Вписанная окружность: определение, центр и радиус треугольника

Правило

Точка внутри треугольника, одинаково удалённая от всех трёх сторон, — это центр вписанной окружности. Перпендикуляры, опущенные из неё на стороны, равны между собой, и каждый из них можно взять за радиус. Окружность такого радиуса коснётся каждой стороны ровно в одной точке.

Вписанная окружность — окружность, которая лежит внутри многоугольника и касается всех его сторон. Сам многоугольник называют описанным около этой окружности.

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен стороне. Значит, расстояние от центра окружности до любой стороны равно её радиусу.

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон этого угла, поэтому все три биссектрисы пересекаются в одной точке — центре.

В любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Для выпуклого четырёхугольника ABCD окружность можно вписать тогда и только тогда, когда AB + CD = BC + AD. Равенство в прямую сторону видно по касательным: два отрезка от одной вершины до точек касания равны.

Радиус вписанной окружности

Если у треугольника известны площадь S и полупериметр p, радиус находят так:

r = S : p

Полупериметр — половина периметра: p = P : 2.

Формулу читают и в обратную сторону: S = p · r. Площадь треугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности.

Как найти радиус:

1. Найди площадь треугольника.
2. Сложи длины всех сторон — получится периметр.
3. Раздели периметр пополам — это полупериметр.
4. Раздели площадь на полупериметр.
5. Проверь единицы измерения: радиус выйдет в тех же единицах длины, что и стороны.

Как найти радиус вписанной окружности

1. 1ПлощадьНайди площадь треугольника: через сторону и высоту или другим известным способом.
2. 2ПериметрСложи длины всех трёх сторон.
3. 3ПолупериметрРаздели периметр пополам: p = P : 2.
4. 4РадиусРаздели площадь на полупериметр: r = S : p.

Если площадь пока не находится, начни с неё: способы её посчитать разобраны в материале «Площадь треугольника».

Общие сведения про окружность и круг — в материале «Окружность и круг».

Таблица или схема

Первый ориентир — что известно в задаче.

Второй ориентир — как различить две окружности, которые встречаются в задачах.

Как проверить, впишется ли окружность в четырёхугольник

1. 1Стороны по порядкуВыпиши длины сторон по обходу: AB, BC, CD, AD.
2. 2Первая параСложи две противоположные стороны: AB + CD.
3. 3Вторая параСложи другие две противоположные стороны: BC + AD.
4. 4Сравни суммыПроверь, что четырёхугольник выпуклый. Тогда равные суммы означают, что окружность можно вписать, а разные — что нельзя.

Сначала посмотри, что дано: стороны, площадь, радиус или периметр. От этого зависит, какую строку таблицы брать.

Примеры

Треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см

Найди радиус вписанной окружности.

1. Площадь. Треугольник со сторонами 3, 4 и 5 прямоугольный, его катеты — 3 см и 4 см. S = 3 · 4 : 2 = 6 см².
2. Периметр. P = 3 + 4 + 5 = 12 см.
3. Полупериметр. p = 12 : 2 = 6 см.
4. Радиус. r = S : p = 6 : 6 = 1 см.

Радиус 1 см.

Проверка: 6 · 1 = 6 см² — столько же, сколько в первом шаге.

Треугольник со сторонами 5 см, 5 см и 6 см

1. Площадь. Треугольник равнобедренный: основание 6 см, боковые стороны по 5 см. Высота делит основание пополам, на отрезки по 3 см. По теореме Пифагора высота равна 4 см, потому что 5² − 3² = 16. Тогда S = 6 · 4 : 2 = 12 см².
2. Периметр. P = 5 + 5 + 6 = 16 см, полупериметр p = 8 см.
3. Радиус. r = 12 : 8 = 1,5 см.

Радиус 1,5 см.

Проверка: 8 · 1,5 = 12 см² — сходится с площадью.

Известны площадь и радиус

Площадь треугольника 24 см², радиус вписанной окружности 2 см. Найди периметр.

1. Из формулы S = p · r полупериметр равен площади, делённой на радиус: p = 24 : 2 = 12 см.
2. Периметр вдвое больше полупериметра: P = 12 · 2 = 24 см.

Периметр 24 см.

Проверка: 12 · 2 = 24 см² — площадь из условия.

Квадрат со стороной 8 см

Окружность вписана в квадрат. Найди её радиус.

1. В квадрат можно вписать окружность с центром на пересечении диагоналей: расстояния от этой точки до всех четырёх сторон равны.
2. Центр равноудалён от всех четырёх сторон, значит, он лежит в точке пересечения диагоналей.
3. Расстояние от центра до каждой стороны — половина стороны: 8 : 2 = 4 см.

Радиус 4 см.

Проверка: до каждой из четырёх сторон одинаковое расстояние, равное 4 см.

Выпуклый четырёхугольник со сторонами 4 см, 6 см, 8 см и 6 см

Можно ли вписать в него окружность?

1. Стороны по порядку: AB = 4 см, BC = 6 см, CD = 8 см, AD = 6 см.
2. Одна пара противоположных сторон: AB + CD = 4 + 8 = 12 см.
3. Другая пара: BC + AD = 6 + 6 = 12 см.
4. Суммы равны, а четырёхугольник по условию выпуклый.

В этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Если бы сторона CD равнялась 9 см, суммы стали бы 13 см и 12 см: окружность в такой четырёхугольник вписать нельзя.

Исключения

В треугольник окружность вписывается, в четырёхугольник — при условии. В любой треугольник окружность вписывается, и только одна. У выпуклого четырёхугольника сначала проверяют суммы противоположных сторон: у прямоугольника 6 см × 4 см они равны 12 см и 8 см, поэтому окружность вписать нельзя.

Квадрат и ромб подходят без проверки сумм. Диагонали ромба делят его углы пополам; их пересечение равноудалено от всех сторон и служит центром вписанной окружности. Квадрат — частный случай ромба.

Вписанная и описанная — разные окружности. Вписанная касается сторон, и её центр равноудалён от сторон. Описанная проходит через вершины, и её центр равноудалён от вершин. У прямоугольного треугольника с катетами 3 см и 4 см радиус вписанной окружности равен 1 см, а описанной — 2,5 см. Разбор описанной окружности — в отдельном материале «Описанная окружность».

Стороны четырёхугольника берут по обходу, а не как попало. Противоположными считают стороны через одну: AB и CD, BC и AD. Если сложить соседние стороны, равенство сумм ничего не покажет.

Проверь себя

Задание на 10 минут — это примерная оценка времени. Решай в тетради, а ответ вводи ниже.

Если тема не идёт

Начни с квадрата: раздели сторону пополам и проведи окружность — вписанная окружность квадрата видна сразу. Потом возьми треугольник, отметь точки касания и подпиши рядом площадь и полупериметр. Когда оба числа стоят перед глазами, деление выполняется спокойнее. Остальные темы раздела — Геометрия.

Для разбора этой темы есть репетитор по математике.