Площадь треугольника: формула, высота и примеры

Правило

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию:

S = ½ · a · h

Здесь a — основание, то есть любая сторона, которую ты выбрал, а h — высота к этой стороне. Высота — это перпендикуляр, опущенный из противоположной вершины на прямую, на которой лежит основание. Наклонная боковая сторона не служит высотой; в прямоугольном треугольнике один катет служит высотой к другому.

Запись «площадь треугольника ABC» означает, что вершины обозначены буквами A, B и C. За основание подходит любая из трёх его сторон, а высоту опускают из вершины, которая этой стороне не принадлежит.

Как найти площадь треугольника:

1. Выбери основание и найди высоту, проведённую именно к нему.
2. Перемножь основание и высоту.
3. Раздели результат на 2.

Почему половина. Начерти высоту h так, чтобы она упала внутрь треугольника, и дострой чертёж до прямоугольника a × h. Высота делит этот прямоугольник на два меньших прямоугольника, а треугольник — на два прямоугольных.

В каждом меньшем прямоугольнике сторона треугольника — диагональ, а диагональ делит прямоугольник пополам. Значит, треугольник занимает половину большого прямоугольника: S = ½ · a · h. Для высоты вне треугольника формула та же.

Отсюда и формула для прямоугольного треугольника. Его катеты перпендикулярны, поэтому один катет служит высотой к другому: S = ½ · a · b, где a и b — катеты.

Если известны площадь и основание, высоту находят обратным ходом: h = 2 · S : a. Точно так же основание: a = 2 · S : h.

Единицы измерения. Основание и высоту подставляй в одних и тех же единицах. При основании 10 см и высоте 6 см площадь равна ½ · 10 · 6 = 30 см².

По федеральной программе формулы площади треугольника проходят в 8 классе, в курсе геометрии.

Таблица или схема

Где лежит высота, зависит от вида треугольника. Формула при этом одна и та же.

Что ещё можно найти по той же формуле:

Примеры

Основание и высота: 10 и 6

Основание треугольника равно 10, высота к нему — 6. Найди площадь.

1. Перемножаем основание и высоту: 10 · 6.
2. Берём половину: S = ½ · 10 · 6 = 30.

Площадь равна 30.

Проверка обратным ходом: h = 2 · 30 : 10 = 6 — получилась данная высота.

Прямоугольный треугольник: катеты 6 и 9

Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 9. Найди площадь.

1. Катеты перпендикулярны, поэтому катет 6 служит высотой к катету 9.
2. Считаем: S = ½ · 6 · 9 = 27.

Площадь равна 27.

Проверка: 2 · 27 : 6 = 9 — получился второй катет. Если известны оба катета, гипотенуза для площади не нужна.

Тупоугольный треугольник: высота вне фигуры

У тупоугольного треугольника основание 8. Высота к нему равна 5 и падает на продолжение основания, за пределы треугольника. Найди площадь.

1. Высоту всё равно измеряют от вершины до прямой, на которой лежит основание.
2. Продолжение основания в длину основания не входит: основание остаётся равным 8.
3. Считаем: S = ½ · 8 · 5 = 20.

Площадь равна 20.

Проверка: 2 · 20 : 8 = 5 — получилась данная высота.

Обратная задача: высота по площади

Площадь треугольника 40, основание 10. Найди высоту, проведённую к этому основанию.

1. Из формулы S = ½ · a · h выражаем высоту: h = 2 · S : a.
2. Удваиваем площадь: 2 · 40.
3. Делим на основание: h = 2 · 40 : 10 = 8.

Высота равна 8.

Проверка: ½ · 10 · 8 = 40.

Исключения

Наклонная сторона — не высота. Боковую сторону треугольника нельзя ставить в формулу вместо высоты, если она не перпендикулярна основанию. В треугольнике со сторонами 13, 14 и 15 высота к стороне 14 равна 12. Она короче обеих боковых сторон 13 и 15, поэтому любая из них в формуле даст неверную площадь.

Высота и основание — пара. У треугольника три высоты, по одной к каждой стороне. В формулу ставят основание и высоту, проведённую именно к нему, а не к другой стороне.

«Площадь основания» — это не отдельное правило. В задачах о площади треугольника основание — выбранная сторона; отдельная «площадь основания» для применения этой формулы не требуется. Если за основание взять другую сторону, изменится и высота, а формула площади останется прежней: S = ½ · a · h.

Высота может лежать вне треугольника. К каждой из двух сторон, которые образуют тупой угол, высота падает на продолжение стороны. Высота к самой длинной стороне (против тупого угла) лежит внутри треугольника. Формула при этом не меняется: S = ½ · a · h, где a — само основание без продолжения.

Когда высота неизвестна. Если даны только три стороны треугольника, площадь можно найти по формуле Герона.

1. Полупериметр: p = (a + b + c) : 2.
2. Площадь: S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)).

Для сторон 13, 14 и 15: p = (13 + 14 + 15) : 2 = 21. Тогда S = √(21 · 8 · 7 · 6) = √7056 = 84. После этого можно найти и высоту к стороне 14: 2 · 84 : 14 = 12.

Проверь себя

Нарисуй треугольник в тетради, посчитай и введи ответ ниже.

Формулу площади треугольника можно обосновать через площадь прямоугольника: про неё есть материал «Площадь прямоугольника и квадрата». Для прямоугольного треугольника, где известна гипотенуза и один катет, полезна теорема Пифагора.

Если тема не идёт

Можно начать с чертежа. Нарисуй треугольник, выбери основание и проведи к нему высоту так, чтобы она образовала прямой угол. Подпиши основание буквой a, а высоту — буквой h, и только потом подставляй числа в формулу.

Стоит проверять каждый ответ обратным ходом. Сначала убедись по чертежу, что высота проведена именно к выбранному основанию. Потом найди высоту по полученной площади: h = 2 · S : a. Совпадение помогает проверить арифметику, если основание, его высота и единицы выбраны верно; само по себе оно не подтверждает правильность чертежа.

Полезно разобрать три случая по очереди: остроугольный, прямоугольный, тупоугольный, — по таблице выше. Следующий шаг — площадь трапеции, а остальные темы раздела собраны в разделе Геометрия.

Для разбора этой темы есть репетитор по математике.