- Правило
- 8 класс
Трапеция: основания, средняя линия, площадь и свойства
Обновлено
Подготовлено редакцией «Ментор»Опубликовано Что изменилось: Уточнены случаи высоты и суммы боковых сторонИсточников: 1
Коротко
Если у четырёхугольника ровно одна пара сторон параллельна, это трапеция: параллельные стороны — основания, остальные — боковые. Средняя линия m = (a + b) : 2, площадь S = (a + b) : 2 · h, где a и b — основания, h — высота. При основаниях 9 и 5 и высоте 4 площадь равна 28.
Правило
Трапеция — это четырёхугольник, у которого ровно одна пара сторон параллельна. Параллельные стороны называют основаниями, непараллельные — боковыми сторонами.
Основания обозначают a и b. Высота h — отрезок, перпендикулярный основаниям; длина высоты равна расстоянию между параллельными основаниями. Боковая сторона обычно наклонена, а в прямоугольной трапеции одна боковая сторона перпендикулярна основаниям и сама является высотой.
Средняя линия m соединяет середины боковых сторон. Теорема о средней линии трапеции: она параллельна основаниям и равна их полусумме, m = (a + b) : 2.
Площадь трапеции находят по формуле S = (a + b) : 2 · h. Первая часть формулы — это средняя линия, поэтому формулу можно записать короче: S = m · h.
На чертеже нижнее основание a длиннее верхнего b, высота h проведена пунктиром. Средняя линия m параллельна основаниям, расположена между ними на равном расстоянии от обоих.
Как найти площадь трапеции:
- Найди на чертеже параллельные стороны — это основания a и b.
- Сложи основания и раздели сумму на 2. Получится средняя линия.
- Найди высоту — расстояние между основаниями.
- Умножь среднюю линию на высоту.
Углы при боковой стороне. Основания параллельны, а боковая сторона пересекает их как секущая. Поэтому два внутренних односторонних угла при боковой стороне в сумме дают 180°.
В содержание курса геометрии 8 класса включены темы о трапеции: равнобокая и прямоугольная трапеция, средняя линия трапеции и формулы для её площади.
Таблица или схема
| Вид трапеции | Что известно |
|---|---|
| Произвольная | Основания параллельны, боковые стороны не параллельны. Два внутренних односторонних угла при боковой стороне в сумме 180°. |
| Равнобокая | Боковые стороны равны. Углы при каждом основании равны. Диагонали равны. |
| Прямоугольная | Одна боковая сторона перпендикулярна основаниям и сама является высотой. |
Стороны трапеции. Сторон четыре: две параллельные — основания, ещё две — боковые. Основание — одна из сторон трапеции; выражение «сторона основания» лучше не использовать.
Формулы для любой трапеции:
| Что нужно найти | Формула | Пример |
|---|---|---|
| Среднюю линию | m = (a + b) : 2 | (12 + 20) : 2 = 16 |
| Площадь | S = (a + b) : 2 · h = m · h | (9 + 5) : 2 · 4 = 7 · 4 = 28 |
| Высоту по площади | h = 2 · S : (a + b) | 2 · 60 : (8 + 12) = 6 |
| Периметр | сумма всех четырёх сторон | 10 + 6 + 5 + 5 = 26 |
Среднюю линию иногда называют короче — «линия трапеции». Речь об одном и том же отрезке между серединами боковых сторон: m = (a + b) : 2.
Примеры
Площадь: основания 9 и 5, высота 4
- Складываем основания: 9 + 5 = 14.
- Находим полусумму, то есть среднюю линию: 14 : 2 = 7.
- Умножаем на высоту: 7 · 4 = 28.
Площадь 28.
Проверка обратным ходом: 2 · 28 : (9 + 5) = 56 : 14 = 4, получилась данная высота.
Средняя линия: основания 12 и 20
- Складываем основания: 12 + 20 = 32.
- Делим пополам: 32 : 2 = 16.
Средняя линия 16.
Проверка: число 16 находится между 12 и 20 как их среднее арифметическое: 16 − 12 = 4 и 20 − 16 = 4.
Высота по известной площади
Площадь трапеции 60, основания 8 и 12. Найди высоту.
- Из формулы S = (a + b) : 2 · h выражаем высоту: h = 2 · S : (a + b).
- Подставляем: 2 · 60 = 120, 8 + 12 = 20.
- Делим: 120 : 20 = 6.
Высота 6.
Проверка: средняя линия (8 + 12) : 2 = 10, площадь 10 · 6 = 60.
Периметр равнобокой трапеции
Основания равнобокой трапеции 10 и 6, боковые стороны по 5. Найди периметр.
- В равнобокой трапеции боковые стороны равны, поэтому обе по 5.
- Складываем все четыре стороны: 10 + 6 + 5 + 5 = 26.
Периметр 26.
Проверка: основания дают 10 + 6 = 16, боковые стороны 5 · 2 = 10, вместе 16 + 10 = 26.
Углы равнобокой трапеции
В равнобокой трапеции угол при большем основании 70°. Найди угол при меньшем основании.
- Два внутренних односторонних угла при боковой стороне в сумме дают 180°.
- Угол при меньшем основании: 180° − 70° = 110°.
- В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны: оба угла при большем основании по 70°, оба при меньшем по 110°.
Угол 110°.
Проверка: 70° + 110° = 180°.
Исключения
Параллелограмм — не трапеция. По школьному определению у трапеции параллельна только одна пара сторон, а у параллелограмма параллельны обе.
Боковые стороны в формулу площади не входят. В скобках складывают основания. Сумма боковых сторон иногда может случайно совпасть с суммой оснований, но это не делает такой способ расчёта общим правилом.
Высота и боковая сторона — разные отрезки. Высота перпендикулярна основаниям; боковая сторона обычно наклонена, а в прямоугольной трапеции одна боковая сторона перпендикулярна основаниям и сама является высотой.
Средняя линия соединяет середины боковых сторон. Середины оснований она не соединяет. Её длина зависит только от длин оснований, а не от высоты и боковых сторон: m = (a + b) : 2.
Порядок оснований неважен. Какое основание назвать a, а какое b, на ответ не влияет: 9 + 5 и 5 + 9 дают одно и то же.
Проверь себя
Сделай чертёж в тетради, посчитай и сверь ответ ниже.
Реши, введи ответ и нажми «Проверить». Ответы никуда не отправляются и не сохраняются.
Реши в тетради. Ответы и объяснения — под кнопкой «Показать ответы».
Показать ответы
- 28. Сумма оснований 9 + 5 = 14, полусумма 14 : 2 = 7. Площадь 7 · 4 = 28. Боковые стороны в формулу не входят.
- 16. Средняя линия равна полусумме оснований: (12 + 20) : 2 = 32 : 2 = 16. Проверка: число 16 находится между 12 и 20 как их среднее арифметическое.
- 6. Из формулы S = (a + b) : 2 · h высота h = 2 · S : (a + b) = 2 · 60 : (8 + 12) = 120 : 20 = 6. Проверка: средняя линия (8 + 12) : 2 = 10, и 10 · 6 = 60.
- основания. В формуле a и b — основания, то есть параллельные стороны. Боковые стороны в формулу площади не входят, складывают их только при подсчёте периметра.
- 110. Два внутренних односторонних угла при боковой стороне в сумме дают 180°: основания параллельны, а боковая сторона — секущая. Значит, 180° − 70° = 110°.
Если тема не идёт
Можно путать основания с боковыми сторонами. Перед решением стоит обвести на чертеже параллельные стороны одним цветом и подписать их a и b, а высоту провести пунктиром. Затем полезно записать решение в две строки: сначала средняя линия, потом площадь.
Близкие темы: «Параллелограмм», «Площадь треугольника», «Теорема Пифагора». Остальные темы раздела — Геометрия.
О занятиях по этой и другим темам — на странице репетитора по математике.
Типичная ошибка
Ошибка — подставить в формулу площади боковые стороны вместо оснований или взять боковую сторону за высоту. Проверь себя: в скобках складывают только параллельные стороны, а высота перпендикулярна основаниям. Боковая сторона совпадает с высотой только в прямоугольной трапеции.
Частые вопросы
Что такое трапеция?
Трапеция — это четырёхугольник, у которого ровно одна пара сторон параллельна. Параллельные стороны называют основаниями, непараллельные — боковыми сторонами. По этому определению параллелограмм трапецией не считается: у него параллельны обе пары сторон.
Как найти площадь трапеции?
Сложить основания, разделить сумму на 2 и умножить на высоту: S = (a + b) : 2 · h. Высота перпендикулярна основаниям; в прямоугольной трапеции она может совпадать с боковой стороной. Например, при основаниях 9 и 5 и высоте 4 площадь равна (9 + 5) : 2 · 4 = 7 · 4 = 28.
Чему равна средняя линия и как она расположена?
Средняя линия — отрезок, который соединяет середины боковых сторон трапеции. Она параллельна основаниям и равна их полусумме: m = (a + b) : 2. Например, при основаниях 12 и 20 средняя линия равна (12 + 20) : 2 = 16.
Чем равнобокая трапеция отличается от обычной?
У равнобокой трапеции боковые стороны равны. Из этого следуют её свойства: углы при каждом основании равны, а диагонали равны между собой. У произвольной трапеции боковые стороны могут быть разными, и эти равенства в общем случае не выполняются.
Какие стороны трапеции называют основаниями, а какие — боковыми?
Основания — две параллельные стороны: они лежат на параллельных прямых. Боковые стороны соединяют основания. Основание — одна из сторон трапеции; выражение «сторона основания» лучше не использовать.
Потренируйся сам — бесплатно и без регистрации
На этой странице есть блок «Проверь себя». Реши задания сам, ничего никуда не отправляя, и сверься с ответами: так видно, что уже получается.
