Вектор: определение, равные векторы, длина, координаты и произведение

Правило

Вектор — это направленный отрезок: у него есть начало, конец и длина. Направление определено у ненулевого вектора. На рисунке вектор изображают отрезком со стрелкой на конце.

Вектор с началом в точке A и концом в точке B обозначают AB (стрелку над буквами в тексте опускают). Коротко вектор записывают одной строчной буквой: a, b, c.

Длина вектора — это длина отрезка от начала до конца. Её обозначают |AB| или |a| и называют модулем вектора. Длина и модуль — одно и то же число.

Если начало и конец совпадают, вектор называют нулевым. Его длина равна 0.

На плоскости вектор задают координатами: a = (x; y). Первое число показывает смещение вдоль оси Ox, второе — вдоль оси Oy.

Как найти координаты вектора AB:

1. Выпиши координаты начала A(x₁; y₁) и конца B(x₂; y₂).
2. Из координат конца вычти координаты начала: x = x₂ − x₁, y = y₂ − y₁.
3. Запиши ответ: AB = (x; y).

Как найти длину вектора по координатам:

1. Возведи в квадрат каждую координату.
2. Сложи квадраты.
3. Извлеки квадратный корень: |a| = √(x² + y²).

Как найти длину вектора по координатам

1. 1Запиши координаты вектораУ вектора a = (x; y) две координаты на плоскости. Координаты вектора AB находят так: из координат конца вычитают координаты начала.
2. 2Возведи координаты в квадратКаждую координату умножь саму на себя. Квадрат отрицательного числа положителен: (−3)² = 9.
3. 3Сложи квадратыПолучится сумма x² + y². Для вектора (6; 8) это 36 + 64 = 100.
4. 4Извлеки квадратный кореньДлина (модуль) вектора равна √(x² + y²). Для вектора (6; 8): √100 = 10.

Формула длины опирается на теорему Пифагора: смещения по осям — катеты построенного прямоугольного треугольника, а отрезок, изображающий вектор, — его гипотенуза.

Равные ненулевые векторы сонаправлены и имеют равные длины, а все нулевые векторы равны между собой. У равных векторов совпадают координаты, если сравнивать их в одной системе координат и в одном порядке. Противоположные стороны параллелограмма задают равные векторы: например, AB = DC. Подробнее — в материале «Параллелограмм».

Как проверить, равны ли векторы

1. 1Сравни координатыУ равных векторов координаты одинаковые: (2; 5) и (2; 5) — равные векторы.
2. 2Проверь длиныДлины равных векторов равны. Но одной длины мало: у (4; −1) и (−4; 1) длины равны, а векторы разные.
3. 3Проверь направлениеРавные векторы сонаправлены. Если векторы направлены в противоположные стороны, они не равны.

Скалярное произведение векторов в декартовых координатах — это число: a · b = x₁x₂ + y₁y₂. Для двух ненулевых векторов с углом φ между ними действует формула: a · b = |a| · |b| · cos φ.

Проекция вектора на ось. На координатной плоскости проекция вектора на ось Ox равна его первой координате, на ось Oy — второй. Проекция бывает отрицательной: в этом случае отрицательна и соответствующая координата, а знак показывает, что соответствующая составляющая направлена против положительного направления оси.

Иногда ищут «ось вектора». В этом материале под «осью вектора» будем понимать координатную ось, на которую проецируют вектор, или направление, вдоль которого вектор отложен.

Таблица или схема

Строку про равные векторы удобно проверять глазами: сначала сравни первые координаты, потом вторые. Если обе пары совпали, векторы равны.

Примеры

Длина вектора по координатам

Найди длину вектора a = (6; 8).

1. Координаты: x = 6, y = 8.
2. Квадраты: 6² = 36 и 8² = 64.
3. Сумма: 36 + 64 = 100.
4. Корень: √100 = 10.

Длина вектора равна 10.

Проверка: 10² = 100, значит, корень найден верно.

Координаты вектора по двум точкам

Даны точки A(1; 2) и B(4; 6). Найди координаты вектора AB и его длину.

1. Из координат конца вычитаем координаты начала: 4 − 1 = 3 и 6 − 2 = 4.
2. Получаем AB = (3; 4).
3. Считаем длину: √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.

AB = (3; 4), длина вектора равна 5.

Проверка: 3² + 4² = 25 — это квадрат длины.

Равные и не равные векторы

Даны векторы a = (4; −1), b = (4; −1) и c = (−4; 1). Какие из них равны?

1. У a и b координаты совпадают: (4; −1) и (4; −1). Они сонаправлены и одинаковы по длине.
2. Длина a равна √(16 + 1) = √17, длина c тоже √17.
3. Длины совпали, но направления разные: у вектора c координаты — противоположные числа.
4. Значит, c не равен a.

Равны векторы a и b. Вектор c им не равен.

Проверка: у равных векторов координаты одинаковые, а у a и c они разные.

Скалярное произведение и перпендикулярность

Найди скалярное произведение векторов a = (3; 4) и b = (4; −3). Перпендикулярны ли эти векторы?

1. Перемножаем первые координаты: 3 · 4 = 12.
2. Перемножаем вторые координаты: 4 · (−3) = −12.
3. Складываем: 12 + (−12) = 0.
4. Так как оба вектора ненулевые и их скалярное произведение равно нулю, они перпендикулярны.

Скалярное произведение равно 0, векторы перпендикулярны.

Проверка: угол между векторами 90°, а cos 90° = 0. Про косинус угла — материал «Синус, косинус и тангенс».

Проекция вектора на оси

Вектор a = (5; −2). Найди его проекции на оси Ox и Oy.

1. Проекция на ось Ox равна первой координате: 5.
2. Проекция на ось Oy равна второй координате: −2.
3. Минус означает, что составляющая вектора вдоль оси Oy направлена против её положительного направления.

Проекция на Ox равна 5, на Oy равна −2.

Проверка: координаты вектора совпадают с его проекциями на оси — 5 и −2.

Исключения

Длина и модуль — одно и то же. Не нужно выбирать между этими словами: |a| — и длина, и модуль вектора. У вектора (6; 8) и длина, и модуль равны 10.

Одинаковая длина не делает векторы равными. У векторов (4; −1) и (−4; 1) одна и та же длина √17, но они направлены в противоположные стороны, поэтому равными не являются.

Скалярное произведение — это число. Его записывают просто числом: a · b = 5. Вектор получается при сложении векторов или при умножении вектора на число.

Проекция бывает отрицательной. У вектора (5; −2) проекция на ось Oy равна −2. Знак минус не ошибка: он показывает направление вдоль оси.

Координаты вектора и координаты точки — разные записи. Запись (3; 4) может обозначать и точку, и вектор: её смысл определяется контекстом и обозначениями. Вектор (3; 4) показывает, на сколько сместиться от начала: на 3 по оси Ox, на 4 по оси Oy.

Нулевой вектор. Если начало и конец совпадают, длина вектора равна 0. В школьном курсе направление у нулевого вектора не определяют.

Проверь себя

Задание примерно на 10 минут. Решай в тетради, а ответ вводи ниже.

Если тема не идёт

Начни с чертежа. Отметь на клетчатой бумаге две точки и проведи от первой ко второй отрезок со стрелкой. Сосчитай, на сколько клеток сместился конец: вправо или влево и вверх или вниз. Эти два числа — координаты вектора, причём смещение влево или вниз даёт отрицательную координату. Длину из них получают по теореме Пифагора: она равна гипотенузе построенного прямоугольного треугольника, катеты которого — смещения по осям. Другие материалы по теме — «Параллелограмм» и Геометрия.

Если нужна помощь с темой, посмотри, как проходят занятия с репетитором по математике.