формула | Пример |
|---|---|---|
| Три измерения: длина a, ширина b, высота c | V = a · b · c | 6 · 4 · 3 = 72 см³ |
| Ребро куба a | V = a³ | 5 · 5 · 5 = 125 см³ |
| Площадь основания S и высота c | V = S · c | 30 · 8 = 240 см³ |
| Объём V и площадь основания S | c = V : S | 180 : 30 = 6 см |
| Объём V и два измерения a и b | c = V : (a · b) | 96 : (4 · 3) = 8 см |
В последней строке сначала находят площадь прямоугольного основания a · b, а потом делят объём на неё.
Примеры
Коробка 6 см × 4 см × 3 см
Найди объём коробки со сторонами 6 см, 4 см и 3 см.
- Все измерения даны в сантиметрах, переводить нечего.
- Перемножаем: 6 · 4 = 24, затем 24 · 3 = 72.
- Подписываем кубические единицы: 72 см³.
Объём 72 см³.
Проверка: 3 · 4 = 12 и 12 · 6 = 72. Те же числа в другом порядке дают тот же результат.
Куб с ребром 5 см
- У куба длина, ширина и высота равны, значит a = 5 см.
- V = 5 · 5 · 5 = 125.
Объём 125 см³.
Проверка: площадь грани 5 · 5 = 25 см², а таких слоёв пять: 25 · 5 = 125 см³.
Площадь основания 30 см² и высота 8 см
- Площадь основания известна: S = 30 см².
- V = S · c = 30 · 8 = 240.
Объём 240 см³.
Проверка: стороны прямоугольного основания 6 см и 5 см дают площадь 30 см², и 6 · 5 · 8 = 240 см³.
Обратная задача: высота по объёму
Объём коробки 180 см³, длина 6 см, ширина 5 см. Найди высоту.
- Считаем площадь основания: 6 · 5 = 30 см².
- Делим объём на площадь основания: 180 : 30 = 6 см.
Высота 6 см.
Проверка: 6 · 5 · 6 = 180 см³, как в условии.
Исключения
Разные единицы измерения. Нельзя перемножать числовые значения, не приводя величины к одной единице. Коробка 4 дм × 3 дм × 20 см: 20 см — это 2 дм, поэтому 4 · 3 · 2 = 24 дм³.
Порядок множителей. Перестановка множителей ответ не меняет: 3 · 4 · 5 = 60 и 5 · 4 · 3 = 60.
Объём и площадь. У куба с ребром 2 см объём 8 см³, а площадь одной грани 4 см². Числа разные, и сравнивать их нельзя: это величины с разными единицами.
Круглые тела. У шара нет рёбер и граней, и объём считают по другой формуле. Эта тема разобрана в материале про объём шара.
Проверь себя
Считай в тетради, а ответ вводи в поле ниже.
Реши, введи ответ и нажми «Проверить». Ответы никуда не отправляются и не сохраняются.
Реши в тетради. Ответы и объяснения — под кнопкой «Показать ответы».
Показать ответы
- 72 или 72 см³ или 72 см3. Объём равен произведению трёх измерений: 6 · 4 · 3 = 72. Сначала 6 · 4 = 24, потом 24 · 3 = 72 см³.
- 125 или 125 см³ или 125 см3. У куба все рёбра равны, поэтому V = a³: 5 · 5 · 5 = 125 см³. Формула V = a · b · c даёт тот же ответ, потому что у куба a = b = c.
- 6 или 6 см. Объём равен произведению площади основания и высоты: V = S · c. Значит, высота 180 : 30 = 6 см.
- в кубических сантиметрах. Объём показывает, сколько одинаковых единичных кубиков помещается внутри фигуры, поэтому его измеряют в кубических единицах: см³, дм³, м³.
- 72 см³. Объём измеряют в кубических единицах, поэтому верная запись — 72 см³. Единица длины — см, площади — см², объёма — см³.
- 240 или 240 см³ или 240 см3. Объём равен произведению площади основания и высоты: 30 · 8 = 240 см³.
Если тема не идёт
Возьми настоящую коробку и измерь линейкой три её ребра. Перемножь полученные числа — это может помочь увидеть, откуда берётся произведение трёх измерений. Дальше переходи к задачам, где по объёму нужно найти высоту. Остальные темы раздела — Геометрия.
О занятиях по этой и другим темам — на странице репетитора по математике.
Типичная ошибка
Если измерения даны в разных единицах, перемножать числа сразу нельзя: сначала переведи их в одну единицу. Коробка 4 дм × 3 дм × 20 см: 20 см — это 2 дм, поэтому объём равен 4 · 3 · 2 = 24 дм³. Без перевода получилось бы 4 · 3 · 20 = 240, но это число не выражает объём в дециметрах.
Частые вопросы
Как найти объём прямоугольного параллелепипеда?
Нужно перемножить три его измерения: длину, ширину и высоту, взятые в одной единице. Формула выглядит так: V = a · b · c. Коробка со сторонами 6 см, 4 см и 3 см имеет объём 6 · 4 · 3 = 72 см³. Ответ записывают в кубических единицах.
В чём измеряют объём?
Объём измеряют в кубических единицах: кубических сантиметрах (см³), кубических дециметрах (дм³), кубических метрах (м³). Такую единицу представляет единичный куб с ребром 1 см, 1 дм или 1 м. Если все три измерения коробки даны в сантиметрах, объём получится в кубических сантиметрах.
Как найти объём куба?
У куба все рёбра равны, поэтому хватает одного измерения. Если длина ребра a, объём куба равен произведению трёх одинаковых множителей: V = a · a · a = a³. Куб с ребром 5 см имеет объём 5 · 5 · 5 = 125 см³. Формула V = a · b · c даёт то же самое, потому что у куба a = b = c.
Как найти высоту, если известны объём и площадь основания?
Объём равен произведению площади основания на высоту: V = S · c. Значит, высоту находят делением: c = V : S. Если объём 180 см³, а площадь основания 30 см², высота равна 180 : 30 = 6 см.
Потренируйся сам — бесплатно и без регистрации
На этой странице есть блок «Проверь себя». Реши задания сам, ничего никуда не отправляя, и сверься с ответами: так видно, что уже получается.
