Периметр: как найти, формулы для прямоугольника, квадрата и треугольника

Правило

Периметр многоугольника — это сумма длин всех его сторон. Его обозначают буквой P.

Как найти периметр:

1. Обойди фигуру по контуру и выпиши длины всех сторон.
2. Проверь, что все стороны даны в одной единице.
3. Сложи длины и подпиши единицу длины: см, дм, м.

У некоторых фигур стороны повторяются, поэтому сумму можно записать короче. У квадрата четыре равные стороны: P = 4a. У прямоугольника и параллелограмма две пары равных сторон: P = 2(a + b).

У треугольника формула периметра — сумма трёх сторон: P = a + b + c. Если все стороны равны, треугольник называют равносторонним и считают так: P = 3a. У равнобедренного треугольника равны две стороны, его периметр равен 2a + b, где a — равные стороны, b — основание. Ответ подписывают единицей длины: у треугольника со сторонами 5 см, 7 см и 10 см периметр 22 см.

Площадь треугольника считают по другой формуле, она разобрана в материале про площадь треугольника.

Стороны прямоугольника часто называют длиной и шириной. В формуле P = 2(a + b) они равноправны: a и b можно менять местами. По контуру прямоугольника проходят четыре стороны — две длины и две ширины, поэтому в развёрнутой записи четыре слагаемых: P = a + b + a + b.

У прямоугольника со сторонами 8 см и 5 см периметр P = 2 · (8 + 5) = 26 см. В скобках стоит сумма двух соседних сторон, её берут дважды. На чертеже видно, что каждая длина встречается по контуру два раза.

Половину периметра называют полупериметром. У прямоугольника и параллелограмма полупериметр равен сумме двух соседних сторон, a + b. Через него решают обратную задачу, когда периметр известен, а одна из сторон — нет.

Единицы. Периметр — это длина, поэтому его измеряют в единицах длины: см, дм, м. Квадратные единицы (см², м²) относятся к площади.

Контур многоугольника — замкнутая ломаная, а её длина и есть периметр.

Таблица или схема

Подробнее о фигуре с двумя парами параллельных сторон — в материале про параллелограмм.

Примеры

Прямоугольник 8 см × 5 см

Найди периметр прямоугольника со сторонами 8 см и 5 см.

1. Стороны в одной единице — сантиметрах.
2. Сумма соседних сторон: 8 + 5 = 13 см.
3. Таких пар две: 2 · 13 = 26 см.

Периметр 26 см.

Проверка: сложи все четыре стороны по контуру: 8 + 5 + 8 + 5 = 26 см.

Обратная задача: сторона по периметру

Периметр прямоугольника 30 см, одна сторона 9 см. Найди другую сторону.

1. Полупериметр прямоугольника — сумма двух соседних сторон: 30 : 2 = 15 см.
2. Одна из этих сторон известна, вычитаем её: 15 − 9 = 6 см.

Другая сторона 6 см.

Проверка: 2 · (9 + 6) = 2 · 15 = 30 см, как в условии. Из 30 сразу вычитать 9 не стоит: в периметр сторона 9 см входит дважды.

Треугольник со сторонами 5, 7 и 10 см

Найди периметр треугольника со сторонами 5 см, 7 см и 10 см.

1. Такой треугольник существует: каждая сторона меньше суммы двух других; наибольшая сторона 10, и 5 + 7 = 12 > 10.
2. Периметр треугольника P = a + b + c: складываем три стороны, 5 + 7 + 10 = 22 см.

Периметр 22 см.

Проверка: в сумме три слагаемых — столько же, сколько сторон у треугольника.

Фигура из прямоугольников: «ступенька»

На клетчатой бумаге нарисована Г-образная фигура с вершинами (0; 0), (6; 0), (6; 2), (4; 2), (4; 4), (0; 4). Сторона клетки — единица длины. Найди периметр.

1. Обходим контур по порядку и выписываем стороны: 6, 2, 2, 2, 4, 4.
2. Складываем: 6 + 2 + 2 + 2 + 4 + 4 = 20.

Периметр 20 единиц длины.

Проверка через прямоугольник 6 × 4, в который вписана фигура: его периметр 2 · (6 + 4) = 20. Числа совпали не случайно. Горизонтальные отрезки ступеньки 2 и 4 вместе дают 6, как нижняя сторона, а вертикальные 2 и 2 дают 4, как левая.

Исключения

Стороны в разных единицах. Если одна сторона дана в дециметрах, а другая в сантиметрах, сразу складывать числа нельзя. Сначала стоит перевести все стороны в одну единицу, а ответ подписать этой же единицей.

Периметр — не площадь. У Г-образной фигуры из примера периметр 20 единиц длины, а площадь 20 квадратных клеток. Числа совпали, но величины разные:

• периметр — длина границы, единицы длины (см, м);
• площадь — сколько места занимает фигура на плоскости, квадратные единицы (см², м²).

Поэтому ответ «26 см²» для периметра прямоугольника 8 × 5 неверен, даже если число 26 найдено правильно. Площадь разобрана в материале про площадь прямоугольника и квадрата.

Выемка в углу. Если из угла прямоугольника вырезан прямоугольник меньшего размера, как в примере, периметр равен периметру большого прямоугольника: отрезки контура можно сдвинуть к краям. Если прямоугольная выемка сделана на стороне, а не в углу, её боковые стороны увеличивают периметр; здесь лучше сложить стороны контура.

Две стороны вместо четырёх. Сумма 8 + 5 = 13 см — это полупериметр, а не периметр. Если записывать длину каждой стороны отдельным слагаемым, у прямоугольника их четыре; в сокращённой записи — 2(a + b).

Круг — отдельная тема. У круга нет сторон. Граница круга — окружность, её длина называется длиной окружности. Эта тема разобрана в материале про окружность и круг.

Проверь себя

Сначала считай в тетради, а ответ вводи в поле ниже.

Если тема не идёт

Полезно начинать с обхода контура: веди карандаш по фигуре и записывай каждую сторону, к которой подходишь. Когда в сумме столько же слагаемых, сколько сторон, можно переходить к коротким формулам P = 4a и P = 2(a + b).

В обратных задачах стоит каждый раз делать проверку: подставь найденную сторону в формулу и сравни с периметром из условия. Остальные темы раздела — Геометрия.

Разобрать эту тему с педагогом можно на занятиях по математике.