- Правило
- 8–9 класс
Система неравенств: как решать и как записывать ответ
Обновлено
Подготовлено редакцией «Ментор»Опубликовано Что изменилось: Добавлен случай ответа одним числомИсточников: 1
Коротко
Система неравенств — это несколько условий со знаками сравнения, которые должны выполняться одновременно. Записывают их в столбик под фигурной скобкой или через союз «и». На числовой прямой отмечают решения каждой строки и оставляют общую часть. Ответ может быть промежутком, одним числом или пустым множеством ∅.
Правило
Система неравенств — это несколько неравенств с одной переменной, которые должны выполняться одновременно. Записывают их в столбик под фигурной скобкой или через союз «и»: скобка — это способ записи, а не обязательный признак. Решить систему — значит отыскать все значения, при которых верна каждая строка.
Строки системы связаны союзом «и». Одно и то же число должно пройти проверку сразу во всех строках, поэтому в ответ идёт пересечение решений, их общая часть.
Порядок действий одинаков и для двух неравенств, и для трёх:
- Разбери по отдельности каждую строку.
- Покажи полученные промежутки на одной числовой прямой.
- Оставь пересечение — числа, которые попали в каждый промежуток.
- Проверь границы: годятся ли они для всех неравенств системы.
- Запиши ответ: например, промежутком, отдельным числом или знаком ∅.
Как решить систему неравенств
- Разбери каждое неравенствоРеши их по отдельности, как обычные неравенства с одной переменной.
- Отметь решения на прямойВсе промежутки — на одной числовой прямой, чтобы видеть их расположение.
- Найди общую частьОставь те числа, которые попадают в каждый промежуток.
- Проверь границыЧисло входит в ответ, только если оно подходит всем неравенствам системы.
- Запиши ответНапример, промежутком, отдельным числом или знаком пустого множества.
Внутри отдельной строки действуют привычные правила, включая смену знака при делении на отрицательное число. Больше о них — в материале про решение неравенств.
Таблица или схема
Четыре системы и их ответы:
| Запись системы | Что даёт первая строка | Что даёт вторая строка | Ответ |
|---|---|---|---|
| x + 1 > 3 и x − 2 < 1 | x > 2 | x < 3 | (2; 3) |
| 2x − 3 ≥ 1 и x + 4 ≤ 9 | x ≥ 2 | x ≤ 5 | [2; 5] |
| −2x > 6 и x + 1 > 0 | x < −3 | x > −1 | ∅ |
| x − 3 > 0 и 2x + 1 > 0 | x > 3 | x > −0,5 | (3; +∞) |
Как расположение промежутков меняет вид ответа:
| Как лежат промежутки | Что попадает в ответ | Пример записи |
|---|---|---|
| Ограничены с двух сторон, обе границы исключены | интервал | (2; 3) |
| Ограничены с двух сторон, обе границы включены | отрезок | [2; 5] |
| Один внутри другого | более узкий промежуток | (3; +∞) |
| Касаются в одной точке | одно число | x = 2 |
| Не пересекаются | ничего | ∅ |
Как выглядит ответ системы
- Обе границы исключеныЕсли пересечение ограничено с двух сторон и обе границы исключены, ответ — интервал.
- Граница нестрогаяЕсли число подходит всем неравенствам, у границы квадратная скобка.
- Одна общая точкаЕсли промежутки касаются в одной точке, ответ — это число, например x = 2.
- Общей части нетПромежутки не пересекаются — решений нет, ответ ∅.
- Одно неравенство сильнееВ ответ идёт более узкий промежуток.
Примеры
Оба знака строгие: x + 1 > 3 и x − 2 < 1
Из первой строки: вычтем из обеих частей 1, получим x > 2.
Из второй: прибавим к обеим частям 2, выйдет x < 3.
Отмечаем оба промежутка на одной числовой прямой. Первый — луч вправо от 2, второй — луч влево от 3. Совпадают они на числах между 2 и 3.
Проверка: при x = 2,5 получаем 3,5 > 3 и 0,5 < 1, оба неравенства верны. Число 3 подходит первой строке (4 > 3), но не второй: 1 < 1 неверно.
Ответ: (2; 3).
Нестрогие знаки: 2x − 3 ≥ 1 и x + 4 ≤ 9
Первая строка: перенесём −3 вправо, получится 2x ≥ 4, то есть x ≥ 2.
Вторая строка: x ≤ 5.
В ответ идут все числа от 2 до 5 вместе с концами. Проверим границы: при x = 2 выходит 1 ≥ 1 и 6 ≤ 9, при x = 5 — 7 ≥ 1 и 9 ≤ 9. Оба неравенства верны, значит 2 и 5 входят в ответ.
Ответ: [2; 5].
Промежутки не пересекаются: −2x > 6 и x + 1 > 0
Первая строка: делим на −2, знак меняем на противоположный — получаем x < −3.
Вторая строка: перенесём 1 вправо, выйдет x > −1.
На числовой прямой решение первой строки лежит левее −3, решение второй — правее −1. Числа, которое годилось бы обеим строкам, между ними нет.
Ответ: ∅.
Одно неравенство сильнее другого: x − 3 > 0 и 2x + 1 > 0
Первая строка даёт x > 3. Вторая: 2x > −1, откуда x > −0,5.
Множество x > 3 целиком укладывается внутрь x > −0,5. Любое число больше 3 подходит и второй строке, а числа от −0,5 до 3 — нет.
Проверка: при x = 4 получаем 1 > 0 и 9 > 0.
Ответ: (3; +∞).
Похожий разбор двух условий сразу есть в материале про систему линейных уравнений.
Трудные случаи
Минус перед x. Если в строке стоит −2x > 6, то после деления на −2 остаётся x, а знак «больше» превращается в «меньше»: x < −3. В строке x + 1 > 0 деления нет, там знак остаётся прежним.
Границы разного типа. В системе x ≥ 2 и x < 5 число 2 входит в ответ, а 5 — нет. Получается [2; 5): у каждой границы своя скобка.
Ответ — луч. Когда один промежуток лежит внутри другого, берём более узкий. У системы x > 3 и x > 8 ответом будет x > 8.
Три неравенства и больше. Пересечение ищут сразу для всех строк. У системы x > 0, x < 5 и x < 3 общая часть — числа от 0 до 3, ответ (0; 3).
Проверь себя
Ориентировочно на задания уйдёт 10 минут. Ответы вводи прямо здесь.
Реши, введи ответ и нажми «Проверить». Ответы никуда не отправляются и не сохраняются.
Реши в тетради. Ответы и объяснения — под кнопкой «Показать ответы».
Показать ответы
- значение переменной, при котором верно каждое неравенство. Неравенства в системе объединены условием «и»: подходит только то значение, при котором верны все неравенства записи.
- (2; 7) или (2;7). Общая часть промежутков x > 2 и x < 7 — это числа между 2 и 7. Оба неравенства строгие, поэтому границы в ответ не входят, а скобки у них круглые.
- ни одного. Число не может быть одновременно меньше −1 и больше 4. Общей части у промежутков нет, поэтому решений нет и ответ — ∅.
- [2; 5] или [2;5]. Знаки ≥ и ≤ нестрогие, поэтому оба числа, 2 и 5, входят в ответ и стоят в квадратных скобках.
- x > 8. Общая часть двух лучей — тот луч, который лежит внутри другого. Все числа больше 8 подходят и первому неравенству, а числа между 3 и 8 — нет.
- 0. Система требует x > 2 и x < 3, то есть числа из промежутка (2; 3). Число 0 меньше 2, поэтому первое неравенство нарушается.
Если тема не идёт
Заштрихуй промежутки на одной прямой по-разному, чтобы искать их общую часть. Возьми любое число из полученного ответа и подставь его в каждую строку системы: если хоть одна строка нарушилась, полученный ответ неверен. Проверь, не записал ли ты объединение вместо пересечения. Другие темы собраны в разделе «Уравнения».
Разобрать эту тему с педагогом можно на занятиях по математике.
Типичная ошибка
Типичная возможная ошибка — записать в ответ объединение решений отдельных неравенств вместо их общей части. Для x > 2 и x < 7 объединение покрывает всю прямую, но числа 1 и 10 не подходят сразу двум неравенствам. Проверка подстановкой помогает поймать ошибку: если число из записанного ответа нарушает хотя бы одно неравенство, ответ неверен. Удачная подстановка одного числа подтверждает только то, что подходит это число, а не весь ответ.
Частые вопросы
Что называют решением системы неравенств?
Решением системы неравенств называют значение переменной, при котором верно каждое неравенство этой системы. Неравенства объединены условием «и»: подходит только то число, которое устраивает все неравенства сразу. Для системы x > 2 и x < 7 решением будет, например, число 5, а число 8 не подойдёт.
Как записать ответ системы неравенств?
Ответ системы — общая часть решений всех неравенств. Она может быть промежутком или одним числом: например, для x ≥ 2 и x ≤ 2 подходит только 2. Граница входит в ответ, если она удовлетворяет всем неравенствам системы. Если общих значений нет, ответ записывают знаком пустого множества ∅.
Почему у системы неравенств может не быть решений?
Так бывает, когда промежутки решений не пересекаются. В системе x < −1 и x > 4 первое неравенство требует числа меньше −1, второе — числа больше 4, а одно и то же число не может быть одновременно и там, и там. Общей части нет, поэтому решений нет и ответ записывают знаком ∅.
Как проверить ответ системы неравенств?
Подстановка одного числа подтверждает, что это число — решение, но не проверяет весь промежуток. Для ответа в целом проверь пересечение промежутков и его границы. Если число из записанного ответа нарушает хотя бы одно неравенство системы, ответ неверен.
Потренируйся сам — бесплатно и без регистрации
На этой странице есть блок «Проверь себя». Реши задания сам, ничего никуда не отправляя, и сверься с ответами: так видно, что уже получается.
