Описанная окружность: определение, центр и радиус треугольника

Правило

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит ровно одна окружность. Если эти точки — вершины треугольника, окружность называют описанной около треугольника, а сам треугольник — вписанным в окружность.

Расстояние от центра до каждой вершины одинаково, и это расстояние — радиус R. Центр равноудалён от вершин, поэтому лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам.

Как найти центр описанной окружности треугольника

1. 1Отметь вершиныТри вершины треугольника — точки, через которые проходит окружность.
2. 2Возьми две стороныДля построения достаточно двух сторон, например AB и BC.
3. 3Проведи серединные перпендикулярыЧерез середину каждой стороны — прямую под прямым углом к ней.
4. 4Найди точку пересеченияЭто центр O: он равноудалён от всех трёх вершин.
5. 5Проверь радиусОтрезки OA, OB и OC равны, и каждый из них — радиус R.

Радиус описанной окружности треугольника находят по одной из формул:

• через сторону и противолежащий ей угол: R = a : (2 sin A);
• через три стороны и площадь: R = (a · b · c) : (4S);
• для прямоугольного треугольника: R = c : 2, где c — гипотенуза.

Как считать по шагам:

1. Выпиши данные: стороны, углы, площадь, гипотенузу.
2. Выбери формулу, в которой неизвестным остаётся только R.
3. Подставь числа и посчитай.
4. Проверь результат обратной подстановкой.

Связь работает и в другую сторону. По радиусу и противолежащему углу находят сторону: a = 2R · sin A. По стороне и радиусу находят синус угла: sin A = a : (2R).

Значения синуса для стандартных углов есть в материале «Синус, косинус и тангенс». Радиус, диаметр и длину окружности разбирают в материале «Окружность и круг».

Таблица или схема

Строку таблицы выбирай по тому, что дано в задаче.

Описанная и вписанная — разные окружности. Описанная проходит через вершины, вписанная касается сторон. Их центры находятся разными способами; в равностороннем треугольнике они совпадают, хотя радиусы различаются.

Слово «описанная» относится к разным фигурам. В выражении «окружность, описанная около треугольника» описана окружность: она проходит через три вершины. В выражении «треугольник, описанный около окружности» описан треугольник: его стороны касаются окружности.

Что описано вокруг чего

1. 1Окружность около треугольникаОкружность проходит через все три вершины, её радиус обозначают R.
2. 2Треугольник около окружностиВсе три стороны касаются окружности: она вписана, её радиус обозначают r.
3. 3Как различитьПосмотри, что через что проходит: окружность через вершины или стороны по касательной.

Примеры

Радиус по стороне и углу

Сторона треугольника равна 6, а противолежащий ей угол — 30°. Найди радиус описанной окружности.

1. Подходит формула R = a : (2 sin A).
2. sin 30° = 0,5, значит 2 sin A = 2 · 0,5 = 1.
3. R = 6 : 1 = 6.

Радиус равен 6.

Проверка: a = 2R · sin A = 2 · 6 · 0,5 = 6 — получилась данная сторона.

Прямоугольный треугольник

Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найди радиус описанной окружности.

1. Гипотенузу находим по теореме Пифагора: 6² + 8² = 36 + 64 = 100, значит c = 10.
2. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника — середина гипотенузы.
3. R = c : 2 = 10 : 2 = 5.

Радиус равен 5.

Проверка: площадь треугольника равна 6 · 8 : 2 = 24, тогда R = (6 · 8 · 10) : (4 · 24) = 480 : 96 = 5.

Сторона через радиус и угол

Радиус описанной окружности равен 5, а угол A равен 30°. Найди сторону a, противолежащую этому углу.

1. Работает формула a = 2R · sin A.
2. 2 · 5 = 10.
3. a = 10 · 0,5 = 5.

Сторона равна 5.

Проверка: 5 : (2 · 0,5) = 5 — получается данный радиус.

Угол через сторону и радиус

Сторона a равна 4, радиус описанной окружности равен 4, угол A острый. Найди угол A.

1. Из связи a = 2R · sin A выражаем синус: sin A = a : (2R).
2. sin A = 4 : (2 · 4) = 4 : 8 = 0,5.
3. Синус 0,5 дают углы 30° и 150°, а в условии сказано, что угол острый.

Угол A равен 30°.

Проверка: 2 · 4 · 0,5 = 4 — это данная сторона.

Радиус по трём сторонам и площади

Стороны треугольника равны 3, 4 и 5, площадь равна 6. Найди радиус описанной окружности.

1. Подходит формула R = (a · b · c) : (4S).
2. R = (3 · 4 · 5) : (4 · 6) = 60 : 24.
3. 60 : 24 = 2,5.

Радиус равен 2,5.

Проверка: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5², треугольник прямоугольный, поэтому R = 5 : 2 = 2,5.

Исключения

Центр не всегда внутри треугольника. В остроугольном треугольнике он внутри, в прямоугольном — на середине гипотенузы, в тупоугольном — вне треугольника. Чертёж помогает понять, где искать точку.

Гипотенуза прямоугольного треугольника — диаметр. Поэтому середина гипотенузы и есть центр описанной окружности. Для катетов 6 и 8 это даёт гипотенузу 10 и радиус 5.

Не у всякой трапеции есть описанная окружность. Окружность проходит через все четыре вершины, если сумма противоположных углов равна 180°. У трапеции так бывает только в равнобедренном случае: например, при углах 60° и 120° сумма как раз 180°. Центр такой окружности лежит на оси симметрии — на прямой, которая делит оба основания пополам. Свойства трапеции разобраны в материале «Трапеция».

Острый и тупой углы могут давать один и тот же синус. Если sin A = 0,5, то угол A равен 30° или 150°. Ответ выбирают по условию: если сказано, что угол острый, берём 30°.

Проверка ответа на правдоподобность. Радиус не может быть меньше половины самой длинной стороны: sin A не больше 1, поэтому a = 2R · sin A не больше 2R. Если при стороне 8 получился радиус 3, в расчёте есть ошибка.

Проверь себя

Решай в тетради, а ответ вводи ниже.

Если тема не идёт

Начни с чертежа. Отметь три вершины, проведи серединные перпендикуляры к двум сторонам и найди точку пересечения. Когда окружность с центром в этой точке проходит через все три вершины, формула R = a : (2 sin A) становится понятной связью радиуса, стороны и противолежащего угла. Другие темы раздела — Геометрия.

Для разбора этой темы есть репетитор по математике.