Площадь прямоугольника и квадрата: формулы, единицы и примеры

Правило

Площадь показывает, сколько места фигура занимает на плоскости. Если фигура составлена из целых единичных квадратов, площадь равна их числу; на клетчатой бумаге его можно сосчитать. Квадрат со стороной 1 см имеет площадь 1 см², квадрат со стороной 1 м — 1 м².

Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину:

S = a · b

Здесь a и b — соседние стороны прямоугольника, S — его площадь.

На чертеже прямоугольник 4 см × 3 см разбит на клетки по 1 см². В одном ряду 4 клетки, рядов 3, всего 4 · 3 = 12 клеток. Формула S = a · b считает клетки сразу, без пересчёта по одной: площадь равна 12 см².

Площадь квадрата. У квадрата все стороны равны, поэтому длину умножают саму на себя:

S = a · a = a²

Как найти площадь прямоугольника:

1. Выпиши длину и ширину.
2. Проверь, что обе стороны в одной единице. Если нет — переведи.
3. Перемножь стороны.
4. Запиши ответ в квадратных единицах: см², дм², м².

Обратная задача. Если у прямоугольника известны площадь S и сторона a, вторую сторону находят делением: b = S : a.

Составные фигуры. Если фигуру можно разбить на прямоугольники без перекрытий, её площадь равна сумме площадей частей.

По федеральной программе площадь прямоугольника, площадь многоугольников, составленных из прямоугольников, и единицы измерения площади изучают в 5 классе. В 6 классе к ним возвращаются: там проходят формулы периметра и площади прямоугольника и квадрата.

Таблица или схема

Единицы площади связаны друг с другом не так, как единицы длины. Например, квадратный метр — это квадрат 100 см × 100 см, поэтому в нём 100 · 100 = 10 000 см².

Как переводить:

• из крупной единицы в мелкую — умножай: 1,5 м² = 1,5 · 10 000 = 15 000 см²;
• из мелкой в крупную — дели: 15 000 см² = 15 000 : 10 000 = 1,5 м².

Примеры

Прямоугольник 8 см × 5 см

Найди площадь прямоугольника со сторонами 8 см и 5 см.

1. Стороны в одной единице — в сантиметрах.
2. Перемножаем: S = 8 · 5 = 40.
3. Единица площади: см · см = см².

Площадь 40 см².

Проверка: 40 : 8 = 5 — получилась вторая сторона, значит, умножение верное.

Квадрат со стороной 9 м

Найди площадь квадрата со стороной 9 м.

1. У квадрата S = a · a = a².
2. Подставляем сторону: S = 9 · 9 = 81.

Площадь 81 м².

Проверка: 81 : 9 = 9 — это снова сторона квадрата.

Сторона по площади

Площадь прямоугольника 72 см², одна его сторона 9 см. Найди другую сторону.

1. Площадь прямоугольника — это произведение сторон: 9 · b = 72.
2. Неизвестный множитель находим делением: b = 72 : 9 = 8.
3. Сторона — это длина, поэтому единица — см, без квадрата.

Другая сторона 8 см.

Проверка: 9 · 8 = 72 см².

Г-образная фигура

Фигура имеет вершины (0;0), (6;0), (6;2), (4;2), (4;4), (0;4). Стороны клеток — по 1 см. Найди площадь фигуры.

Способ 1: разбить на два прямоугольника без перекрытий.

1. Нижний прямоугольник: 6 см × 2 см, площадь 6 · 2 = 12 см².
2. Верхний прямоугольник: 4 см × 2 см, площадь 4 · 2 = 8 см².
3. Складываем: 12 + 8 = 20 см².

Способ 2: достроить и вычесть.

1. Достраиваем фигуру до прямоугольника 6 см × 4 см: 6 · 4 = 24 см².
2. Лишний угол — квадрат 2 см × 2 см: 2 · 2 = 4 см².
3. Вычитаем: 24 − 4 = 20 см².

Площадь фигуры 20 см².

Проверка: оба способа дали одно и то же число 20.

Стороны в разных единицах

Ковёр имеет размеры 3 м × 50 см. Найди его площадь.

1. Переводим стороны в одну единицу: 3 м = 300 см.
2. Перемножаем: 300 · 50 = 15 000 см².
3. Переводим в квадратные метры: 15 000 : 10 000 = 1,5 м².

Площадь ковра 1,5 м².

Проверка: 1,5 · 10 000 = 15 000 см² — совпадает с результатом шага 2.

Исключения

Площадь — не периметр. Периметр — это длина границы фигуры, его записывают в см или м. Площадь показывает, сколько места занимает фигура, её записывают в см² или м². Если в ответе к задаче на площадь стоит «см» без квадрата, полезно проверить, не нашёл ли ты периметр. Про периметр есть отдельный материал «Периметр».

Стороны в разных единицах нельзя перемножать сразу. В задаче про ковёр 3 м и 50 см сначала переводят в одну единицу: 3 м = 300 см. Только после этого умножают.

1 м² — это 10 000 см², а не 100. Ответ 100 получается, если перевести только одну сторону квадратного метра. Перевести нужно обе: 100 см · 100 см = 10 000 см².

Квадрат — тоже прямоугольник. Для него подходит и формула S = a · b: просто обе стороны равны, поэтому получается S = a · a = a².

Сторона записывается без квадрата. Когда находишь сторону по площади (72 : 9 = 8), ответ — длина, поэтому пишут 8 см, а не 8 см².

Фигуру из прямоугольников не считают одним умножением. Г-образная фигура — не прямоугольник, поэтому S = a · b ко всей фигуре не применяют: длину и ширину у неё как у целого не берут. Её делят на прямоугольники без перекрытий или достраивают до прямоугольника и вычитают лишнее.

Проверь себя

Решай в тетради, а ответ вводи ниже.

Про площади других фигур — материалы «Площадь треугольника» и «Параллелограмм».

Если тема не идёт

Можно вернуться к клеткам. Нарисуй прямоугольник на листе в клетку, пересчитай клетки по одной, а потом найди их число умножением: в одном ряду столько-то, рядов столько-то. Если оба способа дают одно число, значит, формула S = a · b считает те же клетки.

Стоит завести привычку перед умножением подписывать у каждой стороны единицу, а после ответа ставить знак ². Остальные темы раздела — Геометрия.

Если нужна помощь с темой, посмотри, как проходят занятия с репетитором по математике.